Пример

Поляки с высокой кратностью и кластеры близлежащих полюсов могут быть очень чувствительны к ошибкам округления, что иногда может иметь драматические последствия. Этот пример использует модель пространства состояний 15-го порядка в дискретном времени Hss с кластером стабильных полюсов около z=1:

load numdemo Hss

Преобразуйте модель в передаточную функцию с помощью tf:

Htf = tf(Hss);

Сравнение отклика

Сравнение переходных характеристик Hss и Htf чтобы увидеть, как чувствительность полюса может повлиять на стабильность модели и вызвать большие изменения в вычисленных временных и частотных характеристиках:

step(Hss,'b',Htf,'r',20)
legend('Hss','Htf')

Область переходной характеристики Htf расходится, хотя модель пространства состояний Hss стабильен (все его полюса лежат в модуль круге). Диаграмма Боде также показывает большое расхождение между моделями пространства состояний и передаточной функции:

bode(Hss,'b',Htf,'r--')
legend('Hss','Htf')

Алгоритм, используемый для преобразования из пространства состояний в передаточную функцию, не вызывает этого расхождения. Если вы преобразовываете из пространства состояний в нули , полюса и усиления, первый шаг в любом преобразовании SS в TF, расхождения исчезают:

Hzpk = zpk(Hss);

step(Hss,'b',Hzpk,'r--')
legend('Hss','Hzpk')

bode(Hss,'b',Hzpk,'r--')

Этот анализ показывает, что расхождения возникают в преобразовании ZPK в TF, которое просто включает вычисление полинома из его корней.

Причина расхождения

Чтобы понять причину этих больших расхождений, сравните карты полюса/нуля модели пространства состояний и ее передаточную функцию:

pzplot(Hss,'b',Htf,'r')
legend('Hss','Htf')

Обратите внимание на плотно упакованную кластер полюсов около z = 1 в Hss. Когда эти полюса рекомбинированы в знаменатель передаточной функции, ошибки округления возмущают кластер полюсов в равномерно распределенное звонок полюсов вокруг z = 1 (типичный шаблон для возмущенных нескольких корней). К сожалению, некоторые возмущенные полюсы пересекают модуль круг и делают передаточную функцию нестабильной. Увеличьте изображение графика, чтобы увидеть эти полюса:

pzplot(Hss,'b',Htf,'r');
axis([0.5 1.5 -.4 .4])

Подтвердить это объяснение можно простым экспериментом. Создайте полином, корни которого являются полюсами R1 от Hss, вычислите корни этого полинома и сравните эти корни с R1:

R1 = pole(Hss);                  % poles of Hss
Den = poly(R1);                  % polynomial with roots R1
R2 = roots(Den);                 % roots of this polynomial
plot(real(R1),imag(R1),'bx',real(R2),imag(R2),'r*')
legend('R1','roots(poly(R1))');

Этот график показывает, что ROOTS(POLY(R1)) довольно отличается от R1 из-за кластеризованных корней. В результате корни знаменателя передаточной функции значительно отличаются от полюсов исходной модели пространства состояний Hss.

В заключение, вы должны избегать преобразования моделей пространства состояний или нулей , полюса и усиления в форму передаточной функции, потому что этот процесс может привести к значительной потере точности.