Основы конечного Элемента метода

Алгоритм Partial Differential Equation Toolbox™ ядра использует Метод Конечного Элемента (FEM) для задач, заданных в ограниченных областях в 2-D или трехмерное пространство. В большинстве случаев элементарные функции не могут выражать решения даже простых PDE на сложных геометриях. Метод конечного элемента описывает сложную геометрию как набор поддоменов путем генерации mesh на геометрии. Например, вы можете аппроксимировать вычислительную область, при помощи объединения треугольников (2-D геометрия) или тетраэдров (3-D геометрия). Поддомены образуют mesh, и каждая вершина называется узлом. Следующим шагом является аппроксимация исходной задачи УЧП на каждом поддомене с помощью более простых уравнений.

Для примера рассмотрим основное эллиптическое уравнение.

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f on domain Ω$

Предположим, что это уравнение подчинено граничному условию Дирихле $u = r$ на $\partial Ω_{D}$ и граничные условия Неймана на $\partial Ω_{N}$ . Вот, $\partial Ω = \partial Ω_{D} \cup \partial Ω_{N}$ - контур И.

Первым шагом в FEM является преобразование исходной дифференциальной (strong) формы PDE в интегральную (weak) форму путем умножения с тестовой функцией $v$ и интеграция по области В.

$\int_{Ω} (- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u - f) v d Ω = 0 \forall v$

Тестовые функции выбираются из набора функций (функциональное пространство), которые исчезают на фрагменте Дирихле контура, $v = 0$ на $\partial Ω_{D}$ . Вышеприведенное уравнение можно рассматривать как взвешенное среднее остатка с помощью всех возможных функций взвешивания $v$ . Набор функций, которые являются допустимыми решениями, u, слабой формы PDE, выбираются так, чтобы они удовлетворяли Dirichlet BC, u = r $\partial Ω_{D}$ .

Интегрирование по частям (формула Грина) термина второго порядка приводит к:

$\int_{Ω} (c \nabla u \nabla v + a u v) d Ω - \int_{\partial Ω_{N}} \vec{n} \cdot (c \nabla u) v d \partial Ω_{N} + \int_{\partial Ω_{D}} \vec{n} \cdot (c \nabla u) v d \partial Ω_{D} = \int_{Ω} f v d Ω \forall v$

Используйте граничное условие Неймана, чтобы заменить второй член в левой части уравнения. Кроме того, обратите внимание, что $v = 0$ на $\partial Ω_{D}$ аннулирует третий член. Получившееся уравнение является:

$\int_{Ω} (c \nabla u \nabla v + a u v) d Ω + \int_{\partial Ω_{N}} q u v d \partial Ω_{N} = \int_{\partial Ω_{N}} g v d \partial Ω_{N} + \int_{Ω} f v d Ω \forall v$

Обратите внимание, что все манипуляции до этого этапа выполняются на continuum, глобальной области задачи. Поэтому набор допустимых функций и пробных функций охватывает бесконечномерные функциональные пространства. Следующий шаг состоит в том, чтобы дискретизировать слабую форму путем деления И на меньшие поддомены или элементы $Ω^{e}$ , где $Ω = \cup Ω^{e}$ . Этот шаг эквивалентен проекции слабой формы PDE на конечномерное подпространство. Использование обозначений $u_{h}$ и $v_{h}$ представлять конечномерный эквивалент допустимых и пробных функций, определенных на $Ω^{e}$ , можно записать дискретизированную слабую форму PDE как:

$\int_{Ω^{e}} (c \nabla u_{h} \nabla v_{h} + a u_{h} v_{h}) d Ω^{e} + \int_{\partial Ω_{N}^{e}} q u_{h} v_{h} d \partial Ω_{N}^{e} = \int_{\partial Ω_{N}^{e}} g v_{h} d \partial Ω_{N}^{e} + \int_{Ω^{e}} f v_{h} d Ω^{e} \forall v_{h}$

Далее позвольте ϕ i, с i = 1, 2,..., N p, быть кусочным полиномом базисными функциями для подпространства, содержащего наборы $u_{h}$ и $v_{h}$ , затем любой конкретный $u_{h}$ может быть выражено как линейная комбинация базисных функций:

$u_{h} = \sum_{1}^{N_{p}} U_{i} ϕ_{i}$

Здесь U i еще не определены скалярные коэффициенты. Замена $u_{h}$ в дискретизированную слабую форму PDE и использование каждой $v_{h} = φ_{i}$ как испытательные функции и выступающее интегрирование по элементу приводит к системе уравнений <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> с точки зрения неизвестных <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>.

Обратите внимание, что метод конечного элемента аппроксимирует решение путем минимизации связанной функции ошибки. Процесс минимизации автоматически находит линейную комбинацию базисных функций, которая наиболее близка к u решения.

FEM приводит к системе KU = F, где матрица K и правая сторона F содержит интегралы с точки зрения испытательного <reservedrangesplaceholder17> <reservedrangesplaceholder16> функций, <reservedrangesplaceholder15> <reservedrangesplaceholder14> и _{коэффициентов} c, a, f, q, и g_{, определяющий} проблему. Вектор U решения содержит коэффициенты расширения uh, _{которые} _также являются значениями uh на каждом узле xk (k = 1,2 для 2-D задачи или k = 1,2,3 для 3-D задачи), так как uh (xk) = Ui.

Методы КЭМ также используются для решения более общих задач, таких как:

Зависящие от времени задачи. Решение u (x, t) уравнения
$d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$
могут быть аппроксимированы
$u_{h} (x, t) = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} (t) ϕ_{i} (x)$
Результатом является система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
$M \frac{d U}{d t} + K U = F$
Две производные по времени приводят к ОДУ второго порядка
$M \frac{d^{2} U}{d t^{2}} + K U = F$
Собственные задачи. Решить
$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = λ d u$
для неизвестных u и λ, где λ является комплексным числом. Используя дискретизацию FEM, вы решаете алгебраическую задачу собственного значения KU = λ MU, чтобы найти _uh как приближение к u. Чтобы решить собственное значение проблемы, используйтеsolvepdeeig.
Нелинейные задачи. Если коэффициенты c, a, f, q, или g являются функциями u или  <reservedrangesplaceholder5>, УЧП называют нелинейным, и FEM приводит к нелинейной системе K (<reservedrangesplaceholder3>) U = F (<reservedrangesplaceholder0>).

Резюмируя, подход КЭМ:

Представляет исходную область задачи как набор элементов.
Для каждого элемента подставляет исходную задачу PDE набором простых уравнений, которые локально аппроксимируют исходные уравнения. Применяет граничные условия к контурам каждого элемента. Для стационарных линейных задач, где коэффициенты не зависят от решения или его градиента, результатом является линейная система уравнений. Для стационарных задач, где коэффициенты зависят от решения или его градиента, результатом является система нелинейных уравнений. Для зависящих от времени задач результатом является набор ОДУ.
Собирает получившиеся уравнения и граничные условия в глобальную систему уравнений, которая моделирует целую задачу.
Решает полученную систему алгебраических уравнений или ОДУ, используя линейные решатели или численное интегрирование, соответственно. Тулбокс внутренне вызывает соответствующий MATLAB^® решатели для этой задачи.

Ссылки

[1] Кук, Роберт Д., Дэвид С. Малкус и Майкл Э. Плеша. Концепции и приложения анализа конечных элементов. 3-е издание. New York, NY: John Wiley & Sons, 1989.

[2] Гилберт Странг и Джордж Фикс. Анализ метода конечного элемента. 2-е издание. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 2008.

См. также

assembleFEMatrices | solvepde | solvepdeeig

Документация