Решение полной матричной системы

Сначала задайте матрицу коэффициентов $\mathit{A}$ как переменная в памяти клиента, A, и затем передайте эту матрицу в distributed функция для создания распределенной версии той же матрицы, ADist. Когда вы используете distributed MATLAB автоматически запускает параллельный пул, используя настройки кластера по умолчанию.

n = 1e3;
A = randi(100,n,n);
ADist = distributed(A);

Теперь можно задать вектор правой руки $$b$$. В этом примере, $$b$$ определяется как сумма строк $$A$$, что приводит к точному решению $$Ax=b$$ формы $$x_{\text{exact}}=[1,...,1{]}^T$$.

b = sum(A,2);
bDist = sum(ADist,2);

Начиная с sum действует на распределенном массиве, bDist также распределяется и его данные хранятся в памяти работников вашего параллельного пула. Наконец, задайте точные решения для сравнения с решениями, полученными с помощью прямых численных методов.

xEx = ones(n,1);
xDistEx = ones(n,1,'distributed');

Теперь, когда вы определили свою систему линейных уравнений, можно использовать mldivide чтобы решить систему непосредственно. В MATLAB можно вызвать функцию mldivide использование специального оператора \. Вам не нужно менять код, чтобы решить распределенную систему как mldivide имеет автоматическую поддержку распределенных массивов.

Как только вы вычислили решение, можно проверить ошибку между каждым элементом полученного результата $\mathit{x}$ и ожидаемые значения $$x_{\text{exact}}$$.

x = A\b;
err = abs(xEx-x);

xDist = ADist\bDist;
errDist = abs(xDistEx-xDist);

figure
subplot(2,1,1)
semilogy(err,'o');
title('System of Linear Equations with Full Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])
subplot(2,1,2)
semilogy(errDist,'o');
title('System of Linear Equations with Distributed Full Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])

Для распределенных массивов и массивов, хранимых на клиенте, абсолютная ошибка между вычисленными результатами для $\mathit{x}$ и точный результат $$x_{\text{exact}}$$ маленькая. Точность решения примерно одинаковая для обоих типов массивов.

mean(err)

ans = 1.6031e-13

mean(errDist)

ans =

   1.2426e-13

Решение Разреженной матрицы системы

Распределенные массивы могут также содержать разреженные данные. Чтобы создать матрицу коэффициентов $\mathit{A}$, использовать sprand и speye чтобы непосредственно сгенерировать разреженную матрицу случайных чисел плюс разреженную единичную матрицу. Добавление матрицы тождеств помогает предотвратить создание $\mathit{A}$ как сингулярная или почти сингулярная матрица, обе из которых трудно факторизировать.

n = 1e3;
density = 0.2;
A = sprand(n,n,density) + speye(n);
ADist = distributed(A);

Выбор вектора правой руки $$b$$ как сумма строк $$A$$ приводит к точному решению той же формы, что и решение полной матричной системы.

b = sum(A,2);
bDist = sum(ADist,2);
xEx = ones(n,1);
xDistEx = ones(n,1,'distributed');

Так же, как и с полными матрицами, теперь можно решить эту систему линейных уравнений непосредственно используя mldivide и проверяйте ошибку между полученным результатом и его ожидаемым значением.

x = A\b;
err = abs(xEx-x);

xDist = ADist\bDist;
errDist = abs(xDistEx-xDist);

figure
subplot(2,1,1)
semilogy(err,'o');
title('System of Linear Equations with In-Client Sparse Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])
subplot(2,1,2)
semilogy(errDist,'o');
title('System of Linear Equations with Distributed Sparse Matrices');
ylabel('Absolute Error');
xlabel('Element in x');
ylim([10e-17,10e-13])

Как и в полной матричной системе, решение системы линейных уравнений с помощью как on-client массивов, так и распределенных массивов вырабатывает решения с сопоставимой точностью.

mean(err)

ans = 1.6031e-13

mean(errDist)

ans =

   1.2426e-13

После завершения расчетов можно удалить параллельный пул. The gcp функция возвращает текущий объект параллельного пула, чтобы можно было удалить текущий пул.

delete(gcp('nocreate'));

Повышение эффективности решения

Для некоторых типов большой и разреженной матрицы коэффициентов $\mathit{A}$, существуют более эффективные методы, чем прямая факторизация для решения ваших систем. В этих случаях итерационные методы могут быть более эффективными при решении вашей системы линейных уравнений. Итерационные методы генерируют ряд приблизительных решений, которые сходятся к конечному результату. Для примера того, как использовать итерационные методы для решения линейных уравнений с большими, разреженными входными матрицами, смотрите Использование Распределенных Массивов для Решения Систем Линейных Уравнений с Итерационными методами.