В этом примере показано, как использовать встроенный решатель QP активного набора для реализации пользовательского алгоритма MPC, который поддерживает генерацию кода C в MATLAB.
Модель объекта управления является системой в пространстве состояний в дискретном времени, и она нестабильна в разомкнутом контуре. Мы принимаем, что все состояния объекта измеримы. Поэтому мы избегаем необходимости разработки оценки состояния, что выходит за возможности этого примера.
A = [1.1 2; 0 0.95];
B = [0; 0.0787];
C = [-1 1];
D = 0;
Ts = 1;
sys = ss(A,B,C,D,Ts);
x0 = [0.5;-0.5]; % initial states at [0.5 -0.5]
Проектируйте LQR без ограничений с выходным взвешиванием. Этот контроллер служит базой для сравнения с пользовательским алгоритмом MPC. Закон управления LQ u(k) = -K_lqr*x(k).
Qy = 1; R = 0.01; K_lqr = lqry(sys,Qy,R);
Запустите симуляцию с начальными состояниями в [0,5 -0,5]. Реакция с обратной связью стабильна.
t_unconstrained = 0:1:10; u_unconstrained = zeros(size(t_unconstrained)); Unconstrained_LQR = tf([-1 1])*feedback(ss(A,B,eye(2),0,Ts),K_lqr); lsim(Unconstrained_LQR,'-',u_unconstrained,t_unconstrained,x0); hold on
Создайте пользовательский контроллер MPC с весом терминала, примененным на последнем шаге предсказания.
Предсказанные последовательности состояний X (k), сгенерированные линейной моделью и входной последовательностью U (k), могут быть сформулированы как: X(k) = M*x(k) + CONV*U(k). В этом примере используйте четыре шага предсказания (N = 4).
M = [A;A^2;A^3;A^4]; CONV = [B zeros(2,1) zeros(2,1) zeros(2,1);... A*B B zeros(2,1) zeros(2,1);... A^2*B A*B B zeros(2,1);... A^3*B A^2*B A*B B];
Целевая функция MPC J(k) = sum(x(k)'*Q*x(k) + u(k)'*R*u(k) + x(k+N)'*Q_bar*x(k+N)). Чтобы гарантировать, что целевая функция MPC имеет ту же квадратичную стоимость, что и бесконечная квадратичная стоимость горизонта, используемая LQR, вес терминала Q_bar получается путем решения следующего уравнения Ляпунова:
Q = C'*C; Q_bar = dlyap((A-B*K_lqr)', Q+K_lqr'*R*K_lqr);
Преобразуйте задачу MPC в стандартную задачу QP, которая имеет целевую функцию J(k) = U(k)'*H*U(k) + 2*x(k)'*F'*U(k).
Q_hat = blkdiag(Q,Q,Q,Q_bar); R_hat = blkdiag(R,R,R,R); H = CONV'*Q_hat*CONV + R_hat; F = CONV'*Q_hat*M;
Когда нет ограничений, оптимальная предсказанная входная последовательность U (k), сгенерированная контроллером MPC, -K*x, где K = inv(H)*F.
K = H\F;
На практике перемещение осуществляется только первым u(k) = -K_mpc*x(k) применяется к объекту (управление отходящим горизонтом).
K_mpc = K(1,:);
Запустите симуляцию с начальными состояниями в [0,5 -0,5]. Реакция с обратной связью стабильна.
Unconstrained_MPC = tf([-1 1])*feedback(ss(A,B,eye(2),0,Ts),K_mpc); lsim(Unconstrained_MPC,'*',u_unconstrained,t_unconstrained,x0) legend show
Контроллеры LQR и MPC дают одинаковый результат, потому что законы управления совпадают.
K_lqr K_mpc
K_lqr =
4.3608 18.7401
K_mpc =
4.3608 18.7401
Ограничьте контроллер выход u (k) в диапазоне от -1 до 1. Контроллер LQR генерирует медленную и колебательную реакцию с обратной связью из-за насыщения.
x = x0; t_constrained = 0:40; for ct = t_constrained uLQR(ct+1) = -K_lqr*x; uLQR(ct+1) = max(-1,min(1,uLQR(ct+1))); x = A*x+B*uLQR(ct+1); yLQR(ct+1) = C*x; end figure subplot(2,1,1) plot(t_constrained,uLQR) xlabel('time') ylabel('u') subplot(2,1,2) plot(t_constrained,yLQR) xlabel('time') ylabel('y') legend('Constrained LQR')
Одним из основных преимуществ использования контроллера MPC является то, что он обрабатывает входные и выходные ограничения явно, решая задачу оптимизации на каждом контрольном интервале.
