Динамический анализ зажатой балки

Открыть Live Script

Этот пример показывает, как анализировать динамическое поведение балки под равномерным давлением зажата на обоих концах.

Этот пример использует Имперскую систему модулей. Если вы заменяете их значениями, заданными в метрической системе, убедитесь, что все значения заданы с помощью одной и той же системы.

В этом примере нагрузка на давление внезапно прикладывается во времени, равном нулю. Величина давления достаточно высока, чтобы получить отклонения в том же порядке, что и толщина балки. Точное предсказание этого типа поведения требует геометрически нелинейных уравнений упругости. Этот пример решает задачу упругости зажатого луча, используя как линейные, так и нелинейные составы уравнений упругости.

Одним из подходов к обработке больших отклонений является рассмотрение уравнений упругости в деформированном положении. Однако тулбокс использует уравнения, основанные на исходной геометрии. Поэтому необходимо использовать лагрангианскую формулировку нелинейной упругости, где напряжения, деформации и координаты относятся к исходной геометрии. Лагрангианская формулировка уравнений равновесия

$ρ u_{}^{¨} - \nabla \cdot (F \cdot S) = f$

где $ρ$ - плотность материала, $u$ - вектор смещения, $F$ - градиент деформации, $S$ является вторым тензором напряжения Пиолы-Кирхгофа, и $f$ - вектор силы тела. Можно также записать это уравнение в тензорной форме:

$ρ {u_{}^{¨}}_{i} - \frac{\partial}{\partial x_{j}} ((\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{k}} + δ_{i k}) S_{k j}) = f_{i}$

Несмотря на то, что эта композиция учитывает большие отклонения, она принимает, что штаммы остаются маленькими, так что применяются линейные упругие конститутивные зависимости. Для примера напряжения 2-D плоскости можно записать конститутивные зависимости в матричной форме:

${\begin{array}{c} S_{11} \\ S_{22} \\ S_{12} \end{array}} = [\begin{array}{ccc} C_{11} & C_{12} \\ C_{12} & C_{22} \\ 2 G_{12} \end{array}] {\begin{array}{c} E_{11} \\ E_{22} \\ E_{12} \end{array}}$

$E_{i j}$ - тензор штамма Грина-Лагранжа:

$E_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{i}} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}})$

Для изотропного материала:

$C_{11} = C_{22} = \frac{E}{1 - ν^{2}}$

$C_{12} = \frac{E ν}{1 - ν^{2}}$

$G_{12} = \frac{E}{2 (1 + ν)}$

где $E$ является модулем Молодого, и $ν$ - коэффициент Пуассона. Для получения дополнительной информации о формулировке Лагранжа для нелинейной упругости смотрите [1].

Эти уравнения полностью определяют геометрически нелинейную задачу напряжения плоскости. Этот пример использует Symbolic Math Toolbox™, чтобы задать коэффициент c в форме, требуемой для Partial Differential Equation Toolbox™. Коэффициент c является функцией cCoefficientLagrangePlaneStress. Его можно использовать с любым геометрическим нелинейным плоским анализом напряжения модели, сделанной из изотропного материала. Вы можете найти его под matlab/R20XXx/examples/pde/main.

Линейное решение

Создайте модель УЧП для системы двух уравнений.

model = createpde(2);

Создайте следующую геометрию балки.

Задайте длину и толщину балки.

blength = 5; % Beam length, in
height = 0.1; % Thickness of the beam, in

Поскольку геометрия балки и загрузки симметричны относительно центра балки, можно упростить модель, рассматривая только правую половину балки.

l2 = blength/2;
h2 = height/2;

Создайте ребра прямоугольника, представляющего балку.

rect = [3 4 0 l2 l2 0 -h2 -h2  h2 h2]';
g = decsg(rect,'R1',('R1')');

Создайте геометрию из ребер и включите ее в модель.

pg = geometryFromEdges(model,g);

Постройте график геометрии с метками ребер.

figure
pdegplot(g,'EdgeLabels','on')
axis([-.1 1.1*l2 -5*h2 5*h2])

Figure contains an axes. The axes contains 5 objects of type line, text.

Выведите коэффициенты уравнения с помощью свойств материала. Для линейного случая матрица коэффициентов c является постоянной.

E = 3.0e7; % Young's modulus of the material, lbs/in^2
gnu = 0.3; % Poisson's ratio of the material
rho = 0.3/386; % Density of the material
G = E/(2.*(1 + gnu));
mu = 2*G*gnu/(1 - gnu);
c = [2*G + mu; 0; G;   0; G; mu; 0;  G; 0; 2*G + mu];
f = [0 0]'; % No body forces
specifyCoefficients(model,'m',rho,'d',0,'c',c,'a',0,'f',f);

Примените граничные условия. Из условия симметрии перемещение X равняется нулю у левого края.

symBC = applyBoundaryCondition(model,'mixed','Edge',4,'u',0,'EquationIndex',1);

Поскольку балка зажата, смещения x - и y равны нулю вдоль правого ребра.

clampedBC = applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',2,'u',[0 0]);

Приложите постоянное вертикальное напряжение вдоль верхнего края.

sigma = 2e2;
presBC = applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',3,'g',[0 sigma]);

Установите нулевые начальные смещения и скорости.

setInitialConditions(model,0,0);

Сгенерируйте mesh.

generateMesh(model);

Решить модель.

tlist = linspace(0,3e-3,100);
result = solvepde(model,tlist);

Интерполируйте решение в центре геометрии для y-компонента (компонент 2) в любое время решения.

xc = 1.25;
yc = 0;
u4Linear = interpolateSolution(result,xc,yc,2,1:length(tlist));

Нелинейное Решение

Задайте коэффициенты для нелинейного случая. The cCoefficientLagrangePlaneStress функция принимает свойства изотропного материала и местоположение и структуры состояния, и возвращает c-матрицу для нелинейного плоского анализа напряжения. Он принимает, что штаммы малы, то есть E и $ν$ не зависят от решения.

c  = @(location,state) cCoefficientLagrangePlaneStress(E,gnu,location,state);
specifyCoefficients(model,'m',rho,'d',0,'c', c,'a',0,'f',f);

Решить модель.

result = solvepde(model,tlist);

Интерполируйте решение в центре геометрии для y-компонента (компонент 2) в любое время решения.

u4NonLinear = interpolateSolution(result,xc,yc,2,1:length(tlist));

Графики решений

Постройте график отклонения Y в центре луча как функцию времени. Нелинейный анализ приводит к существенно меньшим перемещениям, чем линейный анализ. Этот эффект «жесткости напряжения» также приводит к более высокой частоте колебаний из нелинейного анализа.

figure
plot(tlist,u4Linear(:),tlist,u4NonLinear(:))
legend('Linear','Nonlinear')
title 'Deflection at Beam Center'
xlabel 'Time, seconds'
ylabel 'Deflection, inches'
grid on

Figure contains an axes. The axes with title Deflection at Beam Center contains 2 objects of type line. These objects represent Linear, Nonlinear.

Ссылки

Мальверн, Лоуренс Е. Введение в механику непрерывного носителя. Prentice Hall Series in Engineering of the Physical Sciences. Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice Hall, 1969.

Документация

Динамический анализ зажатой балки

Линейное решение

Нелинейное Решение

Графики решений

Ссылки

Partial Differential Equation Toolbox производными

Поддержка