Решить квадратичное уравнение, не задавая переменную, для которой нужно решить. solve выбирает x для возврата решения.

syms a b c x
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0

eqn = $$a\hspace{0.17em}{x}^2+b\hspace{0.17em}x+c=0$$

S = solve(eqn)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{b+\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\\ -\frac{b-\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\end{array}\right)$$

Задайте переменную, для которой нужно решить и решить квадратичное уравнение для a.

Sa = solve(eqn,a)

Sa = 
$$-\frac{c+b\hspace{0.17em}x}{x^2}$$

Решить полином пятой степени. Она имеет пять решений.

syms x
eqn = x^5 == 3125;
S = solve(eqn,x)

S = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}5\\ -{\sigma }_1-\frac{5}{4}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{5-\sqrt{5}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\\ -{\sigma }_1-\frac{5}{4}+\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{5-\sqrt{5}}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\\ {\sigma }_1-\frac{5}{4}-\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{\sqrt{5}+5}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\\ {\sigma }_1-\frac{5}{4}+\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{\sqrt{5}+5}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{4}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{5\hspace{0.17em}\sqrt{5}}{4}\end{array}$$

Верните только реальные решения путем настройки 'Real' опция для true. Единственные действительные решения этого уравнения 5.

S = solve(eqn,x,'Real',true)

S = $$5$$

Когда solve не может символически решить уравнение, оно пытается найти числовое решение используя vpasolve. The vpasolve функция возвращает первое найденное решение.

Попробуйте решить следующее уравнение. solve возвращает числовое решение, потому что оно не может найти символьное решение.

syms x
eqn = sin(x) == x^2 - 1;
S = solve(eqn,x)

Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using <a href="matlab:web(fullfile(docroot, 'symbolic/vpasolve.html'))">vpasolve</a>.

S = $$-0.63673265080528201088799090383828$$

Постройте график левой и правой сторон уравнения. Заметьте, что уравнение также имеет положительное решение.

fplot([lhs(eqn) rhs(eqn)], [-2 2])

Найдите другое решение путем прямого вызова числового решателя vpasolve и определение интервала.

V = vpasolve(eqn,x,[0 2])

V = $$1.4096240040025962492355939705895$$

При решении для нескольких переменных может быть удобнее хранить выходы в массиве структур, чем в отдельных переменных. The solve функция возвращает структуру, когда задается один выходной аргумент, и существует несколько выходов.

Решите систему уравнений, чтобы вернуть решения в массиве структур.

syms u v
eqns = [2*u + v == 0, u - v == 1];
S = solve(eqns,[u v])

S = struct with fields:
    u: [1x1 sym]
    v: [1x1 sym]

Доступ к решениям путем обращения к элементам структуры.

S.u

ans = 
$$\frac{1}{3}$$

S.v

ans = 
$$-\frac{2}{3}$$

Использование массива структур позволяет вам удобно подставлять решения в другие выражения.

Используйте subs функция для замены решений S в другие выражения.

expr1 = u^2;
e1 = subs(expr1,S)

e1 = 
$$\frac{1}{9}$$

expr2 = 3*v + u;
e2 = subs(expr2,S)

e2 = 
$$-\frac{5}{3}$$

Если solve возвращает пустой объект, тогда никаких решений не существует.

eqns = [3*u+2, 3*u+1];
S = solve(eqns,u)

 
S =
 
Empty sym: 0-by-1
 

The solve функция может решить неравенства и вернуть решения, которые удовлетворяют неравенствам. Решите следующие неравенства.

Задайте 'ReturnConditions' на true вернуть любые параметры в решение и условия на решение.

syms x y
eqn1 = x > 0;
eqn2 = y > 0;
eqn3 = x^2 + y^2 + x*y < 1;
eqns = [eqn1 eqn2 eqn3];

S = solve(eqns,[x y],'ReturnConditions',true);
S.x

ans = 
$$\frac{\sqrt{u-3\hspace{0.17em}{v}^2}}{2}-\frac{v}{2}$$

S.y

ans = $$v$$

S.parameters

ans = $$\left(\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right)$$

S.conditions

ans = 

Параметры u и v не существует в рабочей области MATLAB ® и доступ к нему должен осуществляться с помощью S.parameters.

Проверяйте, есть ли значения u = 7/2 и v = 1/2 удовлетворить условию используя subs и isAlways.

condWithValues = subs(S.conditions, S.parameters, [7/2,1/2]);
isAlways(condWithValues)

ans = logical
   1

isAlways возвращает логический 1 (true) указывая, что эти значения удовлетворяют условию. Замените эти значения параметров на S.x и S.y чтобы найти решение для x и y.

xSol = subs(S.x, S.parameters, [7/2,1/2])

xSol = 
$$\frac{\sqrt{11}}{4}-\frac{1}{4}$$

ySol = subs(S.y, S.parameters, [7/2,1/2])

ySol = 
$$\frac{1}{2}$$

Решить систему уравнений.

При решении для нескольких переменных, порядок, в котором вы задаете переменные, определяет порядок, в котором решатель возвращает решения. Назначьте решения переменным solv и solu путем явного определения переменных. Решатель возвращает массив решений для каждой переменной.

syms u v
eqns = [2*u^2 + v^2 == 0, u - v == 1];
vars = [v u];
[solv, solu] = solve(eqns,vars)

solv = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\\ -\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\end{array}\right)$$

solu = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\\ \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\end{array}\right)$$

Записи с тем же индексом образуют пару решений.

solutions = [solv solu]

solutions = 
$$\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}& \frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\\ -\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}& \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{3}\end{array}\right)$$

Верните полное решение уравнения с параметрами и условиями решения путем определения 'ReturnConditions' как true.

