Padé Аппроксимант входного сигнала временной задержки

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере показано, как использовать аппроксиматор Паде в теории системы управления для моделирования временных задержек в реакции системы первого порядка. Временные задержки возникают в таких системах, как химические и транспортные процессы, где имеется задержка между вводом и реакцией системы. Когда эти входы моделируются, они называются входами мертвого времени.

В этом примере символьные математические Toolbox™ используются для решения передаточной функции системы первого порядка и поиска ответа системы на ввод шага мертвого времени с помощью аппроксиманта Паде. В этом примере выполняются символичные вычисления для получения аналитических результатов.

Введение

Аппроксиматор Паде порядка [m, n] аппроксимирует функцию f(x) около $x =_{}$ x0 как

$\frac{_{a0} +_{} a1 (_{} x-x0)_{} {+⋯+am}_{} (^{}}{{x-x0}_{)} m1_{+} b1 (_{} x-x0)_{}^{}}$ +⋯+bn (x-x0) n.

Аппроксимант Паде - рациональная функция, образованная отношением двух степенных рядов. Поскольку это рациональная функция, она более точна, чем ряд Тейлора в аппроксимации функций полюсами. Аппроксимант Паде представлен функцией символьной математической Toolbox™ pade.

Когда полюс или ноль существует в точке расширения $x =_{}$ x0, точность аппроксиманта Паде уменьшается. Для повышения точности используйте альтернативную форму аппроксиматора Паде, которая

$\frac{(_{x-x0})^{} p_{(} {a0}_{} + {a1}_{} ({x-x0}_{)}_{} {+\dots+am}^{} (}{_{x-x0}) m)_{} 1 +_{b1} (_{} {x-x0}^{)}}$ +⋯+bn (x-x0) n.

pade функция возвращает альтернативную форму аппроксиманта Padé при установке OrderMode входной аргумент для Relative.

Поиск функции переноса системы первого заказа

Поведение системы первого порядка описывается этим дифференциальным уравнением

$\frac{startdy (t}{)} dt + y (t) =$ ax (t).

Введите дифференциальное уравнение в MATLAB ®.

syms tau a x(t) y(t) xS(s) yS(s) H(s) tmp
F = tau*diff(y)+y == a*x;

Найти преобразование Лапласа F использование laplace.

F = laplace(F,t,s)

F =  $laplace (y (t), t, s) - τ (y (0) - s laplace (y (t), t, s)) = a laplace (x (t), t, s)$

Предположим, что ответ системы на t = 0 является 0. Использовать subs заменить y(0) = 0.

F = subs(F,y(0),0)

F =  $laplace (y (t), t, s) + s τ laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Для сбора общих терминов используйте simplify.

F = simplify(F)

F =  $(s τ + 1) laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Для удобочитаемости замените преобразования Лапласа x(t) и y(t) с xS(s) и yS(s).

F = subs(F,[laplace(x(t),t,s) laplace(y(t),t,s)],[xS(s) yS(s)])

F =  $yS (s) (s τ + 1) = a xS (s)$

Преобразование Лапласа передаточной функции yS(s)/xS(s). Разделить обе стороны уравнения на xS(s) и используйте подстрочки для замены yS(s)/xS(s) с H(s).

F = F/xS(s);
F = subs(F,yS(s)/xS(s),H(s))

F =  $H (s) (s τ + 1) = a$

Решить уравнение для H(s). Заменить на H(s) с фиктивной переменной, решить для фиктивной переменной с помощью решения и назначить решение Hsol(s).

F = subs(F,H(s),tmp);
Hsol(s) = solve(F,tmp)

Hsol(s) = 
 $\frac{a}{s τ + 1}$

Поиск ответа системы на ввод шага с задержкой по времени

Вход в систему первого порядка является вводом шага с временной задержкой. Чтобы представить ввод шага, используйте heaviside. Задержка ввода на три единицы времени. Поиск преобразования Лапласа с помощью laplace.

step = heaviside(t - 3);
step = laplace(step)

step = 
 $\frac{e^{- 3 s}}{s}$

Найдите отклик системы, который является результатом функции переноса и ввода.

y = Hsol(s)*step

y = 
 $\frac{a e^{- 3 s}}{s (s τ + 1)}$

Чтобы разрешить печать ответа, задайте параметры a и tau к определенным значениям. Для a и tau, выберите значения 1 и 3соответственно.

