Этот пример показывает, как решить нелинейную задачу минимизации с помощью явной тридиагональной Гессианской матрицы . Проблема в том, чтобы найти минимизировать
где = 1000.
Функция помощника brownfgh в конце этого примера вычисляется , его градиент , и его Гессиан . Чтобы указать, что fminunc решатель использует информацию производной, устанавливает SpecifyObjectiveGradient и HessianFcn опции с использованием optimoptions. Использовать Гессиана с fminunc, вы должны использовать 'trust-region' алгоритм.
options = optimoptions(@fminunc,'Algorithm','trust-region',... 'SpecifyObjectiveGradient',true,'HessianFcn','objective');
Установите параметр n и установите начальную точку равной 1000 xstart -1 для нечетных компонентов и + 1 для четных компонентов.
n = 1000; xstart = -ones(n,1); xstart(2:2:n) = 1;
Найдите минимальное значение .
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(@brownfgh,xstart,options);
Local minimum found. Optimization completed because the size of the gradient is less than the value of the optimality tolerance.
Исследуйте процесс решения и решения.
disp(fval)
2.8709e-17
disp(exitflag)
1
disp(output)
iterations: 7
funcCount: 8
stepsize: 0.0039
cgiterations: 7
firstorderopt: 4.7948e-10
algorithm: 'trust-region'
message: '...'
constrviolation: []
Функция является суммой степеней квадратов, и, следовательно, неотрицательна. Решение fval почти нуль, поэтому это явно минимум. Выходной флаг 1 также указывает, что fminunc находит решение. The output структура показывает, что fminunc Для достижения решения требуется только семь итераций.
Отобразите самые большие и маленькие элементы решения.
disp(max(x))
1.1987e-10
disp(min(x))
-1.1987e-10
Решение очень близко к точке, где все элементы x = 0.
Этот код создает brownfgh вспомогательная функция.
function [f,g,H] = brownfgh(x) %BROWNFGH Nonlinear minimization problem (function, its gradients % and Hessian) % Documentation example % Copyright 1990-2008 The MathWorks, Inc. % Evaluate the function. n=length(x); y=zeros(n,1); i=1:(n-1); y(i)=(x(i).^2).^(x(i+1).^2+1)+(x(i+1).^2).^(x(i).^2+1); f=sum(y); % % Evaluate the gradient. if nargout > 1 i=1:(n-1); g = zeros(n,1); g(i)= 2*(x(i+1).^2+1).*x(i).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2))+... 2*x(i).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2+1)).*log(x(i+1).^2); g(i+1)=g(i+1)+... 2*x(i+1).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2+1)).*log(x(i).^2)+... 2*(x(i).^2+1).*x(i+1).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2)); end % % Evaluate the (sparse, symmetric) Hessian matrix if nargout > 2 v=zeros(n,1); i=1:(n-1); v(i)=2*(x(i+1).^2+1).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2))+... 4*(x(i+1).^2+1).*(x(i+1).^2).*(x(i).^2).*((x(i).^2).^((x(i+1).^2)-1))+... 2*((x(i+1).^2).^(x(i).^2+1)).*(log(x(i+1).^2)); v(i)=v(i)+4*(x(i).^2).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2+1)).*((log(x(i+1).^2)).^2); v(i+1)=v(i+1)+... 2*(x(i).^2).^(x(i+1).^2+1).*(log(x(i).^2))+... 4*(x(i+1).^2).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2+1)).*((log(x(i).^2)).^2)+... 2*(x(i).^2+1).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2)); v(i+1)=v(i+1)+4*(x(i).^2+1).*(x(i+1).^2).*(x(i).^2).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2-1)); v0=v; v=zeros(n-1,1); v(i)=4*x(i+1).*x(i).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2))+... 4*x(i+1).*(x(i+1).^2+1).*x(i).*((x(i).^2).^(x(i+1).^2)).*log(x(i).^2); v(i)=v(i)+ 4*x(i+1).*x(i).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2)).*log(x(i+1).^2); v(i)=v(i)+4*x(i).*((x(i+1).^2).^(x(i).^2)).*x(i+1); v1=v; i=[(1:n)';(1:(n-1))']; j=[(1:n)';(2:n)']; s=[v0;2*v1]; H=sparse(i,j,s,n,n); H=(H+H')/2; end end