В целом формула для спецификации модели является вектором символов или строковым скаляром вида 'y ~ terms'. Для линейных моделей смешанных эффектов эта формула находится в форме 'y ~ fixed + (random1|grouping1) + ... + (randomR|groupingR)', где fixed и random содержат фиксированные эффекты и условия случайных эффектов.
Предположим, таблица tbl содержит следующее:
Переменная отклика, y
Переменные предиктора, Xj, которая может быть непрерывной или сгруппированными переменными
Сгруппированные переменные, g1, g2..., gR,
где сгруппированные переменные в Xj и gr могут быть категориальными, логическими, символьными массивами, строковыми массивами или массивами ячеек векторов символов.
Затем в формуле формы 'y ~ fixed + (random1|g1) + ... + (randomR|gR)', термин fixed соответствует спецификации матрицы проекта с фиксированными эффектами X, random1 является спецификацией матрицы проекта случайных эффектов Z1, соответствующий сгруппированной переменной g1, и аналогично randomR является спецификацией матрицы проекта случайных эффектов ZR, соответствующий сгруппированной переменной gR. Вы можете выразить fixed и random термины, использующие обозначение Уилкинсона.
Уилкинсон обозначения описывает факторы, присутствующие в моделях. Это обозначение относится к факторам, присутствующим в моделях, а не к умножителям (коэффициентам) этих факторов.
| Уилкинсон Обозначение | Факторы в стандартном обозначении |
|---|---|
1 | Константа ( точку пересечения) термин |
X^k, где k является положительным целым числом | X, X2,..., Xk |
X1 + X2 | X1, X2 |
X1*X2 | X1, X2, X1.*X2 (elementwise multiplication of X1 and X2) |
X1:X2 | X1.*X2 только |
- X2 | Не включать X2 |
X1*X2 + X3 | X1, X2, X3, X1*X2 |
X1 + X2 + X3 + X1:X2 | X1, X2, X3, X1*X2 |
X1*X2*X3 - X1:X2:X3 | X1, X2, X3, X1*X2, X1*X3, X2*X3 |
X1*(X2 + X3) | X1, X2, X3, X1*X2, X1*X3 |
Statistics and Machine Learning Toolbox™ notation всегда включает в себя постоянный термин, если вы явным образом не удаляете термин с помощью -1. Вот несколько примеров для спецификации линейной модели смешанных эффектов.
Примеры:
| Формула | Описание |
|---|---|
'y ~ X1 + X2' | Фиксированные эффекты для точки пересечения, X1 и X2. Это эквивалентно 'y ~ 1 + X1 + X2'. |
'y ~ -1 + X1 + X2' | Никаких точек пересечения и фиксированных эффектов для X1 и X2. Неявный термин точки пересечения подавляется включением -1. |
'y ~ 1 + (1 | g1)' | Фиксированные эффекты для точки пересечения плюс случайный эффект для точки пересечения для каждого уровня сгруппированной переменной g1. |
'y ~ X1 + (1 | g1)' | Модель случайной точки пересечения с фиксированным уклоном. |
'y ~ X1 + (X1 | g1)' | Случайная точка пересечения и наклон, с возможной корреляцией между ними. Это эквивалентно 'y ~ 1 + X1 + (1 + X1|g1)'. |
'y ~ X1 + (1 | g1) + (-1 + X1 | g1)' | Независимые условия случайных эффектов для точки пересечения и наклона. |
'y ~ 1 + (1 | g1) + (1 | g2) + (1 | g1:g2)' | Модель случайной точки пересечения с независимыми основными эффектами для g1 и g2, плюс независимый эффект взаимодействия. |
fitlme преобразует выражения в fixed и random части (не сгруппированные переменные) формулы в матрицы проекта следующим образом:
Каждый термин в формуле добавляет один или несколько столбцов в соответствующую матрицу проекта.
Термин, содержащий одну непрерывную переменную, добавляет один столбец в матрицу проекта.
Фиксированный термин, содержащий категориальную переменную X с k уровнями добавляет (k - 1) фиктивные переменные в матрицу проекта.
Для примера, если переменная Supplier представляет трех различных поставщиков, от которых производитель получает части, т.е. категориальную переменную с тремя уровнями, и из шести партий, первые две партии поступают от поставщика 1 (уровень 1), вторые две партии поступают от поставщика 2 (уровень 2), а последние две партии поступают от поставщика 3 (уровень 3), например
Supplier =
1
1
2
2
3
3 Supplier к формуле в виде термина с фиксированными эффектами или случайными эффектами добавляет следующие две фиктивные переменные к соответствующей матрице проекта, используя 'reference' контрастность:0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
'DummyVarCoding' Аргумент пары "имя-значение" из fitlme.Если X1 и X2 являются непрерывными переменными, продуктом X1:X2 добавляет один столбец, полученный элементарным умножением X1 и X2 в матрицу проекта.
