Расположение объектов

Для заданного значения параметра масштабирования $$N$$, предположим, что существуют следующие:

Эти средства находятся на отдельных целочисленных точках сетки между 1 и $$N$$ в $$x$$ и $$y$$ направления. В порядок, что объекты имеют отдельные местоположения, вы требуете, чтобы $$f+w+s\le 1$$. В этом примере примите $$N=20$$, $$f=0.05$$, $$w=0.05$$, и $$s=0.1$$.

Производство и распределение

Есть $$P$$ продукты, произведенная заводами. Бери $$P=20$$.

Потребность в каждом продукте $$p$$ в торговой точке $$s$$ является $$d(s,p)$$. Потребность является количеством, которое может быть продано за определенный временной интервал. Одно из ограничений модели заключается в том, что потребность удовлетворяется, что означает, что система производит и распределяет именно количества в потребности.

На каждом заводе и на каждом складе существуют ограничения по емкости.

Предположим, что каждая торговая точка получает свои поставки всего с одного склада. Часть задачи заключается в определении самого дешевого отображения торговых точек на склады.

Затраты

Стоимость транспортировки продуктов от завода до склада и от склада до торговой точки зависит от расстояния между объектами и от конкретного продукта. Если $$dist(a,b)$$ - расстояние между объектами $$a$$ и $$b$$, затем стоимость доставки продукта $$p$$ между этими объектами находится расстояние, умноженное на стоимость транспортировки $$tcost(p)$$:

Расстояние в этом примере является расстоянием сетки, также известным как $$L_1$$ расстояние. Это сумма абсолютного различия в $$x$$ координаты и $$y$$ координаты.

Стоимость изготовления модуля продукта $$p$$ на заводе $$f$$ является $$pcost(f,p)$$.

Задача оптимизации

Учитывая набор мест расположения объектов, а также требования и ограничения пропускной способности, найдите:

Эти количества должны обеспечивать удовлетворение спроса и минимизацию общих затрат. Кроме того, каждая торговая точка должна получать все свои продукты только с одного склада.

Переменные и уравнения для задачи оптимизации

Переменные управления, означающие те, которые вы можете изменить в оптимизации,

Целевая функция для минимизации

Ограничения:

$$\sum _{w}x(p,f,w)\le pcap(f,p)$$ (мощность завода).

$$\sum _{f}x(p,f,w)=\sum _s(d(s,p)\cdot y(s,w))$$ (спрос удовлетворяется).

$$\sum _p\sum _s\frac{d(s,p)}{turn(p)}\cdot y(s,w)\le wcap(w)$$ (вместимость склада).

$$\sum _{w}y(s,w)=1$$ (каждая торговая точка связана с одним складом).

$$x(p,f,w)\ge 0$$ (неотрицательная продукция).

$$y(s,w)ϵ\{0,1\}$$ (двоичный $$y$$).

Переменные $$x$$ и $$y$$ появляются в функциях цели и ограничения линейно. Поскольку $$y$$ ограничивается целочисленными значениями, задачей является смешано-целочисленная линейная программа (MILP).

Сгенерируйте случайную задачу: Местоположения объектов

Установите значения $$N$$, $$f$$, $$w$$, и $$s$$ параметры и сгенерируйте местоположения объектов.

rng(1) % for reproducibility
N = 20; % N from 10 to 30 seems to work. Choose large values with caution.
N2 = N*N;
f = 0.05; % density of factories
w = 0.05; % density of warehouses
s = 0.1; % density of sales outlets

F = floor(f*N2); % number of factories
W = floor(w*N2); % number of warehouses
S = floor(s*N2); % number of sales outlets

xyloc = randperm(N2,F+W+S); % unique locations of facilities
[xloc,yloc] = ind2sub([N N],xyloc);

Конечно, нереально брать случайные локации для объектов. Этот пример предназначен для демонстрации методов решения, а не того, как сгенерировать хорошие местоположения объекта.

Постройте график объектов. Объекты 1-F являются заводами, F + 1-F + W являются складами, и F + W + 1-F + W + S являются торговыми точками.

h = figure;
plot(xloc(1:F),yloc(1:F),'rs',xloc(F+1:F+W),yloc(F+1:F+W),'k*',...
    xloc(F+W+1:F+W+S),yloc(F+W+1:F+W+S),'bo');
lgnd = legend('Factory','Warehouse','Sales outlet','Location','EastOutside');
lgnd.AutoUpdate = 'off';
xlim([0 N+1]);ylim([0 N+1])

Генерация случайных мощностей, затрат и требований

Генерируйте случайные производственные затраты, мощности, обороты и потребности.

P = 20; % 20 products

% Production costs between 20 and 100
pcost = 80*rand(F,P) + 20;

% Production capacity between 500 and 1500 for each product/factory
pcap = 1000*rand(F,P) + 500;

% Warehouse capacity between P*400 and P*800 for each product/warehouse
wcap = P*400*rand(W,1) + P*400;

% Product turnover rate between 1 and 3 for each product
turn = 2*rand(1,P) + 1;

% Product transport cost per distance between 5 and 10 for each product
tcost = 5*rand(1,P) + 5;

% Product demand by sales outlet between 200 and 500 for each
% product/outlet
d = 300*rand(S,P) + 200;

Эти случайные требования и мощности могут привести к недопустимым проблемам. Другими словами, иногда потребность превышает ограничения производственной и складской мощности. Если вы измените некоторые параметры и получите недопустимую задачу, во время решения вы получите exitflag -2.

