Интеграция

В этом примере показано, как вычислить определенные интегралы с помощью символьных математических Toolbox™.

Определенный интеграл

Покажите, что определенный интеграл $_{}^{} ∫abf (x)$ dx $для f (x) =$ sin ( $x \frac{)}{} \frac{на}{[}$ security2,3ā2] равен 0.

syms x
int(sin(x),pi/2,3*pi/2)

ans =  $0$

Определенные интегралы в Maxima и Minima

Чтобы максимизировать $F (a)_{}^{} =∫-aasin (ax) \sin ($ x/a) $dx$ для a≥0, сначала определите символьные переменные и предположим, что a≥0:

syms a x
assume(a >= 0);

Затем определите функцию для максимизации:

F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
 ${\begin{array}{cl} 1 - \frac{\sin (2)}{2} & if a = 1 \\ \frac{2 a (\sin (a^{2}) \cos (1) - a^{2} \cos (a^{2}) \sin (1))}{a^{4} - 1} & if a \neq 1 \end{array}$

Обратите внимание на особый случай для $a =$ 1. Для упрощения вычислений используйтеassumeAlso чтобы игнорировать эту возможность (и позже проверить, что $a =$ 1 не является максимальным):

assumeAlso(a ~= 1);
F = int(sin(a*x)*sin(x/a),x,-a,a)

F = 
 $\frac{2 a (\sin (a^{2}) \cos (1) - a^{2} \cos (a^{2}) \sin (1))}{a^{4} - 1}$

Создайте график $F$ для проверки его формы:

fplot(F,[0 10])

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionline.

Использовать diff найти производное $F$ в отношении:

Fa = diff(F,a)

Fa = 
 $\begin{array}{l} \frac{2 σ_{1}}{a^{4} - 1} + \frac{2 a (2 a \cos (a^{2}) \cos (1) - 2 a \cos (a^{2}) \sin (1) + 2 a^{3} \sin (a^{2}) \sin (1))}{a^{4} - 1} - \frac{8 a^{4} σ_{1}}{{(a^{4} - 1)}^{2}} \\ where \\ σ_{1} = \sin (a^{2}) \cos (1) - a^{2} \cos (a^{2}) \sin (1) \end{array}$

Нули $Fa$ являются локальными крайностями $F$ :

hold on
fplot(Fa,[0 10])
grid on

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type functionline.

Максимальное значение находится в диапазоне от 1 до 2. Использовать vpasolve чтобы найти приближение нуля $Fa$ в этом интервале:

a_max = vpasolve(Fa,a,[1,2])

a_max =  $1.5782881585233198075558845180583$

Использовать subs для получения максимального значения интеграла:

F_max = subs(F,a,a_max)

F_max =  $0.36730152527504169588661811770092 \cos (1) + 1.2020566879911789986062956284113 \sin (1)$

Результат по-прежнему содержит точные числа $\sin (1$ ) и $cos ($ 1). Использоватьvpa заменить их численными аппроксимациями:

vpa(F_max)

ans =  $1.2099496860938456039155811226054$

Убедитесь, что исключенный вариант $a =$ 1 не приводит к увеличению значения:

vpa(int(sin(x)*sin(x),x,-1,1))

ans =  $0.54535128658715915230199006704413$

Множественная интеграция

Численное интегрирование по более высокомерным зонам имеет специальные функции:

integral2(@(x,y) x.^2-y.^2,0,1,0,1)

ans = 4.0127e-19

Нет таких специальных функций для более высокомерной символической интеграции. Используйте вложенные одномерные интегралы:

syms x y
int(int(x^2-y^2,y,0,1),x,0,1)

ans =  $0$

Интегралы линий

Определение векторного поля F в 3D пространстве:

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z, x*y, 2*y*z];

Затем определите кривую:

syms t
ux(t) = sin(t);
uy(t) = t^2-t;
uz(t) = t;

Линейный интеграл F вдоль кривой u определяется как $∫f⋅du=∫f (ux (t), uy (t), uz \frac{(}{t)})$ ⋅dudtdt, где ⋅ на правой стороне обозначает скалярное произведение.

Используйте это определение для вычисления интеграла линии для $t$ из $[0,1]$

F_int = int(F(ux,uy,uz)*diff([ux;uy;uz],t),t,0,1)

F_int = 
 $\frac{19 \cos (1)}{4} - \frac{\cos (3)}{108} - 12 \sin (1) + \frac{\sin (3)}{27} + \frac{395}{54}$

Получите численное приближение этого точного результата:

vpa(F_int)

ans =  $- 0.20200778585035447453044423341349$

Документация

Интеграция

Определенный интеграл

Определенные интегралы в Maxima и Minima

Множественная интеграция

Интегралы линий

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка