Руководство по функциональным производным

Этот пример показов, как использовать функциональные производные в Symbolic Math Toolbox™ на примере волнового уравнения. Этот пример выполняет вычисления символически, чтобы получить аналитические результаты. Волновое уравнение для строки, фиксированной на ее концах, решается с помощью функциональных производных. Производная функции является производной функции относительно функции, от которой зависит функция. Symbolic Math Toolbox™ реализует функциональные производные с помощью functionalDerivative функция.

Решение волнового уравнения является одним из применений функциональных производных. Он описывает движение волн, от движения строки до распространения электромагнитной волны, и является важным уравнением в физике. Можно применить методы, проиллюстрированные в этом примере, к приложениям в исчислении изменений от решения задачи Брахистохрона до нахождения минимальных поверхностей мыльных пузырей.

Рассмотрим строку длины L приостановлен между двумя точками x = 0 и x = L. Строка имеет характеристическую плотность на модуль длину и характерное натяжение. Определите длину, плотность и натяжение как константы для дальнейшего использования. Для простоты установите эти константы в 1.

Length = 1;
Density = 1;
Tension = 1;

Если строка находится в движении, кинетическая и потенциальная энергии струны являются функцией ее смещения из покоя S(x,t), который изменяется в зависимости от положения x и временные t. Если d - плотность на единицу длины, кинетическая энергия

T=0Ld2(ddtS(x,t))2dx.

Потенциальная энергия

V=0Lr2(ddxS(x,t))2dx,

где r - натяжение.

Введите эти уравнения в MATLAB ®. Поскольку длина должна быть положительной, установите это предположение. Это предположение позволяет simplify для упрощения полученных уравнений в ожидаемую форму.

syms S(x,t) d r v L
assume(L>0)
T(x,t) = int(d/2*diff(S,t)^2,x,0,L);
V(x,t) = int(r/2*diff(S,x)^2,x,0,L);

Область действия A является T-V. Принцип наименьшего действия утверждает, что действие всегда минимизируется. Определите условие минимального действия, путем нахождения функциональной производной A относительно S использование functionalDerivative и приравнять его к нулю.

A = T-V;
eqn = functionalDerivative(A,S) == 0
eqn(x, t) = 

Lr2x2 S(x,t)-Ld2t2 S(x,t)=0L * r * diff (S (x, t), x, 2) - L * d * diff (S (x, t), t, 2) = = 0

Упростить уравнение используя simplify. Преобразовать уравнение в ожидаемую форму путем замены на r/d с квадратом скорости волны v.

eqn = simplify(eqn)/r;
eqn = subs(eqn,r/d,v^2)
eqn(x, t) = 

2t2 S(x,t)v2=2x2 S(x,t)diff (S (x, t), t, 2 )/v ^ 2 = = diff (S (x, t), x, 2)

Решить уравнение можно с помощью метода разделения переменных. Задайте S(x,t) = U(x)*V(t) чтобы разделить зависимость от положения x и временные t. Разделите обе стороны получившегося уравнения, используя children.

syms U(x) V(t)
eqn2 = subs(eqn,S(x,t),U(x)*V(t));
eqn2 = eqn2/(U(x)*V(t))
eqn2(x, t) = 

2t2 V(t)v2V(t)=2x2 U(x)U(x)diff (V (t), t, 2 )/( v ^ 2 * V (t)) = = diff (U (x), x, 2 )/U (x)

tmp = children(eqn2);

Обе стороны уравнения зависят от разных переменных, но равны. Это возможно только, если каждая сторона является константой. Приравняйте каждую сторону к произвольной константе C для получения двух дифференциальных уравнений.

syms C
eqn3 = tmp(1) == C
eqn3 = 

2t2 V(t)v2V(t)=Cdiff (V (t), t, 2 )/( v ^ 2 * V (t)) = = C

eqn4 = tmp(2) == C
eqn4 = 

2x2 U(x)U(x)=Cdiff (U (x), x, 2 )/U (x) = = C

Решить дифференциальные уравнения можно используя dsolve с условием, что перемещение 0 при x = 0 и t = 0. Упростите уравнения к их ожидаемой форме с помощью simplify с Steps значение опции установлено в 50.

