Создание интерактивных материалов курса с помощью Live Editor

Ниже приведен пример использования live скриптов в классе. В этом примере показано, как:

Добавьте уравнения, чтобы объяснить базовую математику.
Выполните отдельные разделы кода MATLAB.
Включите графики для визуализации.
Используйте ссылки и изображения для предоставления вспомогательной информации.
Экспериментируйте с кодом MATLAB в интерактивном режиме.
Подкрепляйте концепции другими примерами.
Используйте live скрипты для назначений.

Что значит найти n-й корень 1?

Добавьте уравнения, чтобы объяснить базовую математику для концепций, которым вы хотите научить. Чтобы добавить уравнение, перейдите на вкладку Insert и нажмите кнопку Equation. Затем выберите из символов и структур на вкладке Уравнение.

Сегодня мы поговорим о поиске корней 1. Что значит найти n-й корень 1? n-ые корни 1 являются решениями уравнения $x^{n} - 1 = 0$ .

Для квадратных корней это легко. Значения: $x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$ . Для корней более высокого порядка это становится немного сложнее. Чтобы найти кубические корни 1, нам нужно решить уравнение $x^{3} - 1 = 0$ . Мы можем множить это уравнение, чтобы получить

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0 .$

Таким образом, первый корень куба равен 1. Теперь мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы получить второй и третий кубические корни.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}$

Вычисление корней куба

Для выполнения отдельных разделов кода MATLAB перейдите на вкладку Live Editor и нажмите кнопку Run Section. Выход появляется вместе с кодом, который создал его. Создание разделов с помощью кнопки «Пропуск разделов».

В нашем случае a, b и c все равны 1. Другие два корня вычисляются из этих формул:

a = 1 ; b = 1 ; c = 1;
roots = [];
roots(1) = 1;
roots(2) = (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);    % Use the quadratic formula
roots(3) = (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a);

Таким образом, полный набор кубических корней из 1:

disp(roots')

   1.0000 + 0.0000i
  -0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 + 0.8660i

Отображение корней в комплексной плоскости

Включите графики в Live Editor, чтобы студенты могли визуализировать важные концепции.

Мы можем визуализировать корни в комплексной плоскости, чтобы увидеть их местоположение.

range = 0:0.01:2*pi;                              
plot(cos(range),sin(range),'k')                % Plot the unit circle                 
axis square; box off
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
hold on
plot(real(roots), imag(roots), 'ro')           % Plot the roots

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line.

Нахождение корней более высокого порядка

Чтобы добавить вспомогательную информацию, перейдите на вкладку Insert и нажмите кнопки Hyperlink и Image. Студенты могут использовать вспомогательную информацию для изучения тем лекций за пределами класса.

Как только вы пройдете $n = 3$ Все становится еще сложнее. Для 4-х корней мы могли использовать квартальную формулу, открытую Лодовико Феррари в 1540 году. Но эта формула длинна и громоздка и не помогает нам найти корни выше 4. К счастью, есть лучший способ, благодаря французскому математику XVII века по имени Авраам де Мойвр.

Авраам де Мойвр родился в Витри в Шампани 26 мая 1667 года. Он был современником и другом Айзека Ньютона, Эдмунда Галлея и Джеймса Стирлинга. https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre

Наиболее известен теоремой де Мойвра, которая связывает комплексные числа и тригонометрию, и его работой над нормальным распределением и теорией вероятностей. Де Мойвр написал книгу о теории вероятностей «Доктрина шансов», которая, как говорят, была оценена игроками. Де Мойвр впервые обнаружил формулу Бине, выражение в закрытой форме для чисел Фибоначчи, связывающее n-ю степень золотого отношения, с n-м числом Фибоначчи. Он также был первым, кто постулирует Центральную теорему предела, краеугольный камень теории вероятностей.