Сгенерируйте переменные и ограничения

Чтобы начать указывать проблему, сгенерируйте массивы расстояний distfw(i,j) и distsw(i,j).

distfw = zeros(F,W); % Allocate matrix for factory-warehouse distances
for ii = 1:F
    for jj = 1:W
        distfw(ii,jj) = abs(xloc(ii) - xloc(F + jj)) + abs(yloc(ii) ...
            - yloc(F + jj));
    end
end

distsw = zeros(S,W); % Allocate matrix for sales outlet-warehouse distances
for ii = 1:S
    for jj = 1:W
        distsw(ii,jj) = abs(xloc(F + W + ii) - xloc(F + jj)) ...
            + abs(yloc(F + W + ii) - yloc(F + jj));
    end
end

Создайте переменные для задачи оптимизации. x представляет производство, непрерывную переменную, с размерностью P-by- F-by- W. y представляет двоичное распределение торговой точки на склад, S-by- W переменная.

x = optimvar('x',P,F,W,'LowerBound',0);
y = optimvar('y',S,W,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);

Теперь создайте ограничения. Первое ограничение является ограничением емкости при производстве.

capconstr = sum(x,3) <= pcap';

Следующее ограничение состоит в том, что потребность удовлетворяется в каждой торговой точке.

demconstr = squeeze(sum(x,2)) == d'*y;

На каждом складе существует ограничение по емкости.

warecap = sum(diag(1./turn)*(d'*y),1) <= wcap';

Наконец, необходимо, чтобы каждая торговая точка соединялась только с одним складом.

salesware = sum(y,2) == ones(S,1);

Создайте задачу и цель

Создайте задачу оптимизации.

factoryprob = optimproblem;

Целевая функция состоит из трех частей. Первая часть - это сумма производственных затрат.

objfun1 = sum(sum(sum(x,3).*(pcost'),2),1);

Вторая часть - это сумма транспортных затрат от заводов до складов.

objfun2 = 0;
for p = 1:P
    objfun2 = objfun2 + tcost(p)*sum(sum(squeeze(x(p,:,:)).*distfw));
end

Третья часть - это сумма транспортных расходов от складов до торговых точек.

r = sum(distsw.*y,2); % r is a length s vector
v = d*(tcost(:));
objfun3 = sum(v.*r);

Целевой функцией для минимизации является сумма трех частей.

factoryprob.Objective = objfun1 + objfun2 + objfun3;

Включите ограничения в задачу.

factoryprob.Constraints.capconstr = capconstr;
factoryprob.Constraints.demconstr = demconstr;
factoryprob.Constraints.warecap = warecap;
factoryprob.Constraints.salesware = salesware;

Решите задачу

Отключите итеративное отображение, чтобы вы не получили сотни линий выхода. Включите функцию построения графика, чтобы контролировать прогресс решения.

opts = optimoptions('intlinprog','Display','off','PlotFcn',@optimplotmilp);

Вызовите решатель, чтобы найти решение.

[sol,fval,exitflag,output] = solve(factoryprob,'options',opts);

if isempty(sol) % If the problem is infeasible or you stopped early with no solution
    disp('The solver did not return a solution.')
    return % Stop the script because there is nothing to examine
end

Исследуйте решение

Исследуйте выходной флаг и недопустимость решения.

exitflag

exitflag = 
    OptimalSolution

infeas1 = max(max(infeasibility(capconstr,sol)))

infeas1 = 9.0949e-13

infeas2 = max(max(infeasibility(demconstr,sol)))

infeas2 = 8.0718e-12

infeas3 = max(infeasibility(warecap,sol))

infeas3 = 0

infeas4 = max(infeasibility(salesware,sol))

infeas4 = 2.4425e-15

Округлить y фрагмент решения, которая будет точно целочисленной. Чтобы понять, почему эти переменные могут быть не совсем целыми, смотрите Некоторые «Целые» Решения не являются целыми числами.

sol.y = round(sol.y); % get integer solutions

Сколько торговых точек связано с каждым складом? Заметьте, что в этом случае некоторые склады имеют 0 связанных торговых точек, что означает, что склады не используются в оптимальном решении.

outlets = sum(sol.y,1)

outlets = 1×20

     2     0     3     2     2     2     3     2     3     2     1     0     0     3     4     3     2     3     2     1

Постройте график соединения между каждой торговой точкой и ее складом.

figure(h);
hold on
for ii = 1:S
    jj = find(sol.y(ii,:)); % Index of warehouse associated with ii
    xsales = xloc(F+W+ii); ysales = yloc(F+W+ii);
    xwarehouse = xloc(F+jj); ywarehouse = yloc(F+jj);
    if rand(1) < .5 % Draw y direction first half the time
        plot([xsales,xsales,xwarehouse],[ysales,ywarehouse,ywarehouse],'g--')
    else % Draw x direction first the rest of the time
        plot([xsales,xwarehouse,xwarehouse],[ysales,ysales,ywarehouse],'g--')
    end
end
hold off

title('Mapping of sales outlets to warehouses')

Черные * без зеленых линий представляют собой неиспользованные склады.