Решите систему PDE с начальными функциями шага условия

Открыть Live Script

Этот пример показывает, как решить систему дифференциальных уравнений с частными производными, которая использует функции шага в начальных условиях.

Рассмотрите PDE

$\begin{array}{l} \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} [d \frac{\partial n}{\partial x} - a n \frac{\partial c}{\partial x}] + S r n (N - n), \\ \frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} + S (\frac{n}{n + 1} - c) . \end{array}$

Уравнения включают постоянные параметры $d$ , $a$ , $S$ , $r$ , и $N$ , и определены для $0 \leq x \leq 1$ и $t \geq 0$ . Эти уравнения возникают в математической модели первых этапов ангиогенеза, связанного с опухолью [1]. $n (x, t)$ представляет плотность камер эндотелиальных камер, и $c (x, t)$ концентрация белка, который они выделяют в ответ на опухоль.

Эта задача имеет постоянное, устойчивое состояние, когда

$[\begin{matrix} n_{0} \\ c_{0} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0.5 \end{matrix}]$ .

Однако анализ устойчивости предсказывает эволюцию системы в неоднородное решение [1]. Таким образом, шаговые функции используются в качестве начальных условий для возмущения устойчивого состояния и стимулирования эволюции системы.

Граничные условия требуют, чтобы оба компонента решения имели нулевой поток $x = 0$ и $x = 1$ .

$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} n (0, t) = \frac{\partial}{\partial x} n (1, t) = 0, \\ \frac{\partial}{\partial x} c (0, t) = \frac{\partial}{\partial x} c (1, t) = 0 . \end{array}$

Чтобы решить эту систему уравнений в MATLAB, необходимо кодировать уравнения, начальные условия и граничные условия, затем выбрать подходящий mesh решения перед вызовом решателя pdepe. Можно либо включить необходимые функции в качестве локальных функций в конце файла (как это сделано здесь), либо сохранить их как отдельные, именованные файлы в директории по пути MATLAB.

Кодовое уравнение

Прежде чем вы сможете кодировать уравнение, необходимо убедиться, что это в том виде, в котором pdepe решатель ожидает:

$c (x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) \frac{\partial u}{\partial t} = x^{- m} \frac{\partial}{\partial x} (x^{m} f (x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x})) + s (x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) .$

Поскольку в системе PDE существует два уравнения, система PDE может быть переписана как

$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \frac{\partial}{\partial t} [\begin{matrix} n \\ c \end{matrix}] = \frac{\partial}{\partial x} [\begin{matrix} d \frac{\partial n}{\partial x} - a n \frac{\partial c}{\partial x} \\ \frac{\partial c}{\partial x} \end{matrix}] + [\begin{matrix} S r n (N - n) \\ S (\frac{n}{n + 1} - c) \end{matrix}] .$

Значения коэффициентов в уравнении тогда

$m = 0$

$c (x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ (только по диагонали)

$f (x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) = [\begin{matrix} d \frac{\partial n}{\partial x} - a n \frac{\partial c}{\partial x} \\ \frac{\partial c}{\partial x} \end{matrix}]$

$s (x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) = [\begin{matrix} S r n (N - n) \\ S (\frac{n}{n + 1} - c) \end{matrix}]$

Теперь можно создать функцию, чтобы кодировать уравнение. Функция должна иметь подпись [c,f,s] = angiopde(x,t,u,dudx):

x - независимая пространственная переменная.
t - независимая временная переменная.
u - зависимая переменная, дифференцируемая по отношению к x и t. Это двухэлементный вектор, где u(1) является $n (x, t)$ и u(2) является $c (x, t)$ .
dudx - частная пространственная производная $\partial u / \partial x$ . Это двухэлементный вектор, где dudx(1) является $\partial n / \partial x$ и dudx(2) является $\partial c / \partial x$ .
Выходные выходы c, f, и s соответствуют коэффициентам в стандартной форме уравнения УЧП, ожидаемым по pdepe.

В результате уравнения в этом примере могут быть представлены функцией:

function [c,f,s] = angiopde(x,t,u,dudx)
d = 1e-3;
a = 3.8;
S = 3;
r = 0.88;
N = 1;

c = [1; 1];
f = [d*dudx(1) - a*u(1)*dudx(2)
     dudx(2)];
s = [S*r*u(1)*(N - u(1));
     S*(u(1)/(u(1) + 1) - u(2))];
end

(Примечание. Все функции включены в качестве локальных функций в конце примера.)

Начальные условия кода

Затем напишите функцию, которая возвращает начальное условие. Начальное условие применяется в первый раз и предоставляет значение $n (x, t_{0})$ и $c (x, t_{0})$ для любого значения x. Используйте сигнатуру функции u0 = angioic(x) для записи функции.

Эта задача имеет постоянное, устойчивое состояние, когда

$[\begin{matrix} n_{0} \\ c_{0} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0.5 \end{matrix}]$ .

