Exponenta Banner

Графическое сравнение экспоненциальных функций

Открыть Live Script

Этот пример показывает интересный графический подход для обнаружения, является ли eπ больше, чем πe.

Вопрос в том, что больше, eπ или πe? Простой способ выяснить - ввести его непосредственно в командной строке MATLAB ®. Но другой способ анализа ситуации - задать более общий вопрос: какова форма функцииz(x,y)=xy-yx?

Вот график z.

% Define the mesh
x = 0:0.16:5;
y = 0:0.16:5;
[xx,yy] = meshgrid(x,y);

% The plot
zz = xx.^yy-yy.^xx;
h = surf(x,y,zz);
h.EdgeColor = [0.7 0.7 0.7];
view(20,50);
colormap(hsv);
title('$z = x^y-y^x$','Interpreter','latex')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold on

Figure contains an axes. The axes with title $z = x^y-y^x$ contains an object of type surface.

Решение уравнения xy-yx=0 имеет очень интересную форму, и наш оригинальный вопрос не легко решить осмотром. Вот график значений xy, которые дают z=0.

c = contourc(x,y,zz,[0 0]);
list1Len = c(2,1);
xContour = [c(1,2:1+list1Len) NaN c(1,3+list1Len:size(c,2))];
yContour = [c(2,2:1+list1Len) NaN c(2,3+list1Len:size(c,2))];
% Note that the NAN above prevents the end of the first contour line from being
% connected to the beginning of the second line
line(xContour,yContour,'Color','k');

Figure contains an axes. The axes with title $z = x^y-y^x$ contains 2 objects of type surface, line.

Некоторые комбинации x и y вдоль черной кривой являются целыми числами. Этот следующий график из целочисленных решений уравнения xy-yx=0. Заметьте, что 24=42 является единственным целочисленным решением, где x≠y. 

plot([0:5 2 4],[0:5 4 2],'r.','MarkerSize',25);

Figure contains an axes. The axes with title $z = x^y-y^x$ contains 3 objects of type surface, line.

Наконец, постройте график точек (π,e) и (e,π) на поверхности. Результат показывает, что eπ действительно больше, чем πe (хотя и ненамного).

e = exp(1);
plot([e pi],[pi e],'r.','MarkerSize',25);
plot([e pi],[pi e],'y.','MarkerSize',10);
text(e,3.3,'(e,pi)','Color','k', ...
   'HorizontalAlignment','left','VerticalAlignment','bottom');
text(3.3,e,'(pi,e)','Color','k','HorizontalAlignment','left',...
   'VerticalAlignment','bottom');
hold off;

Figure contains an axes. The axes with title $z = x^y-y^x$ contains 7 objects of type surface, line, text.

Проверьте результаты.

e = exp(1);
e^pi
ans = 23.1407

pi^e
ans = 22.4592

См. также

|

Документация MATLAB

Поддержка