Взаимная корреляция вейвлета для анализа опережения-запаздывания

В этом примере показано, как использовать вейвлет-взаимную корреляцию для измерения подобия между двумя сигналами в разных масштабах.

Вейвлет-кросс-корреляция является просто масштабно-локализованной версией обычной взаимной корреляции между двумя сигналами. При взаимной корреляции определяется сходство между двумя последовательностями путем сдвига одной относительно другой, умножения сдвинутых последовательностей на элемент и суммирования результата. Для детерминированных последовательностей можно записать это как обычное внутреннее произведение: $${}_{}{}_{}{}_{}\underset{}{}{}_{}{\underset{}{\overset{}{}}}_{\mathrm{<xn,yn-k>n=\sum nxny‾n-k}}$$ где $${}_{\mathrm{xn}}$$ и $${}_{\mathrm{yn}}$$ - последовательности (сигналы) и штрих обозначает комплексное сопряжение. Переменная k является переменной запаздывания и представляет сдвиг, применяемый к $${}_{\mathrm{yn}}$$. Если и $${}_{\mathrm{xn}}$$, и $${}_{\mathrm{yn}}$$ являются реальными, комплексный конъюгат не является необходимым. Предположим, что $${}_{\mathrm{yn}}$$ является той же последовательностью, что $${}_{\mathrm{и\; xn}}$$, но задерживается на L > 0 выборок, где L - целое число. Для конкретизации $${\mathrm{предположим,}}_{}{\mathrm{что\; yn}}_{=\mathrm{}\mathrm{}}$$xn-10. Если вы $${}_{}$$выражаете yn в терминах $${}_{}$$xn выше, вы $${}_{\mathrm{получаете}}{}_{\mathrm{}\mathrm{}}{}_{}\underset{}{}{}_{}{\underset{}{\overset{}{}}}_{\mathrm{}\mathrm{}}$$<xn,xn-10-k>n=∑nxnx‾n-10-k. По неравенству Коши - Шварца вышеуказанное максимизируется $$при\mathrm{}\mathrm{k}$$= -10. Это означает, что если вы оставили сдвиг ($${}_{}$$опережение) на 10 выборок, вы получите максимальное