Используйте встроенный решатель KWIK QP, mpcActiveSetSolver, для реализации пользовательского контроллера MPC, разработанного выше. Матрицы ограничений заданы как Ac * x > = b0.
Ac = [1 0 0 0;... -1 0 0 0;... 0 1 0 0;... 0 -1 0 0;... 0 0 1 0;... 0 0 -1 0;... 0 0 0 1;... 0 0 0 -1]; b0 = [1;1;1;1;1;1;1;1];
Поскольку в этом случае Гессианская матрица H является постоянной, можно предварительно вычислить обратную его нижне-треугольное разложение Холецкого, а затем передать его в mpcActiveSetSolver function, вместо прямой передачи матрицы Гессия. В результате mpcActiveSetSolver может избежать выполнения этого расчета на каждом временном шаге.
L = chol(H,'lower');
Linv = L\eye(size(H,1));
Запустите симуляцию путем вызова mpcActiveSetSolver на каждом шаге симуляции. Первоначально все неравенства неактивны (холодный запуск).
x = x0; iA = false(size(b0)); % create options for the solver, and specify non-hessian first input opt = mpcActiveSetOptions; opt.IntegrityChecks = false; opt.UseHessianAsInput = false; for ct = t_constrained [u,status,iA] = mpcActiveSetSolver(Linv,F*x,Ac,b0,[],zeros(0,1),iA,opt); uMPC(ct+1) = u(1); x = A*x+B*uMPC(ct+1); yMPC(ct+1) = C*x; end figure subplot(2,1,1) plot(t_constrained,uMPC) xlabel('time') ylabel('u') subplot(2,1,2) plot(t_constrained,yMPC) xlabel('time') ylabel('y') legend('Constrained MPC')
Контроллер MPC выдает ответ с обратной связью с более быстрым временем урегулирования и меньшими колебаниями.
mpcActiveSetSolver может использоваться внутри блока MATLAB Function, чтобы обеспечить симуляцию и генерацию кода в окружение Simulink.
mdl = 'mpc_activesetqp';
open_system(mdl)
Блок Custom MPC Controller является блоком MATLAB Function. Чтобы изучить код MATLAB, дважды кликните блок. Начиная с Linv, F, Ac, b0 матрицы и opt структура постоянны, они передаются в блок MATLAB Function как параметры.
Запустите симуляцию в Simulink. Закрытые отклики контроллеров LQR и MPC идентичны их аналогам в симуляции MATLAB.
open_system([mdl '/u_lqr']) open_system([mdl '/y_lqr']) open_system([mdl '/u_mpc']) open_system([mdl '/y_mpc']) sim(mdl)
mpcActiveSetSolver поддерживает генерацию кода C с помощью MATLAB Coder. Предположим, что у вас есть функция, mycode, что совместимо со стандартом генерации кода.
function [x,iter,iA1,lam] = mycode() %#codegen n = 5; m = 10; q = 2; H = diag(10*rand(n,1)); f = randn(n,1); A = randn(m,n); b = randn(m,1); Aeq = randn(q,n); beq = randn(q,1); Linv = chol(H,'lower')\eye(n); iA = false(m,1); Opt = mpcActiveSetOptions(); [x,iter,iA1,lam] = mpcActiveSetSolver(Linv,f,A,b,Aeq,beq,iA,Opt);
Для генерации кода С с помощью MATLAB Coder можно использовать следующую команду:
fun = 'mycode'; Cfg = coder.config('mex'); % or 'lib', 'dll', etc. codegen('-config',Cfg,fun,'-o',fun);
Этот пример вдохновлен записями лекций профессора Марка Кэннона для класса Model Predictive Control в Оксфордском университете. Модель объекта управления является той же, что и в Примере 2.1 в разделе «Предсказание и оптимизация».
bdclose(mdl)
mpcqpsolver | mpcqpsolverOptions