y = subs(y,[a tau],[1 3]);
y = ilaplace(y,s);

Найти ответ системы с помощью аппроксимантов Padé

Найти аппроксиматор Паде порядка [2 2] ввода шага с использованием аргумента Order input для pade.

stepPade22 = pade(step,'Order',[2 2])

stepPade22 = 
 $\frac{3 s^{2} - 4 s + 2}{2 s (s + 1)}$

Найдите ответ на вход путем умножения передаточной функции и аппроксиманта Паде входа.

yPade22 = Hsol(s)*stepPade22

yPade22 = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 4 s + 2)}{2 s (s τ + 1) (s + 1)}$

Найти обратное преобразование Лапласа yPade22 использование ilaplace.

yPade22 = ilaplace(yPade22,s)

yPade22 = 
 $a + \frac{9 a e^{- s}}{2 τ - 2} - \frac{a e^{- \frac{s}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - 2)}$

Для построения графика ответа задайте параметры a и tau к их ценностям 1 и 3соответственно.

yPade22 = subs(yPade22,[a tau],[1 3])

yPade22 = 
 $\frac{9 e^{- s}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{s}{3}}}{4} + 1$

Постройте график реакции системы y и ответ, рассчитанный из аппроксиманта Паде yPade22.

fplot(y,[0 20])
hold on
fplot(yPade22, [0 20])
grid on
title 'Padé approximant for dead-time step input'
legend('Response to dead-time step input', 'Padé approximant [2 2]',...
    'Location', 'Best');

Figure contains an axes. The axes with title Padé approximant for dead-time step input contains 2 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Padé approximant [2 2].

Увеличение точности аппроксиманта Padé с помощью OrderMode

[2 2] Аппроксимант Паде не хорошо представляет ответ, потому что полюс существует в точке расширения 0. Для повышения точности pade при наличии полюса или нуля в точке расширения установите OrderMode введите аргумент Относительно (Relative) и повторите шаги. Для получения более подробной информации см. pade.

stepPade22Rel = pade(step,'Order',[2 2],'OrderMode','Relative')

stepPade22Rel = 
 $\frac{3 s^{2} - 6 s + 4}{s (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = Hsol(s)*stepPade22Rel

yPade22Rel = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 6 s + 4)}{s (s τ + 1) (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace(yPade22Rel);
yPade22Rel = subs(yPade22Rel,[a tau],[1 3])

yPade22Rel = 
 $\frac{12 e^{- t} (\cos (\frac{\sqrt{3} t}{3}) + \frac{2 \sqrt{3} \sin (\frac{\sqrt{3} t}{3})}{3})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3}}}{7} + 1$

fplot(yPade22Rel, [0 20], 'DisplayName', 'Relative Padé approximant [2 2]')

Figure contains an axes. The axes with title Padé approximant for dead-time step input contains 3 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Padé approximant [2 2], Relative Padé approximant [2 2].

Повышение точности аппроксиманта Паде за счет увеличения порядка

Можно увеличить точность аппроксиманта Паде, увеличив его порядок. Увеличить заказ до [4 5] и повторите шаги. [n-1 n] Аппроксиматор Паде лучше аппроксимирует ответ при t = 0 чем [n n] Приближение Паде.

stepPade45 = pade(step,'Order',[4 5])

stepPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = Hsol(s)*stepPade45

yPade45 = 
 $\frac{a (27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560)}{s (s τ + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45,[a tau],[1 3])

yPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (3 s + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

Найти обратное преобразование Лапласа yPade45 использование ilaplace. Приблизительный yPade45 численно с использованием vpa. Постройте график ответа, рассчитанного по аппроксиманту Паде yPade45.

yPade45 = vpa(ilaplace(yPade45));
fplot(yPade45, [0 20], 'DisplayName', 'Padé approximant [4 5]')

Figure contains an axes. The axes with title Padé approximant for dead-time step input contains 4 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Padé approximant [2 2], Relative Padé approximant [2 2], Padé approximant [4 5].

Заключения

Были показаны следующие моменты:

Аппроксиматоры Padé могут моделировать входы шагов с мертвым временем.
Точность аппроксиманта Паде увеличивается с увеличением порядка аппроксиманта.
Когда в точке расширения существует полюс или ноль, аппроксимант Паде неточен относительно точки расширения. Для повышения точности аппроксиманта установите OrderMode опция для Relative. Можно также использовать увеличение порядка знаменателя относительно числителя.

Документация