Функции, определяющие цели и ограничения

Целевая функция является

Эта целевая функция неотрицательна и принимает ее минимальное значение 0 в точке $$x=[4/3,(4/3{)}^3-4/3]$$ = [1.3333, 1.0370].

Задача имеет две нелинейные функции ограничений.

Постройте график допустимой области для нелинейных ограничений.

[X,Y] = meshgrid(-2:.01:3);
Z = (5*sinh(Y./5) >= X.^4); 
% Z=1 where the first constraint is satisfied, Z=0 otherwise
Z = Z+ 2*(5*tanh(X./5) >= Y.^2 - 1); 
% Z=2 where the second constraint is satisfied
% Z=3 where both constraints are satisfied
surf(X,Y,Z,'LineStyle','none');
fig = gcf;
fig.Color = 'w'; % white background
view(0,90)
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')

Желтая область показывает, где оба ограничения удовлетворены.

surrogateopt требует, чтобы целевая и ограничительная функции были частью одной и той же функции, той, которая возвращает структуру. Целевая функция находится в Fval поле структуры, и ограничения находятся в Ineq поле. Эти поля являются выходами objconstr функция в конце этого примера.

Масштабирование целочисленных ограничений, чтобы лечь на мелкую сетку

Установите задачу, чтобы иметь целочисленные ограничения в обеих переменных, x(1) и x(2).

intcon = [1 2];

Масштабируйте задачу так, чтобы переменные масштабировались s = 1/10, где s умножает переменные.

s = 0.1;
f = @(x)objconstr(x,s);

Чтобы это масштабирование было эффективным, вам нужно масштабировать границы на $$1/s$$. Установите немасштабированные границы равными $$-2\le x_i\le 3$$ и масштабируйте каждый по $$1/s$$.

lb = [-2,-2]/s;
ub = [3,3]/s;

При помощи s масштабирования, задача эффективно имеет интервалы s в каждом компоненте x(1) и x(2). Постройте график целочисленных точек как сетки с интервалом s.

hold on
grid on
ax = gca;
sp = -2:s:3;
ax.XTick = sp;
ax.YTick = sp;
ax.Layer = 'top';
ax.GridAlpha = 1/2;
ax.XTickLabel = '';
ax.YTickLabel = '';
xlabel('x_1')
ylabel('x_2')
hold off

Решите масштабированную задачу

Установите опции, чтобы использовать более жесткие ограничения, чем по умолчанию, и использовать surrogateoptplot постройте график функции.

opts = optimoptions('surrogateopt','PlotFcn',"surrogateoptplot","ConstraintTolerance",1e-6);

Функции surrogateopt чтобы решить проблему.

rng default % For reproducibility
[sol,fval,eflag,outpt] = surrogateopt(f,lb,ub,intcon,opts)

surrogateopt stopped because it exceeded the function evaluation limit set by 
'options.MaxFunctionEvaluations'.

sol = 1×2

     5     1

fval = 0.8634

eflag = 0

outpt = struct with fields:
        elapsedtime: 59.6897
          funccount: 200
    constrviolation: -0.0375
               ineq: [-0.0375 -1.4883]
           rngstate: [1x1 struct]
            message: 'surrogateopt stopped because it exceeded the function evaluation limit set by ...'

Постройте график решения как красный круг на рисунке. Заметьте, что значение целевой функции составляет приблизительно 0,86.

figure(fig);
hold on
plot3(sol(1)*s,sol(2)*s,5,'ro')
hold off

Сравнение с решением без целочисленных ограничений

Сравните решение с целочисленными ограничениями с решением без целочисленных ограничений.

[sol2,fval2,eflag2,outpt2] = surrogateopt(f,lb,ub,[],opts)

surrogateopt stopped because it exceeded the function evaluation limit set by 
'options.MaxFunctionEvaluations'.

sol2 = 1×2

    4.3757    0.3667

fval2 = 0.8153

eflag2 = 0

outpt2 = struct with fields:
        elapsedtime: 35.0093
          funccount: 200
    constrviolation: -8.6916e-06
               ineq: [-8.6916e-06 -1.4351]
           rngstate: [1x1 struct]
            message: 'surrogateopt stopped because it exceeded the function evaluation limit set by ...'

Здесь значение целевой функции составляет приблизительно 0,815. Целочисленные ограничения увеличивают значение целевой функции менее чем на 10%. Постройте график нового решения вместе с предыдущим целочисленным решением. Увеличьте изображение, чтобы увидеть точки решения более четко.

figure(fig)
hold on
plot3(sol2(1)*s,sol2(2)*s,5,'k*','MarkerSize',12)
xlim([0 1])
ylim([-1/2 1/2])
hold off

Функция помощника

Этот код создает objconstr вспомогательная функция. Эта функция масштабирует переменную x по фактору s, возвращает значение целевой функции в Fval поле F structure, и возвращает нелинейные ограничения в Ineq поле F структура.

function F = objconstr(x,s)
x = x*s;
fun = log(1 + 3*(x(2) - (x(1)^3 - x(1)))^2 + (x(1) - 4/3)^2);
c1 = x(1)^4 - 5*sinh(x(2)/5);
c2 = x(2)^2 - 5*tanh(x(1)/5) - 1;
c = [c1 c2];
F.Fval = fun;
F.Ineq = c;
end