Графическое сравнение экспоненциальных функций
Этот пример показывает интересный графический подход для обнаружения, является ли больше, чем .
Вопрос в том, что больше, или ? Простой способ выяснить - ввести его непосредственно в командной строке MATLAB ®. Но другой способ анализа ситуации - задать более общий вопрос: какова форма функции?
Вот график .
% Define the mesh x = 0:0.16:5; y = 0:0.16:5; [xx,yy] = meshgrid(x,y); % The plot zz = xx.^yy-yy.^xx; h = surf(x,y,zz); h.EdgeColor = [0.7 0.7 0.7]; view(20,50); colormap(hsv); title('$z = x^y-y^x$','Interpreter','latex') xlabel('x') ylabel('y') hold on
Решение уравнения имеет очень интересную форму, и наш оригинальный вопрос не легко решить осмотром. Вот график значений xy, которые дают .
c = contourc(x,y,zz,[0 0]); list1Len = c(2,1); xContour = [c(1,2:1+list1Len) NaN c(1,3+list1Len:size(c,2))]; yContour = [c(2,2:1+list1Len) NaN c(2,3+list1Len:size(c,2))]; % Note that the NAN above prevents the end of the first contour line from being % connected to the beginning of the second line line(xContour,yContour,'Color','k');
Некоторые комбинации x и y вдоль черной кривой являются целыми числами. Этот следующий график из целочисленных решений уравнения . Заметьте, что является единственным целочисленным решением, где .
plot([0:5 2 4],[0:5 4 2],'r.','MarkerSize',25);
Наконец, постройте график точек и на поверхности. Результат показывает, что действительно больше, чем (хотя и ненамного).
e = exp(1); plot([e pi],[pi e],'r.','MarkerSize',25); plot([e pi],[pi e],'y.','MarkerSize',10); text(e,3.3,'(e,pi)','Color','k', ... 'HorizontalAlignment','left','VerticalAlignment','bottom'); text(3.3,e,'(pi,e)','Color','k','HorizontalAlignment','left',... 'VerticalAlignment','bottom'); hold off;
Проверьте результаты.
e = exp(1); e^pi
ans = 23.1407
pi^e
ans = 22.4592