теорема де Мойвра утверждает, что для любого действительного x и любого целого числа n,

${(\cos x + i \sin x)}^{n} = \cos (nx) + i \sin (nx) .$

Как это помогает нам решить нашу проблему? Мы также знаем, что для любого целого числа k,

$1 = \cos (2 k π) + i \sin (2 k π) .$

Итак, по теореме де Мойвра мы получаем

$1^{1 / n} = {(\cos (2 k π) + i \sin (2 k π))}^{1 / n} = \cos (\frac{2 k π}{n}) + i \sin (\frac{2 k π}{n}) .$

Вычисление n-х корней из 1

Используйте Live Editor, чтобы экспериментировать с кодом MATLAB в интерактивном режиме. Добавьте элементы управления, чтобы показать студентам, как важные параметры влияют на анализ. Чтобы добавить элементы управления, перейдите на вкладку Live Editor, нажмите кнопку Control и выберите из доступных опций.

Мы можем использовать это последнее уравнение, чтобы найти n-ые корни из 1. Для примера для любого значения n мы можем использовать приведенную выше формулу со значениями $k = 0 \dots n - 1$ . Мы можем использовать этот код MATLAB, чтобы экспериментировать с различными значениями n:

n = 6;
корни = нули (1, n);
for k = 0: n-1
    корни (k + 1) = cos (2 * k * pi/n) + 1i * sin     (2 * k * pi/n);% Calculate the roots
end
disp (корни ')

   1.0000 + 0.0000i
   0.5000 - 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
  -1.0000 - 0.0000i
  -0.5000 + 0.8660i
   0.5000 + 0.8660i

Построение графиков корней в комплексной плоскости показывает, что корни равномерно разнесены вокруг модуля круга с интервалами $2 π / n$ .

cla
plot(cos(range),sin(range),'k')                   % Plot the unit circle
hold on
plot(real(roots),imag(roots),'ro')              % Plot the roots

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line.

Нахождение n-х корней -1, i и -i

Используйте дополнительные примеры, чтобы укрепить важные концепции. Измените код во время лекции, чтобы ответить на вопросы или исследовать идеи более подробно.

Мы можем найти корни -1, i и -i просто используя расширения описанного выше подхода. Если мы посмотрим на единичную окружность, мы увидим, что значения 1, i, -1, -i появляются под углами $0$ , $π / 2$ , $π$ , и $3 π / 2$ соответственно.

r = ones(1,4);
theta = [0 pi/2 pi 3*pi/2];
[x,y] = pol2cart(theta,r);
cla
plot(cos(range),sin(range),'k')           % Plot the unit circle
hold on
plot(x, y, 'ro')                          % Plot the values of 1, i, -1, and -i
text(x(1)+0.05,y(1),'1')                  % Add text labels
text(x(2),y(2)+0.1,'i')
text(x(3)-0.1,y(3),'-1')
text(x(4)-0.02,y(4)-0.1,'-i')

Figure contains an axes. The axes contains 6 objects of type line, text.

Зная это, мы можем написать следующее выражение для i:

$i = \cos ((2 k + 1 / 2) π) + i \sin ((2 k + 1 / 2) π) .$

Взятие n-го корня обеих сторон дает

$i^{1 / n} = {(\cos ((2 k + 1 / 2) π) + i \sin ((2 k + 1 / 2) π))}^{1 / n}$

и по теореме де Мойвра мы получаем

$i^{1 / n} = {(\cos ((2 k + 1 / 2) π) + i \sin ((2 k + 1 / 2) π))}^{1 / n} = \cos (\frac{(2 k + 1 / 2) π}{n}) + i \sin (\frac{(2 k + 1 / 2) π}{n}) .$

Домашняя работа

Используйте live скрипты в качестве базиса для назначений. Подарите студентам live скрипт, используемый в лекции, и проведите им полные упражнения, которые проверяют их понимание материала.

Используйте описанные выше методы для выполнения следующих упражнений:

Упражнение 1: Напишите код MATLAB, чтобы вычислить 3 кубических корня i.

% Put your code here

Упражнение 2: Напишите код MATLAB, чтобы вычислить 5 пятых корней из -1.

% Put your code here

Упражнение 3: Опишите математический подход, который вы бы использовали, чтобы вычислить n-ые корни произвольного комплексного числа. Включите уравнения, которые вы использовали в своем подходе.

(Опишите свой подход здесь)

Документация