Управление перевернутым маятником на тележке

Этот пример использует:

Этот пример использует systune для управления инвертированным маятником на тележке.

Маятник/Сборка тележки

Блок тележки/маятника изображен на фигуре 1 и смоделирован в Simulink ® с использованием Simscape™ Multibody™.

Фигура 1: Перевернутый маятник на тележке

Фигура 2: Модель Simscape Multibody

Управление этой системой осуществляется путем приложения переменной силы $F$ к тележке. Контроллер должен держать маятник вертикально, перемещая тележку в новое положение или когда маятник подталкивается вперед (импульсное нарушение порядка). $dF$

Структура управления

Вертикальное положение является нестабильным равновесием для перевернутого маятника. Нестабильная природа объекта делает задачу управления более сложной. В данном примере используется следующая двухконтурная структура управления:

open_system('rct_pendulum.slx')
set_param('rct_pendulum','SimMechanicsOpenEditorOnUpdate','off');

Внутренний цикл использует контроллер пространства состояний второго порядка, чтобы стабилизировать маятник в его вертикальном положении ( $\theta$ управление), в то время как внешний контур использует контроллер пропорциональной производной (PD), чтобы управлять положением тележки. Вы используете PD, а не ПИД-регулятор, потому что объект уже обеспечивает некоторое интегральное действие.

Требования к проектированию

Использование TuningGoal требования для определения требуемого поведения в системе с обратной связью. Задайте время отклика 3 секунды для отслеживания изменения уставки в положении тележки. $x$

% Tracking of x command
req1 = TuningGoal.Tracking('xref','x',3);

Чтобы адекватно отклонить импульсные нарушения порядка $dF$ на совете маятника, используйте LQR штраф формы

$\int_0^\infty (16 \theta^2(t) + x^2(t) + 0.01 F^2(t)) dt$

это подчеркивает небольшое угловое отклонение $\theta$ и ограничивает усилие по управлению. $F$

% Rejection of impulse disturbance dF
Qxu = diag([16 1 0.01]);
req2 = TuningGoal.LQG('dF',{'Theta','x','F'},1,Qxu);

Для робастности требуется не менее 6 дБ запаса по амплитуде и 40 степени запаса по фазе на входе объекта.

% Stability margins
req3 = TuningGoal.Margins('F',6,40);

Наконец, ограничьте демпфирование и естественную частоту полюсов с обратной связью, чтобы предотвратить рывкообразные или недостаточно демпфированные переходные процессы.

% Pole locations
MinDamping = 0.5;
MaxFrequency = 45;
req4 = TuningGoal.Poles(0,MinDamping,MaxFrequency);

Настройка системы управления

Система с обратной связью нестабильна для начальных значений ПД и контроллеров пространства состояний (1 и, $2/s$ соответственно). Можно использовать systune совместно настроить эти два контроллера. Используйте slTuner интерфейс для определения настраиваемых блоков и регистрации входных параметров объекта F как точка анализа для измерения запасов устойчивости.

ST0 = slTuner('rct_pendulum',{'Position Controller','Angle Controller'});
addPoint(ST0,'F');

Далее используйте systune настройка ПД и контроллеров пространства состояний в соответствии с указанными выше требованиями к эффективности. Оптимизируйте отслеживание и подавление помех эффективности (мягкие требования) с учетом ограничений по местоположению запасов устойчивости и шеста (жесткие требования).

rng(0)
Options = systuneOptions('RandomStart',5);
[ST, fSoft] = systune(ST0,[req1,req2],[req3,req4],Options);

Final: Soft = 1.36, Hard = 0.99983, Iterations = 244
Final: Soft = 1.44, Hard = 0.99921, Iterations = 138
Final: Soft = 1.44, Hard = 0.99955, Iterations = 311
Final: Soft = 1.26, Hard = 0.99808, Iterations = 270
Final: Soft = 1.44, Hard = 0.99998, Iterations = 266
Final: Soft = 1.27, Hard = 0.99673, Iterations = 236

Лучший проект достигает значения, близкого к 1 для мягких требований, удовлетворяя при этом жестким требованиям (Hard<1). Это означает, что настроенная система управления почти достигает целевой эффективности для отслеживания и подавления помех с учетом полей устойчивости и ограничений положения полюса.

Валидация

Использование viewGoal чтобы дополнительно проанализировать, как оптимальный проект тарифов для каждого требования.

figure('Position',[100   100   575   660])
viewGoal([req1,req3,req4],ST)

Эти графики подтверждают, что первые два требования почти выполняются, в то время как последние два строго соблюдаются. Затем постройте график откликов на изменение положения шага и на импульс силы на тележке.

T = getIOTransfer(ST,{'xref','dF'},{'x','Theta'});
figure('Position',[100   100   650   420]);
subplot(121), step(T(:,1),10)
title('Tracking of set point change in position')
subplot(122), impulse(T(:,2),10)
title('Rejection of impulse disturbance')

Реакции плавны с желаемыми временами урегулирования. Проверьте настроенные значения контроллеров.

C1 = getBlockValue(ST,'Position Controller')

C1 =
 
               s    
  Kp + Kd * --------
             Tf*s+1 

  with Kp = 5.92, Kd = 1.95, Tf = 0.0513
 
Name: Position_Controller
Continuous-time PDF controller in parallel form.

C2 = zpk(getBlockValue(ST,'Angle Controller'))

C2 =
 
  -1611.4 (s+12.86) (s+4.368)
  ---------------------------
      (s+135.1) (s-14.26)
 
Name: Angle_Controller
Continuous-time zero/pole/gain model.

Обратите внимание, что контроллер угла имеет нестабильный полюс, который соединяется с неустойчивым полюсом объекта, чтобы стабилизировать инвертированный маятник. Чтобы увидеть это, получите передачу разомкнутого контура на входе объекта и постройте график корневого годографа.

L = getLoopTransfer(ST,'F',-1);
figure
rlocus(L)
set(gca,'XLim',[-25 20],'YLim',[-20 20])

Чтобы завершить валидацию, загрузите настроенные значения в Simulink и симулируйте нелинейную характеристику сборки тележки/маятника. Видео получившейся симуляции появляется ниже.

writeBlockValue(ST)

Фигура 3: Симуляция тележки/маятника с настроенными контроллерами.

Закройте модель после симуляции.

set_param('rct_pendulum','SimMechanicsOpenEditorOnUpdate','on');
close_system('rct_pendulum',0);

См. также

slTuner | systune

Документация