$\begin{array}{l} u (x, 0) = [\begin{matrix} n_{0} \\ c_{0} \end{matrix}], \\ u (x, 0) = {\begin{matrix} 1.05 u_{1} & 0.3 \leq x \leq 0.6 \\ 1.0005 u_{2} & 0.3 \leq x \leq 0.6 \end{matrix} \end{array}$

Соответствующая функция является

function u0 = angioic(x)
u0 = [1; 0.5];
if x >= 0.3 && x <= 0.6
  u0(1) = 1.05 * u0(1);
  u0(2) = 1.0005 * u0(2);
end
end

Граничные условия кода

Теперь напишите функцию, которая оценивает граничные условия

$\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} n (0, t) = \frac{\partial}{\partial x} n (1, t) = 0, \\ \frac{\partial}{\partial x} c (0, t) = \frac{\partial}{\partial x} c (1, t) = 0 . \end{array}$

Для задач, поставленных на интервале $a \leq x \leq b$ , граничные условия применяются для всех $t$ и либо $x = a$ или $x = b$ . Стандартная форма для граничных условий, ожидаемых решателем,

$p (x, t, u) + q (x, t) f (x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) = 0 .$

Для $x = 0$ , граничное уравнение условия

$[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} d \frac{\partial n}{\partial x} - a n \frac{\partial c}{\partial x} \\ \frac{\partial c}{\partial x} \end{array}] = 0 .$

Таким образом, коэффициенты:

$p_{L} (x, t, u) = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}],$
$q_{L} (x, t) = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ .

Для $x = 1$ граничные условия совпадают, поэтому $p_{R} (x, t, u) = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]$ и $q_{R} (x, t) = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ .

Граничная функция должна использовать сигнатуру функции [pl,ql,pr,qr] = angiobc(xl,ul,xr,ur,t), где:

Входы xl и ul соответствуют $u$ и $x$ для левого контура.
Входы xr и ur соответствуют $u$ и $x$ для правого контура.
t - независимая временная переменная.
Выходные выходы pl и ql соответствуют $p_{L} (x, t, u)$ и $q_{L} (x, t)$ для левого контура ( $x = 0$ для этой задачи).
Выходные выходы pr и qr соответствуют $p_{R} (x, t, u)$ и $q_{R} (x, t)$ для правого контура ( $x = 1$ для этой задачи).

Граничные условия в этом примере представлены функцией:

function [pl,ql,pr,qr] = angiobc(xl,ul,xr,ur,t)
pl = [0; 0];
ql = [1; 1];
pr = pl;
qr = ql;
end

Выберите Mesh решения

Чтобы увидеть предельное поведение уравнений, требуется длительный временной интервал, поэтому используйте 10 точек в интервале $0 \leq t \leq 200$ . Кроме того, предельное распределение $c (x, t)$ изменяется только примерно на 0,1% в течение интервала $0 \leq x \leq 1$ таким образом, подходящей является относительно тонкий пространственный mesh с 50 точками.

x = linspace(0,1,50);
t = linspace(0,200,10);

Решение уравнения

Наконец, решите уравнение, используя симметрию $m$ , уравнение УЧП, начальное условие, граничные условия и сетки для $x$ и $t$ .

m = 0;
sol = pdepe(m,@angiopde,@angioic,@angiobc,x,t);

pdepe возвращает решение в трехмерный массив sol, где sol(i,j,k) аппроксимирует kпервый компонент решения $u_{k}$ оценивается в t(i) и x(j). Извлеките компоненты решения в отдельные переменные.

n = sol(:,:,1);
c = sol(:,:,2);

Решение для построения графика

Создать объемную поверхностную диаграмму компонентов решения $n$ и $c$ нанесенный на график в выбранных точках mesh для $x$ и $t$ .

surf(x,t,c)
title('c(x,t): Concentration of Fibronectin')
xlabel('Distance x')
ylabel('Time t')

Figure contains an axes. The axes with title c(x,t): Concentration of Fibronectin contains an object of type surface.

surf(x,t,n)
title('n(x,t): Density of Endothelial Cells')
xlabel('Distance x')
ylabel('Time t')

Figure contains an axes. The axes with title n(x,t): Density of Endothelial Cells contains an object of type surface.

Теперь постройте график только окончательных распределений решений в $t_{f} = 200$ . Эти графики соответствуют Фигурам 3 и 4 в [1].

plot(x,n(end,:))
title('Final distribution of n(x,t_f)')

Figure contains an axes. The axes with title Final distribution of n(x,t_f) contains an object of type line.

plot(x,c(end,:))
title('Final distribution of c(x,t_f)')

Figure contains an axes. The axes with title Final distribution of c(x,t_f) contains an object of type line.

Ссылки

[1] Хамфрис, M.E. и M.A.J. Капеллан. «Математическая модель первых шагов ангиогенеза, связанного с опухолью: Образование капиллярного ростка и вторичное ответвление». IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology, 13 (1996), pp. 73-98.

Локальные функции

Здесь перечислены локальные вспомогательные функции, которые УЧП решателя pdepe вызывает для вычисления решения. Также можно сохранить эти функции как собственные файлы в директории по пути MATLAB.

function [c,f,s] = angiopde(x,t,u,dudx) % Equation to solve
d = 1e-3;
a = 3.8;
S = 3;
r = 0.88;
N = 1;

c = [1; 1];
f = [d*dudx(1) - a*u(1)*dudx(2)
     dudx(2)];
s = [S*r*u(1)*(N - u(1));
     S*(u(1)/(u(1) + 1) - u(2))];
end
% ---------------------------------------------
function u0 = angioic(x) % Initial Conditions
u0 = [1; 0.5];
if x >= 0.3 && x <= 0.6
  u0(1) = 1.05 * u0(1);
  u0(2) = 1.0005 * u0(2);
end
end
% ---------------------------------------------
function [pl,ql,pr,qr] = angiobc(xl,ul,xr,ur,t) % Boundary Conditions
pl = [0; 0];
ql = [1; 1];
pr = pl;
qr = ql;
end
% ---------------------------------------------

См. также

pdepe

Документация