Прямоугольные координаты

Определения координат

Создайте прямоугольную, или Декартову, систему координат для 3-мерного пространства путем задания трех взаимно ортогональных осей координат. Следующий рисунок показывает одну возможную спецификацию осей координат.

Прямоугольные координаты определяют положение в пространстве в заданной системе координат как упорядоченный 3-кортеж действительных чисел (x, y, z) относителен источник (0,0,0). Факторы о выборе источника обсуждаются в Глобальных и Локальных системах координат .

Можно просмотреть 3-кортеж как точку в пространстве или эквивалентно как вектор в трехмерном евклидовом пространстве. Рассматриваемые как векторное пространство, координатные оси являются базисными векторами, и вектор задает направление в точку пространства от источника. Каждый вектор в пространстве однозначно определяется линейной комбинацией базисных векторов. Наиболее распространенным набором базисных векторов для трехмерного евклидова пространства являются стандартные единичные базисные векторы:

${[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]}$

Обозначение для векторов и точек

В программном обеспечении Toolbox™ Phased Array System вы задаете как координатные оси, так и точки следующими векторами-столбцами.

Примечание

В этом программном обеспечении все векторы координат являются векторами-столбцами. Для удобства документация представляет векторам-столбцам в формате [x y z] без транспонирования обозначения.

И векторы запись [x y z], и точка запись (x, y, z) используются взаимозаменяемо. Интерпретация вектора-столбца как вектора или точки зависит от контекста. Если вектор-столбец задает оси системы координат или направления, то это вектор. Если вектор-столбец задает координаты, это точка.

Ортогональный базис и евклидова норма

Любые три линейно независимых векторы задают базис для 3-мерного пространства. Однако эта программа принимает, что базисные векторы, которые вы используете, ортогональны.

Стандартной мерой расстояния в пространстве является l² норма, или евклидова норма. Евклидова норма вектора [x y z] определяется:

$\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Евклидова норма задает длину вектора, измеренную от источника, как гипотенузу прямоугольного треугольника. Расстояние между двумя векторами [_{x0 y0 z0}] и [_{x1 y1 z1}] составляет:

$\sqrt{{(x_{0} - x_{1})}^{2} + {(y_{0} - y_{1})}^{2} + {(z_{0} - z_{1})}^{2}}$

Ориентация осей координат

Учитывая ортонормальный набор базисных векторов, представляющих координатные оси, существует несколько способов ориентации осей. Следующий рисунок иллюстрирует одну такую ориентацию, называемую правой системой координат. Стрелы на координатных осях указывают положительные направления.

Если вы берете правую руку и указываете ее вдоль положительной оси x с ладонью, обращенной к положительной оси y, и удлиняете большой палец, большой палец указывает положительное направление z оси.

Матрицы вращений и вращений

В преобразовании векторов в 3-мерном пространстве часто встречаются матрицы поворота. Матрицы вращения используются в двух измерениях: они могут использоваться для поворота вектора в новое положение или могут использоваться для поворота координатного базиса (или системы координат) в новое положение. В этом случае вектор остается один, но его компоненты в новом базисе будут отличаться от компонентов в исходном базисе. В евклидовом пространстве существует три основных вращения: по одному вокруг осей x, y и z. Каждое вращение задается углом поворота. Угол поворота задан как положительный для поворота, который против часовой стрелки, если смотреть наблюдателем, смотрящим вдоль оси поворота к источнику. Любое произвольное вращение может быть составлено из комбинации этих трех (теорема Эйлера о вращении). Для примера можно повернуть вектор в любом направлении с помощью последовательности из трех поворотов: $v^{'} = A v = R_{z} (γ) R_{y} (β) R_{x} (α) v$ .

Матрицы вращения, которые вращают вектор вокруг x, y и z-осей, заданы:

Вращение против часовой стрелки вокруг оси X

$R_{x} (α) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α \\ 0 & \sin α & \cos α \end{matrix}]$
Вращение против часовой стрелки вокруг оси Y

$R_{y} (β) = [\begin{matrix} \cos β & 0 & \sin β \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin β & 0 & \cos β \end{matrix}]$
Вращение против часовой стрелки вокруг оси Z

$R_{z} (γ) = [\begin{matrix} \cos γ & - \sin γ & 0 \\ \sin γ & \cos γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

Следующие три рисунка показывают, как выглядят положительные повороты для каждой оси вращения:

Для любого вращения существует обратное вращение, удовлетворяющее $A^{- 1} A = 1$ . Для примера обратная матрица поворота оси X получается путем изменения знака угла:

$R_{x}^{- 1} (α) = R_{x} (- α) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & \sin α \\ 0 & - \sin α & \cos α \end{matrix}] = R_{x}^{'} (α)$

Этот пример иллюстрирует основное свойство: матрица обратного поворота является транспонированием оригинала. Матрицы вращения удовлетворяют A’A = 1 и, следовательно, det(A) = 1. При поворотах сохраняются длины векторов, а также углы между векторами.

Мы можем думать о вращениях по-другому. Рассмотрим исходный набор базисных векторов, $i, j, k$ , и поверните их все, используя A матрицы поворота. Это создает новый набор базисных векторов $i^{'}, j,^{'} k^{'}$ связанных с оригиналом по:

$\begin{array}{l} i^{'} & = A i \\ j^{'} & = A j \\ k^{'} & = A k \end{array}$

Используя транспонирование, можно записать новые базисные векторы как линейные комбинации старых базисных векторов:

$[\begin{matrix} i^{'} \\ j^{'} \\ k^{'} \end{matrix}] = A^{'} [\begin{matrix} i \\ j \\ k \end{matrix}]$

Теперь любой вектор может быть записан как линейная комбинация любого набора базисных векторов:

$v = v_{x} i + v_{y} j + v_{z} k = {v^{'}}_{x} i^{'} + {v^{'}}_{y} j^{'} + {v^{'}}_{z} k^{'}$

Используя алгебраическую манипуляцию, можно вывести преобразование компонентов для фиксированного вектора при повороте базиса (или системы координат). Это преобразование использует транспонирование матрицы вращения.

$[\begin{matrix} {v^{'}}_{x} \\ {v^{'}}_{y} \\ {v^{'}}_{z} \end{matrix}] = A^{- 1} [\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}] = A^{'} [\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}]$

Следующий рисунок иллюстрирует преобразование вектора при повороте системы координат вокруг оси X. Рисунок после показывает, как это преобразование может быть интерпретировано как вращение вектора в противоположном направлении.

Документация