Результат переменной отклика может быть одним из ограниченного набора возможных значений. Если существует только два возможных результата, таких как ответ «да» или «нет» на вопрос, эти ответы называются двоичными ответами. Если существует несколько результатов, то они называются политомными ответами. Некоторые примеры включают степень заболевания (легкое, среднее, тяжелое), предпочтительные районы для жизни в городе и так далее. Когда переменная отклика является номинальной, нет естественного порядка среди категорий переменных отклика. Модели номинального отклика объясняют и предсказывают вероятность того, что наблюдение находится в каждой категории переменной категориального отклика.
Номинальная модель отклика является одним из нескольких естественных расширений двоичной модели logit и также называется полиномиальной моделью logit. Полиномиальная модель логита объясняет относительный риск нахождения в одной категории по сравнению с входом в ссылочную категорию, k, используя линейную комбинацию переменных предиктора. Следовательно, вероятность каждого результата выражается как нелинейная функция p переменных. The 'interactions','on' аргумент пары "имя-значение" в mnrfit соответствует этой полиномиальной модели с отдельной точкой пересечения и склонами среди категорий. mnrfit использует функцию logit link по умолчанию для полиномиальных моделей. Вы не можете задать другую функцию ссылки для полиномиальных ответов.
Полиномиальная модель логита
где π j = P (y = j) - вероятность того, что результат находится в категории j, k - количество категорий отклика, а p - количество переменных предиктора. Теоретически любая категория может быть ссылкой категорией, но mnrfit выбирает последнюю, k, в качестве ссылочной категории. Таким образом, mnrfit принимает, что коэффициенты k-й категории равны нулю. Сумма j-1 уравнений решается одновременно, чтобы оценить коэффициенты. mnrfit использует итерационно взвешенный алгоритм наименьших квадратов, чтобы найти максимальные оценки правдоподобия.
Коэффициенты в модели выражают эффекты переменных предиктора на относительный риск или журнал шансы оказаться в категории j по сравнению с категорией ссылки, здесь k. Например, β 23 коэффициентов указывает, что вероятность того, что переменная отклика находится в категории 2 по сравнению с вероятностью нахождения в категории k, увеличивает время exp (β 23) для каждого единичного увеличения в X 3, учитывая, что все остальное поддерживается постоянным. Или это указывает, что относительный логарифмический коэффициент переменной отклика, являющейся категорией 2 по сравнению с k категории, увеличивается β 23 раза с увеличением на одну единицу в X 3, учитывая все остальное равным.
На основе номинальной модели отклика и предположения, что коэффициенты для последней категории равны нулю, вероятность нахождения в каждой категории равна
Вероятность того, что k-я категория станет
который просто равен 1 - π 1 - π 2 -... – <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>-1.
После оценки коэффициентов модели используя mnrfit, можно оценить вероятности категорий или число в каждой категории с помощью mnrval (пара имя-значение по умолчанию является 'type','category'). Эта функция принимает оценки коэффициентов и статистику модели mnrfit возвращает и оценивает категориальные вероятности или число в каждой категории и их доверительные границы. Можно также задать совокупные или условные вероятности или числа для оценки с помощью 'type' аргумент пары "имя-значение" в mnrval.
[1] McCullagh, P., and J. A. Nelder. Обобщенные линейные модели. Нью-Йорк: Chapman & Hall, 1990.
[2] Длинные регрессионые модели Дж. С. для категориальных и ограниченно зависимых переменных. Sage Publications, 1997.
[3] Добсон, А. Дж., и А. Г. Барнетт. Введение в обобщенные линейные модели. Чепмен и Холл/CRC. Taylor & Francis Group, 2008.
fitglm | glmfit | glmval | mnrfit | mnrval