Среднее вращение Кватерниона
quatAverage = meanrot(quat)quat вдоль первого измерения массива, размер которого не равен 1.
Если quat является вектором, meanrot(quat) возвращает среднее вращение элементов.
Если quat является матрицей, meanrot(quat) возвращает вектор-строку, содержащую среднее вращение каждого столбца.
Если quat является многомерным массивом, затем mearot(quat) действует вдоль первого измерения массива, размер которого не равен 1, обрабатывая элементы как векторы. Эта размерность становится равным 1, в то время как размеры всех других размерностей остаются неизменными.
meanrot функция нормализует входные кватернионы, quat, перед вычислением среднего.
quatAverage = meanrot(quat,dim)dim. Для примера, если quat является матрицей, тогда meanrot(quat,2) - вектор-столбец, содержащая среднее значение каждой строки.
quatAverage = meanrot(___,nanflag)NaN значения из вычисления для любого из предыдущих синтаксисов. meanrot(quat,'includenan') включает все NaN значения в вычислении при mean(quat,'omitnan') игнорирует их.
Создайте матрицу кватернионов, соответствующих трем наборам углов Эйлера.
eulerAngles = [40 20 10; ... 50 10 5; ... 45 70 1]; quat = quaternion(eulerAngles,'eulerd','ZYX','frame');
Определите среднее вращение, представленное кватернионами. Преобразуйте среднее вращение в углы Эйлера в степенях для читаемости.
quatAverage = meanrot(quat)
quatAverage = quaternion
0.88863 - 0.062598i + 0.27822j + 0.35918k
eulerAverage = eulerd(quatAverage,'ZYX','frame')
eulerAverage = 1×3
45.7876 32.6452 6.0407
Использование meanrot по последовательности кватернионов для среднего значения аддитивного шума.
Создайте вектор из 1e6 кватернионов, расстояние которых определяется dist функция от кватерниона (1,0,0,0) обычно распределена. Постройте график углов Эйлера, соответствующих зашумленному вектору кватерниона.
nrows = 1e6; ax = 2*rand(nrows,3) - 1; ax = ax./sqrt(sum(ax.^2,2)); ang = 0.5*randn(size(ax,1),1); q = quaternion(ax.*ang ,'rotvec'); noisyEulerAngles = eulerd(q,'ZYX','frame'); figure(1) subplot(3,1,1) plot(noisyEulerAngles(:,1)) title('Z-Axis') ylabel('Rotation (degrees)') hold on subplot(3,1,2) plot(noisyEulerAngles(:,2)) title('Y-Axis') ylabel('Rotation (degrees)') hold on subplot(3,1,3) plot(noisyEulerAngles(:,3)) title('X-Axis') ylabel('Rotation (degrees)') hold on
Использование meanrot определить средний кватернион, заданный вектор кватернионов. Преобразуйте углы Эйлера и постройте график результатов.
qAverage = meanrot(q); qAverageInEulerAngles = eulerd(qAverage,'ZYX','frame'); figure(1) subplot(3,1,1) plot(ones(nrows,1)*qAverageInEulerAngles(:,1)) title('Z-Axis') subplot(3,1,2) plot(ones(nrows,1)*qAverageInEulerAngles(:,2)) title('Y-Axis') subplot(3,1,3) plot(ones(nrows,1)*qAverageInEulerAngles(:,3)) title('X-Axis')
meanrot Алгоритм и ограниченияThe meanrot Алгоритм
The meanrot функция выводит кватернион, который минимизирует квадратную норму Фробениуса различия между матрицами вращения. Рассмотрим два кватерниона:
q0 не представляет вращение.
q90 представляет вращение на 90 степени вокруг оси X.
q0 = quaternion([0 0 0],'eulerd','ZYX','frame'); q90 = quaternion([0 0 90],'eulerd','ZYX','frame');
Создайте кватернион свип, qSweep, который представляет повороты от 0 до 180 степеней вокруг оси X.
eulerSweep = (0:1:180)'; qSweep = quaternion([zeros(numel(eulerSweep),2),eulerSweep], ... 'eulerd','ZYX','frame');
Преобразование q0, q90, и qSweep в матрицы поворота. В цикле вычислите метрику, чтобы минимизировать для каждого представителя кватерниона. Постройте график результатов и верните значение сдвига Эйлера, которое соответствует минимуму метрики.
r0 = rotmat(q0,'frame'); r90 = rotmat(q90,'frame'); rSweep = rotmat(qSweep,'frame'); metricToMinimize = zeros(size(rSweep,3),1); for i = 1:numel(qSweep) metricToMinimize(i) = norm((rSweep(:,:,i) - r0),'fro').^2 + ... norm((rSweep(:,:,i) - r90),'fro').^2; end plot(eulerSweep,metricToMinimize) xlabel('Euler Sweep (degrees)') ylabel('Metric to Minimize')
[~,eulerIndex] = min(metricToMinimize); eulerSweep(eulerIndex)
ans = 45
Минимум метрики соответствует углу Эйлера свип на 45 степенях. То есть meanrot определяет среднее значение между quaterion([0 0 0],'ZYX','frame') и quaternion([0 0 90],'ZYX','frame') как quaternion([0 0 45],'ZYX','frame'). Функции meanrot с q0 и q90 для проверки того же результата.
eulerd(meanrot([q0,q90]),'ZYX','frame')
ans = 1×3
0 0 45.0000
Ограничения
Метрика, которая meanrot использует, чтобы определить среднее вращение не уникально для кватернионов значительно далеко друг от друга. Повторите эксперимент выше для кватернионов, которые разделены на 180 степени.
q180 = quaternion([0 0 180],'eulerd','ZYX','frame'); r180 = rotmat(q180,'frame'); for i = 1:numel(qSweep) metricToMinimize(i) = norm((rSweep(:,:,i) - r0),'fro').^2 + ... norm((rSweep(:,:,i) - r180),'fro').^2; end plot(eulerSweep,metricToMinimize) xlabel('Euler Sweep (degrees)') ylabel('Metric to Minimize')
[~,eulerIndex] = min(metricToMinimize); eulerSweep(eulerIndex)
ans = 159
Средства кватерниона обычно вычисляются для вращений, которые близки друг к другу, что делает ребру случай, показанный в этом примере, маловероятным в реальных приложениях. Чтобы усреднить два кватерниона, которые значительно отдалены друг от друга, используйте slerp функция. Повторите эксперимент, используя slerp и проверьте, что среднее значение кватерниона, возвращаемое, более интуитивно понятно для больших расстояний.
qMean = slerp(q0,q180,0.5); q0_q180 = eulerd(qMean,'ZYX','frame')
q0_q180 = 1×3
0 0 90.0000
meanrot определяет среднее значение кватерниона, , согласно [1]. - кватернион, который минимизирует квадратную норму Фробениуса различия между матрицами поворота:
[1] Маркли, Ф. Лэндис, Ян Чен, Джон Лукас Крассидис и Яаков Ошман. «Средние кватернионы». Журнал руководства, управления и динамики. Том 30, Выпуск 4, 2007, стр. 1193-1197.