Документация

Что такое параметрические нелинейные регрессионые модели?

Параметрические нелинейные модели представляют отношение между переменной непрерывного отклика и одной или несколькими непрерывными переменными предиктора в форме

где

Напротив, непараметрические модели не пытаются охарактеризовать связь между предикторами и ответом с параметрами модели. Описания часто являются графическими, как в случае с деревьями решений.

fitnlm пытается найти значения β параметров, которые минимизируют средние квадратные различия между наблюдаемыми откликами y и предсказаниями f модели (X, β). Для этого ему нужно начальное значение beta0 перед итерационной модификацией вектора β на вектор с минимальной средней квадратичной невязкой.

Подготовка данных

Чтобы начать подгонку регрессии, поместите свои данные в форму, которую ожидают функции аппроксимации. Все методы регрессии начинаются с входных данных в массиве X и данные отклика в отдельном векторе y, или входные данные в таблице или массиве набора данных tbl и данные отклика в виде столбца в tbl. Каждая строка входных данных представляет одно наблюдение. Каждый столбец представляет один предиктор (переменную).

Для таблицы или массива набора данных tbl, укажите переменную отклика с 'ResponseVar' Пара "имя-значение":

mdl = fitlm(tbl,'ResponseVar','BloodPressure');

Переменная отклика по умолчанию является последним столбцом.

Вы не можете использовать categorical предикторы для нелинейной регрессии. Категориальный предиктор является таким, который принимает значения из фиксированного набора возможностей.

Представьте отсутствующие данные как NaN как для входных данных, так и для данных отклика.

ds = dataset('XLSFile','hospital.xls',...
    'ReadObsNames',true);

load carsmall
ds = dataset(Weight,Model_Year,MPG);

tbl = readtable('hospital.xls',...
    'ReadRowNames',true);

load carsmall
tbl = table(Weight,Model_Year,MPG);

load carsmall
X = [Weight Horsepower Cylinders Model_Year];
y = MPG;

[X, Xnames] = xlsread('hospital.xls');
y = X(:,4); % response y is systolic pressure
X(:,4) = []; % remove y from the X matrix

Представление нелинейной модели

Существует несколько способов представления нелинейной модели. Используйте то, что наиболее удобно.

Нелинейная модель является необходимым входом для fitnlm, в modelfun вход.

fitnlm принимает, что функция f (X, β) отклика сглажена в β параметров. Если ваша функция не гладкая, fitnlm может не обеспечить оптимальные оценки параметров.

• Указатель на функцию в анонимную функцию или файл функции

• Текстовое представление формулы

function yhat = hougen(beta,x)
%HOUGEN Hougen-Watson model for reaction kinetics.
%   YHAT = HOUGEN(BETA,X) gives the predicted values of the
%   reaction rate, YHAT, as a function of the vector of 
%   parameters, BETA, and the matrix of data, X.
%   BETA must have 5 elements and X must have three
%   columns.
%
%   The model form is:
%   y = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3)
%
%   Reference:
%      [1]  Bates, Douglas, and Watts, Donald, "Nonlinear
%      Regression Analysis and Its Applications", Wiley
%      1988 p. 271-272.

%   Copyright 1993-2004 The MathWorks, Inc. 
%   B.A. Jones 1-06-95.

b1 = beta(1);
b2 = beta(2);
b3 = beta(3);
b4 = beta(4);
b5 = beta(5);

x1 = x(:,1);
x2 = x(:,2);
x3 = x(:,3);

yhat = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3);

modelfun = @(b,x)(b(1)*x(:,2) - x(:,3)/b(5))./...
(1 + b(2)*x(:,1) + b(3)*x(:,2) + b(4)*x(:,3));

modelfun = 'y ~ (b1*x2 - x3/b5)/(1 + b2*x1 + b3*x2 + b4*x3)';

Выберите Начальный Вектор Бета0

Начальный вектор для итераций аппроксимации, beta0, может сильно повлиять на качество полученной подобранной модели. beta0 задает размерность задачи, что означает, что ей нужна правильная длина. Хороший выбор beta0 приводит к быстрой, надежной модели, в то время как плохой выбор может привести к длительным расчетам или к неадекватной модели.

