Создайте функцию и найдите ее производную

Создайте вектор $$x$$ и матрицу $$A$$ как символьные матричные переменные. Определите функцию $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=\sin \left({\mathit{x}}^{\mathit{T}}\mathit{A}\mathit{x}\right)$.

syms x [2 1] matrix
syms A [2 2] matrix
f = sin(x.'*A*x)

f = $$\sin \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)$$

Вычислите производную D функции $$f(x)$$ относительно вектора $$x$$. Производная D отображается в компактной матрице обозначения в терминах $$x$$ и $$A$$.

D = diff(f,x)

D = $$\cos \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A+x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}\right)$$

Преобразование symmatrix Объекты для sym Объекты

Переменные символьной матрицы x, A, f, и D являются symmatrix объекты. Эти объекты представляют матрицы, векторы и скаляры в компактном матричном обозначении. Чтобы показать компоненты этих переменных, преобразуйте symmatrix объекты к sym объекты, использующие symmatrix2sym.

xsym = symmatrix2sym(x)

xsym = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

Asym = symmatrix2sym(A)

Asym = 
$$\left(\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,2}\end{array}\right)$$

fsym = symmatrix2sym(f)

fsym = $$\left(\begin{array}{c}\sin \left(x_1\hspace{0.17em}\left(A_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)+x_2\hspace{0.17em}\left(A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\right)\end{array}\right)$$

Dsym = symmatrix2sym(D)

Dsym = $$\left(\begin{array}{cc}\cos \left(x_1\hspace{0.17em}\left(A_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)+x_2\hspace{0.17em}\left(A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{A}_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2+A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_2\right)& \cos \left(x_1\hspace{0.17em}\left(A_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)+x_2\hspace{0.17em}\left(A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+2\hspace{0.17em}{A}_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\end{array}\right)$$

Подстановка числовых значений и нахождение минимума

Предположим, что вас интересует случай, когда значение $$A$$ является [2 -1; 0 3]. Замените это значение функцией fsym.

fsym = subs(fsym,Asym,[2 -1; 0 3])

fsym = $$\sin \left(3\hspace{0.17em}{x_2}^2+x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)\right)$$

Замените значение $$A$$ в производную Dsym

Dsym = subs(Dsym,Asym,[2 -1; 0 3])

Dsym = $$\left(\begin{array}{cc}\cos \left(3\hspace{0.17em}{x_2}^2+x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(4\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)& -\cos \left(3\hspace{0.17em}{x_2}^2+x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(x_1-6\hspace{0.17em}{x}_2\right)\end{array}\right)$$

Затем примените символическую функцию solve чтобы получить корень производной.

[xmin,ymin] = solve(Dsym,xsym,'PrincipalValue',true);
x0 = [xmin; ymin]

x0 = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

Постройте график функции $$f(x)$$ вместе с extremum решением $$x_0$$. Установите интервал графика равным $$-1<x_1<1$$ и $$-1<x_2<1$$ как второй аргумент fsurf. Использование fplot3 для построения графика координат решения extremum.

fsurf(fsym,[-1 1 -1 1])
hold on
fplot3(xmin,ymin,subs(fsym,xsym,x0),'ro')
view([-68 13])

Аппроксимация функции около минимума

Можно аппроксимировать многомерную функцию вокруг точки $$x_0$$ с полиномиальным с использованием разложения Тейлора.

Здесь, термин $$\nabla f(x_0)$$ является градиентным вектором, и $$H(f(x_0))$$ - матрица Гессия многомерной функции $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$ вычисляется в $$x_0$$.

Найдите матрицу Гессия и верните результат как переменную символьной матрицы.

H = diff(f,x,x.')

H = $$-\sin \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(A^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}x+A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A+x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}\right)+\cos \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(A^{\mathrm{T}}+A\right)$$

Преобразуйте матрицу Гессия $$H(f(x_0))$$ на sym тип данных, который представляет матрицу в ее компонентной форме. Использование subs чтобы вычислить матрицу Гессия для $$A$$ = [2 -1; 0 3] в минимальной точке $$x_0$$.

Hsym = symmatrix2sym(H);
Hsym = subs(Hsym,Asym,[2 -1; 0 3]);
H0 = subs(Hsym,xsym,x0)

H0 = 
$$\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -1& 6\end{array}\right)$$

Оцените градиент вектора $$\nabla f(x_0)$$ в $$x_0$$.

D0 = subs(Dsym,xsym,x0)

D0 = $$\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right)$$

Вычислите приближение Тейлора к функции, близкой к ее минимуму.

fapprox = subs(fsym,xsym,x0) + D0*(xsym-x0) + 1/2*(xsym-x0).'*H0*(xsym-x0)

fapprox = 
$$x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-\frac{x_2}{2}\right)-x_2\hspace{0.17em}\left(\frac{x_1}{2}-3\hspace{0.17em}{x}_2\right)$$

Постройте график приближения функций на том же графике, который показывает $$f(x)$$ и $$x_0$$.

hold on
fsurf(fapprox,[-1 1 -1 1])
zlim([-1 3])