Решите уравнение $$\sin (x)=0$$. Предоставьте две дополнительные выходные переменные для выходных аргументов parameters и conditions.

syms x
eqn = sin(x) == 0;
[solx,parameters,conditions] = solve(eqn,x,'ReturnConditions',true)

solx = $$\pi \hspace{0.17em}k$$

parameters = $$k$$

conditions = $$k\in \mathbb{Z}$$

Решение $$\pi k$$ содержит параметр $$k$$, где $$k$$ должно быть целым числом. Переменная $$k$$ не существует в рабочем пространстве MATLAB и должен быть получен доступ с помощью parameters.

Ограничьте решение $$0<x<2\pi$$. Найти допустимое значение $$k$$ для этого ограничения. Примите условие, conditions, и использовать solve найти $$k$$. Замените значение $$k$$ найдено в решении для $$x$$.

assume(conditions)
restriction = [solx > 0, solx < 2*pi];
solk = solve(restriction,parameters)

solk = $$1$$

valx = subs(solx,parameters,solk)

valx = $$\pi$$

Кроме того, определите решение для $$x$$ путем выбора значения $$k$$. Проверьте, удовлетворяет ли выбранное значение условию $$k$$ использование isAlways.

Проверяйте, $$k=4$$ удовлетворяет условию на $$k$$.

condk4 = subs(conditions,parameters,4);
isAlways(condk4)

ans = logical
   1

isAlways возвращает логический 1 (true), что означает, что 4 является допустимым значением для $$k$$. Замена $$k$$ с 4, чтобы получить решение для $$x$$. Использование vpa для получения числового приближения.

valx = subs(solx,parameters,4)

valx = $$4\hspace{0.17em}\pi$$

vpa(valx)

ans = $$12.566370614359172953850573533118$$

Решите уравнение $\exp \left(\log \left(\mathit{x}\right)\log \left(3\mathit{x}\right)\right)=4$.

По умолчанию solve не применяет упрощения, которые не действительны для всех значений $$x$$. В этом случае решатель не принимает, что $$x$$ является положительным вещественным числом, поэтому не применяет логарифмический тождества $$\log (3x)=\log (3)+\log (x)$$. В результате solve невозможно решить уравнение символически.

syms x
eqn = exp(log(x)*log(3*x)) == 4;
S = solve(eqn,x)

Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using <a href="matlab:web(fullfile(docroot, 'symbolic/vpasolve.html'))">vpasolve</a>.

S = $$-14.009379055223370038369334703094-2.9255310052111119036668717988769\hspace{0.17em}\mathrm{i}$$

Задайте 'IgnoreAnalyticConstraints' на true применять правила упрощения, которые могут позволить solve для поиска решения. Для получения дополнительной информации смотрите Алгоритмы.

S = solve(eqn,x,'IgnoreAnalyticConstraints',true)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{\sqrt{\log \left(256\right)+{\log \left(3\right)}^2}}{2}}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\frac{\sqrt{\log \left(256\right)+{\log \left(3\right)}^2}}{2}}}{3}\end{array}\right)$$

solve применяет упрощения, которые позволяют решателю найти решение. Математические правила, применяемые при выполнении упрощений, не всегда действительны в целом. В этом примере решатель применяет логарифмические тождества с предположением, что $$x$$ является положительным вещественным числом. Поэтому решения, найденные в этом режиме, должны быть проверены.

The sym и syms функции позволяют вам задать допущения для символьных переменных.

Предположим, что переменная x положительно.

syms x positive

Когда вы решаете уравнение для переменной в допущениях, решатель возвращает только решения, сопоставимые с допущениями. Решите это уравнение для x.

eqn = x^2 + 5*x - 6 == 0;
S = solve(eqn,x)

S = $$1$$

Разрешить решения, которые не удовлетворяют допущениям, путем установки 'IgnoreProperties' на true.

S = solve(eqn,x,'IgnoreProperties',true)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\end{array}\right)$$

Для дальнейших расчетов очистите предположение, что вы установили на переменную x путем воссоздания его с помощью syms.

syms x

Когда вы решаете полиномиальное уравнение, решатель может использовать root чтобы вернуть решения. Решить полином третьей степени.

syms x a
eqn = x^3 + x^2 + a == 0;
solve(eqn, x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{root}\left(z^3+z^2+a,z,1\right)\\ \mathrm{root}\left(z^3+z^2+a,z,2\right)\\ \mathrm{root}\left(z^3+z^2+a,z,3\right)\end{array}\right)$$

Попробуйте получить явное решение для таких уравнений, вызвав решатель с 'MaxDegree'. Опция задает максимальную степень полиномов, для которых решатель пытается вернуть явные решения. Значение по умолчанию 2. Увеличивая это значение, можно получить явные решения для полиномов более высокого порядка.

Решить те же уравнения для явных решений путем увеличения значения 'MaxDegree' на 3.

S = solve(eqn, x, 'MaxDegree', 3)

S = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}+{\sigma }_1-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{18\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\\ -\frac{1}{18\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{9\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1={\left(\sqrt{{\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{27}\right)}^2-\frac{1}{729}}-\frac{a}{2}-\frac{1}{27}\right)}^{1/3}\end{array}$$

Решите уравнение $$\sin (x)+\cos (2x)=1$$.

Вместо того, чтобы возвращать бесконечный набор периодических решений, решатель выбирает три решения, которые он считает наиболее практичными.

syms x
eqn = sin(x) + cos(2*x) == 1;
S = solve(eqn,x)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{\pi }{6}\\ \frac{5\hspace{0.17em}\pi }{6}\end{array}\right)$$

Выберите только одно решение путем настройки 'PrincipalValue' на true.

S1 = solve(eqn,x,'PrincipalValue',true)

S1 = $$0$$