Преобразование Уолша-Адамара является несинусоидальным, ортогональным методом преобразования, который разлагает сигнал на набор базисных функций. Эти базисные функции являются функциями Уолша, которые являются прямоугольными или квадратными волнами со значениями + 1 или -1. Преобразования Уолша-Адамара также известны как Адамар (см. hadamard функция в программном обеспечении MATLAB), Уолша или преобразования Уолша-Фурье.
Первые восемь функций Уолша имеют следующие значения:
| Индекс | Значения функций Уолша |
|---|---|
| 0 | 1 1 1 1 1 1 1 1 |
| 1 | 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 |
| 2 | 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 |
| 3 | 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 |
| 4 | 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 |
| 5 | 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 |
| 6 | 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 |
| 7 | 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 |
Преобразование Уолша-Адамара возвращает значения последовательности. Последовательность является более обобщенным понятием частоты и определяется как половина среднего числа пересечений нулем на единичный временной интервал. Каждая функция Уолша имеет уникальное значение последовательности. Можно использовать возвращенные значения последовательности, чтобы оценить частоты сигнала в исходном сигнале.
Для хранения функций Уолша используются три различные схемы упорядоченного расположения: sequency, адамар и diadic. Упорядоченное расположение последовательности, который используется в приложениях обработки сигналов, имеет функции Уолша в порядке, показанном в таблице выше. Hadamard ordering, который используется в управлении приложениями, размещает их как 0, 4, 6, 2, 3, 7, 5, 1. Диадическое или серое упорядоченное расположение кода, которое используется в математике, упорядочивает их как 0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4.
Преобразование Уолша-Адамара используется в ряде приложений, таких как обработка изображений, обработка речи, фильтрация и анализ спектра степени. Это очень полезно для снижения требований к хранению пропускной способности и анализа спектрального расширения. Как и БПФ, преобразование Уолша-Адамара имеет быструю версию, быстрое преобразование Уолша-Адамара (fwht). По сравнению с FFT, FWHT требует меньше пространство для хранения и быстрее вычисляется, потому что использует только реальные сложения и вычитания, в то время как БПФ требует комплексных чисел. FWHT способен представлять сигналы с резкими разрывами более точно, используя меньше коэффициентов, чем БПФ. И FWHT, и обратный FWHT (ifwht) являются симметричными и, таким образом, используют идентичные процессы вычисления. FWHT и IFWHT для сигнального x (t) N длины заданы как:
где i = 0,1, ... , N - 1 и WAL (n, i) являются функциями Уолша. Подобно алгоритму Кули-Тьюки для БПФ, элементы N разлагаются на два набора элементов N/2, которые затем объединяются с помощью структуры butterfly для формирования FWHT. Для изображений, где вход обычно является 2-D сигналом, коэффициенты FWHT вычисляются сначала путем оценки между строками, а затем путем оценки вниз по столбцам.
Для следующего простого сигнала, результат FWHT показывает, что x был создан с использованием функций Уолша со значениями последовательности 0, 1, 3 и 6, которые являются ненулевыми индексами преобразованных x. Обратный FWHT воссоздает исходный сигнал.
x = [4 2 2 0 0 2 -2 0] y = fwht(x)
x =
4 2 2 0 0 2 -2 0
y =
1 1 0 1 0 0 1 0x1 = ifwht(y)
x1 =
4 2 2 0 0 2 -2 0