V(t) = dsolve(eqn3,V(0)==0,t);
U(x) = dsolve(eqn4,U(0)==0,x);
V(t) = simplify(V(t),'Steps',50)
V(t) = -2C1sinh(Ctv)-2 * C1 * sinh (sqrt (C) * t * v)
U(x) = simplify(U(x),'Steps',50)
U(x) = 2C1sinh(Cx)2 * C1 * sinh (sqrt (C) * x)

Получите константы в уравнениях.

p1 = setdiff(symvar(U(x)),sym([C,x]))
p1 = C1C1
p2 = setdiff(symvar(V(t)),sym([C,v,t]))
p2 = C1C1

Строка фиксируется в положениях x = 0 и x = L. Условие U(0) = 0 уже существует. Примените граничное условие, которое U(L) = 0 и решить для C.

eqn_bc = U(L) == 0;
[solC,param,cond] = solve(eqn_bc,C,'ReturnConditions',true)
solC = 

-k2π2L2- (k ^ 2 * sym (pi) ^ 2 )/L ^ 2

param = kk
cond = kZC101kin (k, 'целое число') & C1 ~ = 0 & 1 < = k
assume(cond)

Решение S(x,t) является продуктом U(x) и V(t). Найдите решение и замените значения признаков строки в решение, чтобы получить окончательную форму решения.

S(x,t) = U(x)*V(t);
S = subs(S,C,solC);
S = subs(S,[L v],[Length sqrt(Tension/Density)]);

Параметры p1 и p2 определить амплитуду колебаний. Задайте p1 и p2 на 1 для простоты.

S = subs(S,[p1 p2],[1 1]);
S = simplify(S,'Steps',50)
S(x, t) = 4sin(πkt)sin(πkx)4 * sin (sym (pi) * k * t) * sin (sym (pi) * k * x)

Строка имеет различные режимы вибрации для разных значений k. Постройте график первых четырех режимов для произвольного значения времени t. Используйте param аргумент возвращен solve в адресный параметр k.

Splot(x) = S(x,0.3);
figure(1)
hold on
grid on
ymin = double(coeffs(Splot));
for i = 1:4
    yplot = subs(Splot,param,i);
    fplot(yplot,[0 Length])
end
ylim([-ymin ymin])
legend('k = 1','k = 2','k = 3','k = 4','Location','best')
xlabel('Position (x)')
ylabel('Displacement (S)')
title('Modes of a string')

Figure contains an axes. The axes with title Modes of a string contains 4 objects of type functionline. These objects represent k = 1, k = 2, k = 3, k = 4.

Волновое уравнение линейное. Это означает, что любая линейная комбинация разрешенных режимов является допустимым решением волнового уравнения. Следовательно, полное решение волнового уравнения с заданными граничными условиями и начальными значениями является суммой над допустимыми режимами

F(x,t)=k=nmAksin(πkt)sin(πkx),

где Ak обозначает произвольные константы.

Использование symsum суммировать первые пять режимов строки. На новом рисунке отобразите полученную форму волны в тот же момент времени, что и предыдущие формы волны для сравнения.

figure(2)
S5(x) = 1/5*symsum(S,param,1,5);
fplot(subs(S5,t,0.3),[0 Length])
ylim([-ymin ymin])
grid on
xlabel('Position (x)')
ylabel('Displacement (S)')
title('Summation of first 5 modes')

Figure contains an axes. The axes with title Summation of first 5 modes contains an object of type functionline.

Рисунок показывает, что режимы суммирования позволяют вам смоделировать качественно отличную форму волны. Здесь мы указали, что начальное условие S(x,t=0)=0 для всех x.

Можно вычислить значения Ak в уравнении F(x,t)=k=nmAksin(πkt)sin(πkx) путем определения условия начальной скорости

ut(x,t=0)=Ft(x,0).

Соответствующее суммирование режимов может представлять любую форму волны, которая является такой же, как и использование ряда Фурье, чтобы представлять движение строки.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте