Найдите производную функции $$S[y]={\int }_b^{a}y(x)\sin (y(x))dx$$ относительно функции $$y$$, где интегранд $$f[y(x)]=y(x)\sin (y(x))$$.

Объявить y(x) как символическая функция и задайте f как интегранд $$S$$. Использование f и y как параметры functionalDerivative.

syms y(x)
f = y*sin(y);
G = functionalDerivative(f,y)

G(x) = $$\sin \left(y\left(x\right)\right)+\cos \left(y\left(x\right)\right)\hspace{0.17em}y\left(x\right)$$

Найдите производную функции $$S[u,v]={\displaystyle {\int }_b^a(u^2(x)\frac{dv(x)}{dx}+v(x)\frac{d^{2}u(x)}{d{x}^2})dx}$$ относительно функций $$u$$ и $$v$$, где интегранд $$f[u(x),v(x),u^{\prime \prime }(x),v^{\prime }(x)]=u^2\frac{dv}{dx}+v\frac{d^{2}u}{d{x}^2}$$.

Объявить u(x) и v(x) как символические функции и задайте f как интегранд $$S$$.

syms u(x) v(x)
f = u^2*diff(v,x) + v*diff(u,x,x);

Задайте вектор символьных функций [u v] как второй входной параметр в functionalDerivative.

G = functionalDerivative(f,[u v])

G(x) = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }v\left(x\right)+2\hspace{0.17em}u\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }v\left(x\right)\\ \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x\right)-2\hspace{0.17em}u\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x\right)\end{array}\right)$$

functionalDerivative возвращает вектор символьных функций, содержащий производные функций integrand f относительно u и v, соответственно.

Найдите уравнение Эйлера-Лагранжа массовой m который соединяется с пружиной с коэффициентом упругости k.

Задайте кинетическую энергию T, потенциальная энергия V, и Лагрангиан L системы. Лагранжиан является различием между кинетической и потенциальной энергией.

syms m k x(t)
T = 1/2*m*diff(x,t)^2;
V = 1/2*k*x^2;
L = T - V

L(t) = 
$$\frac{m\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)\right)}^2}{2}-\frac{k\hspace{0.17em}{x\left(t\right)}^2}{2}$$

В механике Лагранжа функция действия системы равна интегралу Лагранжа с течением времени, или $$S[x]={\int }_{t_1}^{t_2}L[t,x(t),\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}(t)]dt$$. Уравнение Эйлера-Лагранжа описывает движение системы, для которой $$S[x(t)]$$ является стационарным.

Найдите уравнение Эйлера-Лагранжа, взяв функциональную производную интеграла L и установите его равным 0.

eqn = functionalDerivative(L,x) == 0

eqn(t) = 
$$-m\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }x\left(t\right)-k\hspace{0.17em}x\left(t\right)=0$$

eqn - дифференциальное уравнение, которое описывает масс-пружинные колебания.

Решите eqn использование dsolve. Примите массу m и пружинные постоянные k положительны. Установите начальные условия для амплитуды колебаний как $$x(0)=10$$ и начальная скорость массы как $$\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}(0)=0$$.

assume(m,'positive')
assume(k,'positive')
Dx(t) = diff(x(t),t);
xSol = dsolve(eqn,[x(0) == 10, Dx(0) == 0])

xSol = 
$$10\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{\sqrt{k}\hspace{0.17em}t}{\sqrt{m}}\right)$$

Ясные предположения для дальнейших вычислений.

assume([k m],'clear')

Задача Брахистохрона состоит в том, чтобы найти самый быстрый путь спуска частицы под силу тяжести без трения. Движение ограничено вертикальной плоскостью. Время движения тела по кривой $$y(x)$$ с точки $$a$$ кому $$b$$ под тяжестью $$g$$ дается

Найдите самый быстрый путь путем минимизации изменения в $$t$$ относительно небольших изменений в пути $$y$$. Условием минимума является $$\frac{\delta t}{\delta y}(x)=0$$.

Вычислите производную функции, чтобы получить дифференциальное уравнение, которое описывает задачу Брахистохрона. Использование simplify для упрощения уравнения к его ожидаемой форме.

syms g y(x)
assume(g,'positive')
f = sqrt((1 + diff(y)^2)/(2*g*y));
eqn = functionalDerivative(f,y) == 0;
eqn = simplify(eqn)

eqn(x) = 
$$2\hspace{0.17em}y\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }y\left(x\right)+{\left(\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }y\left(x\right)\right)}^2=-1$$

Это уравнение является стандартным дифференциальным уравнением задачи Брахистохрона. Чтобы найти решения дифференциального уравнения, используйте dsolve. Задайте 'Implicit' опция для true для возврата неявных решений, которые имеют форму $$F(y(x))=g(x)$$.

sols = dsolve(eqn,'Implicit',true)

sols = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}y\left(x\right)=C_2-x\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ y\left(x\right)=C_3+x\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ {\sigma }_1=C_4+x\\ {\sigma }_1=C_5-x\\ \frac{C_1+y\left(x\right)}{y\left(x\right)}=0\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=C_1\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\end{array}$$

Символьный решатель dsolve возвращает общие решения в комплексном пространстве. Symbolic Math Toolbox™ не принимает предположение, что символьная функция $$y(x)$$ реально.

В зависимости от граничных условий существует два решения задачи Брахистохрона в реальном пространстве. Одно из двух решений ниже описывает циклоидную кривую в реальном пространстве.

solCycloid1 = sols(3)

solCycloid1 = 
$$C_1\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}=C_4+x$$

solCycloid2 = sols(4)

solCycloid2 = 
$$C_1\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}=C_5-x$$

Другим решением в реальном пространстве является горизонтальная прямая линия, где $$y$$ является константой.

solStraight = simplify(sols(5))

solStraight = $$C_1+y\left(x\right)=0$$

Чтобы проиллюстрировать решение циклоида, рассмотрим пример с граничными условиями $$y(0)=5$$ и $$y(4)=1$$. В этом случае уравнение, которое может удовлетворить заданным граничным условиям, solCycloid2. Замените два граничных условия на solCycloid2.

eq1 = subs(solCycloid2,[x y(x)],[0 5]);
eq2 = subs(solCycloid2,[x y(x)],[4 1]);

Два уравнения, eq1 и eq2, имеют два неизвестных коэффициента, $$C_1$$ и $$C_5$$. Использование vpasolve чтобы найти числовые решения для коэффициентов. Замените эти решения на solCycloid2.

coeffs = vpasolve([eq1 eq2]);
eqCycloid = subs(solCycloid2,{'C1','C5'},{coeffs.C1,coeffs.C5})

eqCycloid = 
$$-6.4199192418473511250705556729108\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{\frac{6.4199192418473511250705556729108}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{6.4199192418473511250705556729108}{y\left(x\right)}-1}=-x-5.8078336827583088482183433150164$$

Неявное уравнение eqCycloid описывает циклоидное решение задачи Брахистохрона в терминах $$x$$ и $$y(x)$$.

Затем можно использовать fimplicit для построения графика eqCycloid. Начиная с fimplicit принимает только неявные символьные уравнения, которые содержат символьные переменные $$x$$ и $$y$$, преобразуйте символическую функцию $$y(x)$$ в символьную переменную $$y$$. Использование mapSymType преобразовать $$y(x)$$ кому $$x$$. Постройте график решения циклоида в граничных условиях $$0<x<4$$ и $$1<y<5$$.

funToVar = @(obj) sym('y');
eqPlot = mapSymType(eqCycloid,'symfun',funToVar);
fimplicit(eqPlot,[0 4 1 5])

Для функции $$u(x,y)$$ который описывает поверхность в трехмерном пространстве, площадь поверхности может быть определена функцией

где $$u_x$$ и $$u_y$$ являются частными производными $$u$$ по отношению к $$x$$ и $$y$$.

Найдите производную функции integrand f относительно u.

syms u(x,y)
f = sqrt(1 + diff(u,x)^2 + diff(u,y)^2);
G = functionalDerivative(f,u)

G(x, y) = 
$$\begin{array}{l}-\frac{{\left(\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\right)}^2\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)+{{\sigma }_1}^2\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)-2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }{\sigma }_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\hspace{0.17em}{\sigma }_1+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{{\left({{\sigma }_1}^2+{\left(\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\right)}^2+1\right)}^{3/2}}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\end{array}$$

Результатом является уравнение G который описывает минимальную поверхность поверхности 3-D, заданную как u(x,y). Решения этого уравнения описывают минимальные поверхности в трехмерном пространстве, такие как мыльные пузыри.