Область значений и точность

Область значений чисел задаёт пределы представления, в то время как точность задает расстояние между последовательными числами в представлении. Области значений и точность числа с фиксированной точкой зависят от длины слова и масштабирования.

Примечание

Вы должны обратить внимание на точность и область значений типов данных с фиксированной точкой и масштабированиями, которые вы выбираете в порядок, чтобы знать, будут ли вызываться методы округления или будут ли происходить переполнения или нижние потоки.

Область значений

Область значений является диапазоном чисел, которые могут представлять тип данных с фиксированной точкой и масштабирование. Область значений ограничена, потому что слова с фиксированной точкой имеют ограниченный размер.

Область значений представимых чисел для дополнительного числа размера слова с фиксированной точкой $w l$ , масштабирование $S$ и смещение $B$ иллюстрируется ниже, где значения $w l$ , $S$ , и $B$ допускает как отрицательные, так и положительные числа.

Для как подписанных, так и неподписанных номеров с фиксированной точкой любого типа данных количество различных битовых шаблонов составляет 2^wl.

Например, в дополнении двух отрицательные числа должны быть представлены, а также нули, поэтому максимальное значение равно 2^{wl -1} – 1. Поскольку существует только одно представление для нуля, существует неравное число положительных и отрицательных чисел. Это означает, что существует представление для $- 2^{w l - 1}$ но не для $2^{w l - 1}$ :

Ограничения на область значений

Поскольку тип данных с фиксированной точкой представляет числа в конечной области значений, переполнения и нижние потоки могут возникнуть, если результат операции больше или меньше, чем числа в этой области значений.

В двоичной арифметике процессору может потребоваться взять n-битный номер с фиксированной точкой и хранить его в m битах, где $m \neq n$ . Если m < n, область значений числа был уменьшен, и операция может привести к условию. Некоторые процессоры идентифицируют это условие как Inf или NaN. Для других процессоров, особенно цифровых сигнальных процессоров (DSP), значение насыщается или оборачивается.

Программное обеспечение Fixed-Point Designer™ позволяет вам либо насыщать, либо обернуть переполнения. Насыщение представляет положительное переполнение как самое большое положительное число в используемой области значений и отрицательное переполнение как самое большое отрицательное число в используемой области значений. Wrapping использует арифметику по модулю, чтобы привести переполнение назад в представимую область значений типа данных.

Когда вы создаете fi объект, любые переполнения насыщены. The OverflowAction свойство fimath по умолчанию saturate. Можно вести журнал переполнений и подтоков путем установки LoggingMode свойство fipref объект к on.

Если m > n, область значений числа был расширенная. Расширение области значений требует включения защитных бит, которые действуют, чтобы защитить от потенциального переполнения.

Simulink^® программное обеспечение поддерживает насыщение и перенос для всех типов данных с фиксированной точкой, в то время как защитные биты поддерживаются только для дробных типов данных.

Точность

Точность числа с фиксированной точкой является различием между последовательными значениями, представимыми его типом данных и масштабированием. Значение наименее значимого бита, и, следовательно, точность числа, определяется количеством дробных бит. Значение с фиксированной точкой может быть представлено в пределах половины точности его типа данных и масштабирования.

Для примера представление с фиксированной точкой с четырьмя битами справа от двоичной точки имеет точность 2^-4 или 0,0625, которое является значением его наименее значимого бита. Любое число в области значений этого типа данных и масштабирования может быть представлено в пределах (2^-4)/2 или 0,03125, что вдвое меньше точности. Это пример представления числа с конечной точностью.

Ограничения на точность

Точность слова с фиксированной точкой зависит от размера слова и расположения двоичной точки. Например, предположим, что вы должны представлять реальное число 35.375 с номером с фиксированной точкой. Используя схему кодирования смещения наклона, представление является

$V \approx \tilde{V} = S Q + B = 2^{- 2} Q + 32,$

где V = 35,375.

Двумя ближайшими приближениями к вещественному значению являются Q = 13 и Q = 14:

$\begin{array}{l} \tilde{V} = 2^{- 2} (13) + 32 = 35.25, \\ \tilde{V} = 2^{- 2} (14) + 32 = 35.50. \end{array}$

В любом случае абсолютная ошибка одинаковая:

$| \tilde{V} - V | = 0.125 = \frac{S}{2} = \frac{F 2^{E}}{2} .$

Для значений с фиксированной точкой в ограниченной области значений это представляет ошибку худшего случая, если используется округление к ближайшему. Если используются другие режимы округления, ошибка в худшем случае может быть в два раза больше:

$| \tilde{V} - V | < F 2^{E} .$

Расширение точности слова может быть достигнуто с большим количеством бит, но с этим подходом вы сталкиваетесь с практическими ограничениями. Вместо этого необходимо тщательно выбрать тип данных, размер слова и масштабирование, чтобы номера были точно представлены. Округление и заполнение с конечными нулями являются типичными методами, реализованными на процессорах, чтобы справиться с точностью двоичных слов.

Параметры типа данных с фиксированной точкой

Нижний предел, высокий предел и масштабирование только для двоичных точек по умолчанию для поддерживаемых типов данных с фиксированной точкой, обсуждаемое в Binary-Point-Only Scaling, приведены в следующей таблице.

Область значений типов данных с фиксированной точкой и масштабирование по умолчанию

Имя	Тип данных	Низкий предел	Высокий предел	Масштабирование по умолчанию (~ точность)
Целое число без знака	`fixdt(0,ws,0)`	0	$2^{w s} - 1$	`1`
Целое число со знаком	`fixdt(1,ws,0)`	$- 2^{w s - 1}$	$2^{w s - 1} - 1$	`1`
Беззнаковая двоичная точка	`fixdt(0,ws,fl)`	0	$(2^{w s} - 1) 2^{- f l}$	$2^{- f l}$
Подписанная двоичная точка	`fixdt(1,ws,fl)`	$- 2^{w s - 1 - f l}$	$(2^{w s - 1} - 1) 2^{- f l}$	$2^{- f l}$
Смещение без знака наклона	`fixdt(0,ws,s,b)`	`b`	$s (2^{w s} - 1) + b$	s
Смещение наклона со знаком	`fixdt(1,ws,s,b)`	$- s (2^{w s - 1}) + b$	$s (2^{w s - 1} - 1) + b$	s

s = Уклон, b = Смещение, ws = WordLength, fl = FractionLength