Рациональный сплайн является по определению любой функцией, которая является отношением двух сплайнов:
Это требует, чтобы w были скалярными, но s часто выбирается, чтобы быть векторными. Кроме того, желательно, чтобы w (x) не было нулем для любого x интереса.
Рациональные сплайны популярны, потому что, в отличие от обычных сплайнов, они могут использоваться, чтобы описать определенные основные формы проекта, такие как конические сечения, в точности.
Два сплайна, s и w, в рациональном сплайне r (x) = s (x )/ w (x), не должны быть связаны друг с другом. Они могут быть даже разных форм. Но, в контексте этого тулбокса, их удобно ограничивать быть одинаковой формы, да еще одного порядка и с одинаковыми пропусками или узлами. Для, при этом предположении, можно представлять такой рациональный сплайн с помощью (векторно оцененной) сплайн функции
значения которых являются векторами с одним больше входом, чем значения рациональных сплайн- r, и называют это rsform рационального сплайна, или, точнее, rpform или rBform, в зависимости от того, находятся ли s и w в ppform или в B-форме. Внутренне единственное, что отличает эти рациональные формы от соответствующих им обыкновенных сплайн, rpform и B-формы, - это их формообразующая часть, т.е. строка, полученная посредством fnbrk(r,'form'). Этого достаточно, чтобы предупредить fn... команды для правильного действия с функцией в одной из rsform.
Для примера, как это делается в fnval, очень легко получить r (x) из R (x). Если v - значение R в x, тогда v(1:end-1)/v(end) - значение r в x. Если, в сложение, dv DR (x), затем (dv(1:end-1)-dv(end)*v(1:end-1))/v(end) - Dr (x). В более общем плане по формуле Лейбница ,
Поэтому,
Это показывает, что вы можете вычислить производные r индуктивно, используя производные s и w (то есть производные R) наряду с производными r порядка меньше j для вычисления j-й производной r. Эта индуктивная схема используется в fntlr предоставить первые так много производных рационального сплайна. Существует соответствующая формула для частичных и направленных производных для многомерных рациональных сплайнов.