Извлечение muinfo
структура, возвращенная mussv
[VDelta,VSigma,VLmi] = mussvextract(muinfo)
Структурированный расчет сингулярного значения вида
[bounds,muinfo] = mussv(M,BlockStructure)
возвращает подробную информацию в структуре muinfo
. mussvextract
используется для извлечения сжатой информации в muinfo
в читаемую форму.
Самый общий вызов mussvextract
извлекает три полезные величины: VDelta
, VSigma
, и VLmi
. VDelta
используется для проверки нижней границы. VSigma
используется для проверки верхней границы Ньюлина/Янга и имеет поля DLeft
, DRight
, GLeft
, GMiddle
, и GRight
. VLmi
используется для проверки верхней границы LMI и имеет поля Dr, Dc, Grc
, и Gcr
. Отношение/интерпретация этих величин с числовыми результатами в bounds
описывается ниже.
Верхняя граница основана на доказательстве того, что det(I - M*Delta)
является ненулевым для всех блок-структурированных матриц Delta
с нормой меньше 1/bounds(1)
. Метод Ньюлина/Янга состоит из нахождения скаляра β и матриц D и G, согласующихся с BlockStructure
, таким что
Здесь DL DR, GL, GM и GR соответствуют DLeft
, DRight
, GLeft
, GMiddle
, и GRight
поля соответственно.
Потому что некоторые блоки неопределенности и M
не должны быть квадратными, матрицы D и G имеют несколько различных проявлений. Фактически в формуле выше присутствуют левая и правая D и G, а также средняя G. Любой такой β является верхней границей mussv(M,BlockStructure)
.
Это правда, что если BlockStructure
состоит только из сложных блоков, тогда все матрицы G будут нулем, а выражение выше упростится
Метод LMI состоит из нахождения скаляра β и матриц D и G, согласующихся с BlockStructure
, таким что
отрицательный полусердинит. Снова, у D и G есть несколько различных проявлений, которые совпадают с размерностями строк и столбцов M. Любой такой β является верхней границей mussv(M,BlockStructure)
. Если BlockStructure
состоит только из сложных блоков, тогда все матрицы G будут равны нулю, а отрицательная полуопределенность M 'Dr M -β2Dc достаточно для вывода верхней границы.
Нижняя граница mussv(M,BlockStructure)
основан на нахождении «маленькой» (надеюсь, самой маленькой) блочной матрицы VDelta
что вызывает det(I - M*VDelta)
равным 0. Эквивалентно, матрица M*VDelta
имеет собственное значение, равное 1. Всегда будет верно, что нижняя граница (bounds(2))
будет взаимной norm(VDelta)
.
Предположим M
является комплексной матрицей 4 на 4. Возьмем структуру блока, чтобы быть двумя комплексными блоками 1 на 1 и одним комплексным блоком 2 на 2.
rng(0,'twister') M = randn(4,4) + sqrt(-1)*randn(4,4); BlockStructure = [1 1;1 1;2 2];
Можно вычислить границы структурированного сингулярного значения с помощью mussv
команда и извлечение масштабирующих матриц с помощью mussvextract
.
[bounds,muinfo] = mussv(M,BlockStructure); [VDelta,VSigma,VLmi] = mussvextract(muinfo);
Можно сначала проверить верхнюю границу Ньюлина/Янга с информацией, извлеченной из muinfo
. Соответствующие масштабирования Dl
и Dr
.
Dl = VSigma.DLeft
Dl = 1.0000 0 0 0 0 0.7437 0 0 0 0 1.0393 0 0 0 0 1.0393
Dr = VSigma.DRight
Dr = 1.0000 0 0 0 0 0.7437 0 0 0 0 1.0393 0 0 0 0 1.0393
[norm(Dl*M/Dr) bounds(1)]
ans = 6.2950 6.2950
Можно сначала проверить верхнюю границу LMI с информацией, извлеченной из muinfo
. Соответствующие масштабирования Dr
и Dc
.
Dr = VLmi.Dr; Dc = VLmi.Dc; eig(M'*Dr*M - bounds(1)^2*Dc)
ans = -0.0000 - 0.0000i -17.7242 - 0.0000i -33.8550 + 0.0000i -41.2013 - 0.0000i
Обратите внимание, что VDelta
соответствует структуре, заданной как BlockStructure
, и норма VDelta
соглашается с нижней границей,
VDelta
VDelta = 0.1301 - 0.0922i 0 0 0 0 -0.0121 - 0.1590i 0 0 0 0 -0.0496 - 0.0708i 0.1272 - 0.0075i 0 0 0.0166 - 0.0163i 0.0076 + 0.0334i
[norm(VDelta) 1/bounds(2)]
ans = 0.1595 0.1595
и что M*VDelta
имеет собственное значение точно в 1.
eig(M*VDelta)
ans = 1.0000 - 0.0000i -0.2501 - 0.1109i 0.0000 + 0.0000i -0.3022 + 0.2535i
Сохраните матрицу тем же самым, но измените BlockStructure
быть повторным, действительным скалярным блоком 2 на 2 и двумя комплексными блоками 1 на 1. Выполняйте mussv
с 'C'
опция затянуть верхнюю границу.
BlockStructure2 = [-2 0; 1 0; 1 0]; [bounds2,muinfo2] = mussv(M,BlockStructure2,'C');
Можно сравнить вычисленные границы. Обратите внимание, что bounds2
должно быть меньше bounds
, потому что набор неопределенностей, заданный BlockStructure2
является правильным подмножеством, заданным как BlockStructure
.
[bounds; bounds2]
ans = 6.2950 6.2704 5.1840 5.1750
Можно извлечь D, G и Delta
от muinfo2
использование mussvextract
.
[VDelta2,VSigma2,VLmi2] = mussvextract(muinfo2);
Как и прежде, можно сначала проверить верхнюю границу Ньюлина/Янга с информацией, извлеченной из muinfo
. Соответствующие масштабирования Dl, Dr, Gl, Gm and Gr
.
Dl = VSigma2.DLeft; Dr = VSigma2.DRight; Gl = VSigma2.GLeft; Gm = VSigma2.GMiddle; Gr = VSigma2.GRight; dmd = Dl*M/Dr/bounds2(1) - sqrt(-1)*Gm; SL = (eye(4)+Gl*Gl)^-0.25; SR = (eye(4)+Gr*Gr)^-0.25; norm(SL*dmd*SR)
ans = 1.0000
Можно сначала проверить верхнюю границу LMI с информацией, извлеченной из muinfo
. Соответствующие масштабирования Dr
, Dc, Grc
и Gcr
.
Dr = VLmi2.Dr; Dc = VLmi2.Dc; Grc = VLmi2.Grc; Gcr = VLmi2.Gcr; eig(M'*Dr*M - bounds(1)^2 *Dc + j*(Gcr*M-M'*Grc))
ans = -69.9757 + 0.0000i -11.2139 - 0.0000i -19.2766 - 0.0000i -40.2869 - 0.0000i
VDelta2
соответствует структуре, заданной как BlockStructure
, и норма VDelta2
соглашается с нижней границей,
VDelta2
VDelta2 = 0.1932 0 0 0 0 0.1932 0 0 0 0 -0.1781 - 0.0750i 0 0 0 0 0.0941 + 0.1688i
[norm(VDelta2) 1/bounds2(2)]
ans = 0.1932 0.1932
и что M*VDelta2
имеет собственное значение точно в 1.
eig(M*VDelta2)
ans = 1.0000 + 0.0000i -0.4328 + 0.1586i 0.1220 - 0.2648i -0.3688 - 0.3219i