Трудно дать совет по выбору хорошего beta0. Если вы считаете, что определенные компоненты вектора должны быть положительными или отрицательными, задайте свои beta0 иметь эти характеристики. Если вы знаете приблизительное значение других компонентов, включите их в beta0. Однако, если вы не знаете хороших значений, попробуйте случайный вектор, такой как

beta0 = randn(nVars,1);
% or
beta0 = 10*rand(nVars,1);

Подбор нелинейной модели к данным

Синтаксис для подбора кривой нелинейной регрессионой модели с помощью таблицы или массива набора данных tbl является

mdl = fitnlm(tbl,modelfun,beta0)

Синтаксис для подбора кривой нелинейной регрессионой модели с помощью числового массива X и вектор числовой характеристики y является

mdl = fitnlm(X,y,modelfun,beta0)

Для получения информации о представлении параметров входа см. «Подготовка Данных», «Представление нелинейных Моделей» и «Выбор начального вектора beta0».

fitnlm принимает, что переменная отклика в таблице или массиве набора данных tbl - последний столбец. Чтобы изменить это, используйте ResponseVar Пара "имя-значение" для присвоения имени ответному столбцу.

Исследуйте качество и настройте подобранную нелинейную модель

Существуют диагностические графики, которые помогут вам изучить качество модели. plotDiagnostics(mdl) дает множество графиков, включая кредитное плечо и дистанционные графики Кука. plotResiduals(mdl) приводит различие между подобранной моделью и данными.

Существуют также свойства mdl которые относятся к качеству модели. mdl.RMSE задает среднюю квадратную ошибку корня между данными и подобранной моделью. mdl.Residuals.Raw дает необработанные невязки. mdl.Diagnostics содержит несколько полей, таких как Leverage и CooksDistance, что может помочь вам идентифицировать особенно интересные наблюдения.

Этот пример показывает, как исследовать подобранную нелинейную модель с помощью диагностических, невязочных и срезанных графиков.

Загрузите выборочные данные.

load reaction

Создайте нелинейную модель скорости как функцию от reactants использование hougen.m функция.

beta0 = ones(5,1);
mdl = fitnlm(reactants,...
    rate,@hougen,beta0);

Создайте график рычагов данных и модели.

plotDiagnostics(mdl)

Есть одна точка, который имеет высокие рычаги. Найдите точку.

[~,maxl] = max(mdl.Diagnostics.Leverage)

maxl = 6

Исследуйте график невязок.

plotResiduals(mdl,'fitted')

Ничто не выделяется как выбросы.

Используйте график среза, чтобы показать эффект каждого предиктора на модели.

plotSlice(mdl)

Можно перетащить вертикальные штриховые синие линии, чтобы увидеть эффект изменения в одном предикторе на ответ. Например, перетащите X2 линию вправо и заметьте, что изменяется уклон X3 линии.

Предсказание или моделирование реакций с помощью нелинейной модели

В этом примере показано, как использовать методы predict, feval, и random для предсказания и моделирования ответов на новые данные.

Случайным образом сгенерируйте выборку из распределения Коши.

rng('default')
X = rand(100,1);
X = tan(pi*X - pi/2);

Сгенерируйте ответ согласно модели y = b1*(pi /2 + atan((x - b2) / b3)) и добавить шум в ответ.

modelfun = @(b,x) b(1) * ...
    (pi/2 + atan((x - b(2))/b(3)));
y = modelfun([12 5 10],X) + randn(100,1);

Подгонка модели начиная с произвольных параметров b = [1,1,1].

beta0 = [1 1 1]; % An arbitrary guess
mdl = fitnlm(X,y,modelfun,beta0)

mdl = 
Nonlinear regression model:
    y ~ b1*(pi/2 + atan((x - b2)/b3))

Estimated Coefficients:
          Estimate      SE       tStat       pValue  
          ________    _______    ______    __________

    b1     12.082     0.80028    15.097    3.3151e-27
    b2     5.0603      1.0825    4.6747    9.5063e-06
    b3       9.64     0.46499    20.732    2.0382e-37


Number of observations: 100, Error degrees of freedom: 97
Root Mean Squared Error: 1.02
R-Squared: 0.92,  Adjusted R-Squared 0.918
F-statistic vs. zero model: 6.45e+03, p-value = 1.72e-111

Установленные значения находятся в пределах нескольких процентов от параметров [12,5,10].

Осмотрите подгонку.

plotSlice(mdl)

Xnew = [-15;5;12];
[ynew,ynewci] = predict(mdl,Xnew)

ynew = 3×1

    5.4122
   18.9022
   26.5161

ynewci = 3×2

    4.8233    6.0010
   18.4555   19.3490
   25.0170   28.0151

ds = dataset({X,'X'},{y,'y'});
mdl2 = fitnlm(ds,modelfun,beta0);

Xnew = [-15;5;12];
ynew = feval(mdl2,Xnew)

ynew = 3×1

    5.4122
   18.9022
   26.5161

Xnew = [-15;5;12];
ysim = random(mdl,Xnew)

ysim = 3×1

    6.0505
   19.0893
   25.4647

ysim = random(mdl,Xnew)

ysim = 3×1

    6.3813
   19.2157
   26.6541