Документация

Упростить с помощью опций

По умолчанию simplify использует строгие правила упрощения и гарантирует, что упрощенные выражения всегда математически эквивалентны начальным выражениям. Например, он не объединяет логарифмы для комплексных значений в целом.

syms x
simplify(log(x^2) + log(x))

ans =
log(x^2) + log(x)

Можно применить дополнительные правила упрощения, которые являются правильными не для всех значений параметров и всех вариантов, но с использованием которых simplify может возвращать более короткие результаты. Для этого подхода используйте IgnoreAnalyticConstraints. Например, упрощение одного и того же выражения с помощью IgnoreAnalyticConstraints, вы получаете результат с комбинированными логарифмами.

simplify(log(x^2) + log(x),'IgnoreAnalyticConstraints',true)

ans =
3*log(x)

IgnoreAnalyticConstraints предоставляет ярлык, позволяющий упростить выражения в соответствии с широко используемыми предположениями о значениях переменных. Кроме того, можно явно установить соответствующие допущения для переменных. Например, объединение логарифмов недопустимо для комплексных значений в целом. Если предположить, что x - действительное значение, simplify объединяет логарифмы без IgnoreAnalyticConstraints.

assume(x,'real')
simplify(log(x^2) + log(x))

ans =
log(x^3)

Для дальнейших вычислений очистите допущение на x путем его повторного создания с использованием syms.

syms x

Другим подходом, который может улучшить упрощение выражения или функции, является синтаксис simplify(f,'Steps',n), где n является положительным целым числом, которое управляет количеством шагов simplify принимает. Указание дополнительных шагов упрощения может помочь упростить выражение, но для этого требуется больше времени. По умолчанию n = 1. Например, создайте и упростите это выражение. Результат короче исходного выражения, но его можно упростить дальше.

syms x
y = (cos(x)^2 - sin(x)^2)*sin(2*x)*(exp(2*x) - 2*exp(x) + 1)/...
    ((cos(2*x)^2 - sin(2*x)^2)*(exp(2*x) - 1));
simplify(y)

ans =
(sin(4*x)*(exp(x) - 1))/(2*cos(4*x)*(exp(x) + 1))

Укажите число шагов упрощения для одного и того же выражения. Сначала используйте 25 шагов.

simplify(y,'Steps',25)

ans =
(tan(4*x)*(exp(x) - 1))/(2*(exp(x) + 1))

Используйте 50 шагов, чтобы еще больше упростить выражение.

simplify(y,'Steps',50)

ans =
(tan(4*x)*tanh(x/2))/2

Предположим, что вы уже упростили выражение или функцию, но вам нужны другие формы того же выражения. Для этого можно установить 'All' опция для true. Синтаксис simplify(f,'Steps',n,'All',true) показывает другие эквивалентные результаты того же выражения на этапах упрощения.

syms x
y = cos(x) + sin(x)
simplify(y,'Steps',10,'All',true)

ans =
                                                   2^(1/2)*sin(x + pi/4)
                                                   2^(1/2)*cos(x - pi/4)
                                                         cos(x) + sin(x)
 2^(1/2)*((exp(- x*1i - (pi*1i)/4)*1i)/2 - (exp(x*1i + (pi*1i)/4)*1i)/2)

Чтобы вернуть еще больше эквивалентных результатов, увеличьте число шагов до 25.

simplify(y,'Steps',25,'All',true)

ans =
                                                   2^(1/2)*sin(x + pi/4)
                                                   2^(1/2)*cos(x - pi/4)
                                                         cos(x) + sin(x)
                                      -2^(1/2)*(2*sin(x/2 - pi/8)^2 - 1)
           2^(1/2)*(exp(- x*1i + (pi*1i)/4)/2 + exp(x*1i - (pi*1i)/4)/2)
 2^(1/2)*((exp(- x*1i - (pi*1i)/4)*1i)/2 - (exp(x*1i + (pi*1i)/4)*1i)/2)

Упрощение использования допущений

Некоторые выражения не могут быть упрощены в целом, но становятся значительно короче при определенных допущениях. Например, упрощение этого тригонометрического выражения без дополнительных допущений возвращает исходное выражение.

syms n
simplify(sin(2*n*pi))

ans =
sin(2*pi*n)

Однако, если предположить, что переменная n представляет целое число, то же тригонометрическое выражение упрощается до 0.

assume(n,'integer')
simplify(sin(2*n*pi))

ans =
0

Для дальнейших вычислений очистите допущение.

syms n

Упрощение дробей

Можно использовать общую функцию упрощения, simplify, для упрощения дробей. Однако Symbolic Math Toolbox предлагает более эффективную функцию специально для этой задачи: simplifyFraction. Заявление simplifyFraction(f) представляет выражение f как дробь, где и числитель, и знаменатель - многочлены, наибольший общий делитель которых равен 1. Например, упростите эти выражения.

syms x y
simplifyFraction((x^3 - 1)/(x - 1))

ans =
x^2 + x + 1

simplifyFraction((x^3 - x^2*y - x*y^2 + y^3)/(x^3 + y^3))

ans =
(x^2 - 2*x*y + y^2)/(x^2 - x*y + y^2)

По умолчанию simplifyFraction не расширяет выражения в числителе и знаменателе возвращаемого результата. Чтобы развернуть числитель и знаменатель в результирующем выражении, используйте Expand вариант. Для сравнения сначала упростите эту дробь без Expand.

simplifyFraction((1 - exp(x)^4)/(1 + exp(x))^4)

ans =
(exp(2*x) - exp(3*x) - exp(x) + 1)/(exp(x) + 1)^3

Теперь упростите те же выражения с помощью Expand.

simplifyFraction((1 - exp(x)^4)/(1 + exp(x))^4,'Expand',true)

ans =
(exp(2*x) - exp(3*x) - exp(x) + 1)/(3*exp(2*x) + exp(3*x) + 3*exp(x) + 1)