Если X1 непрерывен и X2 категориальна с k уровнями, термином продукта X1:X2 умножает элементарно X1 с (k - 1) фиктивными переменными, представляющими X2, и добавляет эти (k - 1) столбцы в матрицу проекта.
Для примера, если Drug количество препарата, вводимого пациентам, непрерывное лечение и Time - это три различные точки времени, когда принимаются меры по охране здоровья, категориальная переменная с тремя уровнями, и из девяти наблюдений первые три наблюдаются в момент времени 1, вторые три наблюдаются в момент времени 2, а последние три наблюдаются в момент времени 3 так, что
[Drug Time] =
0.1000 1.0000
0.2000 1.0000
0.5000 2.0000
0.6000 2.0000
0.3000 3.0000
0.8000 3.0000Drug:Time добавляет следующие две переменные в матрицу проекта: 0 0
0 0
0.5000 0
0.6000 0
0 0.3000
0 0.8000
Если X1 и X2 - категориальные переменные с k и m уровнями соответственно, термин продукта X1:X2 добавляет (k - 1) * (m - 1) фиктивные переменные в матрицу проекта, формируемую путем взятия элементарного продукта каждой фиктивной переменной, представляющей X1 с каждой фиктивной переменной, представляющей X2.
Например, в эксперименте по определению влияния типа кукурузы и метода поппинга на урожай предположим, что существует три типа Corn и два типа Method следующим образом:
1 oil
1 oil
1 air
1 air
2 oil
2 oil
2 air
2 air
3 oil
3 oil
3 air
3 airCorn:Method добавляет к матрице проекта следующее: 0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
0 0
0 0
0 1
0 1
0 0
0 0Термин X1*X2 добавляет необходимое количество столбцов для X1, X2, и X1:X2 в матрицу проекта.
Термин X1^2 добавляет необходимое количество столбцов для X1 и X1:X1 в матрицу проекта.
Символ 1 (1) в формуле обозначает столбец всех 1с. По умолчанию столбец 1s включается в матрицу проекта. Чтобы исключить столбец таковых из матрицы проекта, необходимо явным образом задать –1 как термин в выражении.
fitlme обрабатывает сгруппированные переменные в (.|group) часть формулы следующим образом:
Если у сгруппированной переменной k уровни, то k фиктивные переменные представляют эту группировку.
Например, предположим District - категориальная сгруппированная переменная с тремя уровнями, показывающая три типа районов, и из шести школ первые две находятся в округе 1, вторые два - в округе 2, а последние два - в районе 3, так что
District =
1
1
2
2
3
3
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
Если X1 является непрерывной переменной случайных эффектов и X2 является сгруппированная переменная с k уровнями, затем случайным слагаемым (X1 – 1|X2) умножает элементарно X1 с k манекеном переменных, представляющим X2 и добавляет эти k столбцы в матрицу проекта случайных эффектов.
Например, предположим Score - непрерывная переменная, показывающая счета студентов с экзамена по математике в школе, и Class - категориальная переменная с тремя уровнями, показывающая три различных класса в школе. Кроме того, предположим, что из девяти наблюдений первые три соответствуют счетам учащихся в первом классе, вторые три соответствуют счетам студентов во втором классе, а последние три соответствуют счетам учащихся в третьем классе, таким как
[Score Class] =
78.0000 1.0000
68.0000 1.0000
81.0000 2.0000
53.0000 2.0000
85.0000 3.0000
72.0000 3.0000(Score – 1|Class) добавляет следующие три столбца в матрицу проекта случайных эффектов: 78.0000 0 0
68.0000 0 0
0 81.0000 0
0 53.0000 0
0 0 85.0000
0 0 72.0000 Если X1 является непрерывной переменной предиктора и X2 и X3 Сгруппированные переменные с k и m уровнями, термин (X1|X2:X3) представляет эту группировку X1 с k * m фиктивными переменными, формируемыми путем взятия элементарного продукта каждой фиктивной переменной, представляющей X2 с каждой фиктивной переменной, представляющей X3.
Например, предположим Treatment является непрерывной переменной предиктора, и существует три уровня Block и два уровня Plot вложенный в блок следующим образом:
0.1000 1 a 0.2000 1 b 0.5000 2 a 0.6000 2 b 0.3000 3 a 0.8000 3 b
Затем, случайный термин (Treatment – 1|Block:Plot) добавляет к матрице проекта случайных эффектов следующее:
0.1000 0 0 0 0 0
0 0.2000 0 0 0 0
0 0 0.5000 0 0 0
0 0 0 0.6000 0 0
0 0 0 0 0.3000 0
0 0 0 0 0 0.8000fitlme | fitlmematrix | LinearMixedModel