Гармонический анализ выходного сигнала передаточной функции

Этот пример извлекает решения закрытой формы для коэффициентов частот в выход сигнале. Выходной сигнал является результатом передачи входа через аналитическую нелинейную передаточную функцию.

Этот пример использует следующие возможности Symbolic Math Toolbox™:

Мотивация

Чтобы мотивировать решение, мы берем простой элемент из теории схем: идеальный диод (при операции прямого смещения). Ток, I, является выходом, который зависит экспоненциально от входов, V. Диоды нашли применение в создании устройств, таких как миксеры и усилители, где понимание гармонической структуры выхода может быть полезно для характеристики устройства и удовлетворения спецификаций проекта.

syms Is V Vo real;
I = Is*(exp(V/Vo) - 1)
I = IseV/Vo-1Is * (exp (V/Vo) - 1)

Если V является линейной комбинацией 2 сигналов на частотах LO и RF, нелинейная передаточная функция будет смешивать LO и RF, чтобы создать выход с содержимым в комбинациях гармонических частот: freqs = {LO, 2LO, RF, 2RF, LO-RF, LO-2RF,

Цель этого примера состоит в том, чтобы определить коэффициенты freqs в выходе.

Задайте входной сигнал

Входной сигнал является линейной комбинацией двух косинусоидных сигналов.

syms c1 c2 t LO RF real;
input = c1*cos(LO*t) + c2*cos(RF*t)
input = c1cos(LOt)+c2cos(RFt)c1 * cos (LO * t) + c2 * cos (RF * t)

Задайте пространство гармонических частотных комбинаций

Ниже, harmCombinations является комбинаторной комбинацией целочисленных кратных входных частот LO и RF. Мы ограничиваем пространство интереса, заданное 3 гармониками каждый в LO и RF направления.

n = 3;
harmCombinations = [kron((0:n)',ones(n*2+1,1)),repmat((-n:n)',n+1,1)];
freqs = harmCombinations*[LO;RF];

Первый n частоты являются только отрицательными гармоническими частотами и поэтому избыточны, принимая во внимание, что входной сигнал действителен.

freqs = freqs(n+1:end)
freqs = 

(0RF2RF3RFLO-3RFLO-2RFLO-RFLOLO+RFLO+2RFLO+3RF2LO-3RF2LO-2RF2LO-RF2LO2LO+RF2LO+2RF2LO+3RF3LO-3RF3LO-2RF3LO-RF3LO3LO+RF3LO+2RF3LO+3RF)[sym (0); РФ; 2 * РФ; 3 * РФ; LO - 3 * RF; LO - 2 * RF; LO - РФ; LO; LO + RF; LO + 2 * RF; LO + 3 * RF; 2 * LO - 3 * RF; 2 * LO - 2 * RF; 2 * LO - РФ; 2 * LO; 2 * LO + РФ; 2 * LO + 2 * RF; 2 * LO + 3 * RF; 3 * LO - 3 * RF; 3 * LO - 2 * RF; 3 * LO - РФ; 3 * LO; 3 * LO + РФ; 3 * LO + 2 * RF; 3 * LO + 3 * RF]

Разложение Тейлора

Чтобы охватить интересующий спектр частот, серия Тейлора порядка четырех для I(V) является достаточным.

s = taylor(I, V, 'Order', 4)
s = 

IsV22Vo2+IsV36Vo3+IsVVo(Is * V ^ 2 )/( 2 * Vo ^ 2) + (Is * V ^ 3 )/( 6 * Vo ^ 3) + (Is * V )/Vo

Используйте комбинацию входных сигналов LO и RF частоты и экспресс- f с точки зрения cos(LO*t) и cos(RF*t).

f0 = subs(s, V, input);
f = expand(f0)
f = 

Isc12σ22Vo2+Isc13cos(LOt)36Vo3+Isc22σ12Vo2+Isc23cos(RFt)36Vo3+Isc1cos(LOt)Vo+Isc2cos(RFt)Vo+Isc1c2cos(LOt)cos(RFt)Vo2+Isc1c22cos(LOt)σ12Vo3+Isc12c2σ2cos(RFt)2Vo3where  σ1=cos(RFt)2  σ2=cos(LOt)2(Is * c1 ^ 2 * cos (LO * t) ^ 2 )/( 2 * Vo ^ 2) + (Is * c1 ^ 3 * cos (LO * t) ^ 3 )/( 6 * Vo ^ 3) + (Is * c2 ^ 2 * cos (RF * t) ^ 2 )/( 2 * Vo ^ 2) +

Переписать f в терминах единичных степеней косинусов.

f = combine(f, 'sincos')
f = 

Isc124Vo2+Isc224Vo2+Isc1cos(LOt)Vo+Isc2cos(RFt)Vo+Isc12cos(2LOt)4Vo2+Isc13cos(LOt)8Vo3+Isc13cos(3LOt)24Vo3+Isc22cos(2RFt)4Vo2+Isc23cos(RFt)8Vo3+Isc23cos(3RFt)24Vo3+Isc1c22cos(LOt)4Vo3+Isc12c2cos(RFt)4Vo3+Isc1c2cos(LOt+RFt)2Vo2+Isc1c2cos(LOt-RFt)2Vo2+Isc1c22cos(LOt-2RFt)8Vo3+Isc1c22cos(LOt+2RFt)8Vo3+Isc12c2cos(2LOt+RFt)8Vo3+Isc12c2cos(2LOt-RFt)8Vo3 (Is*c1^2) / (4*Vo^2) + (Is*c2^2) / (4*Vo^2) + (Is*c1*cos (LO*t))/Vo + (Is*c2*cos (RF*t))/Vo + (Is*c1^2*cos (2*LO*t)) / (4*Vo^2) + (Is*c1^3*cos (LO*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1^3*cos (3*LO*t)) / (24*Vo^3) + (Is*c2^2*cos (2*RF*t)) / (4*Vo^2) + (Is*c2^3*cos (RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c2^3*cos (3*RF*t)) / (24*Vo^3) + (Is*c1*c2^2*cos (LO*t)) / (4*Vo^3) + (Is*c1^2*c2*cos (RF*t)) / (4*Vo^3) + (Is*c1*c2*cos (LO*t + RF*t)) / (2*Vo^2) + (Is*c1*c2*cos (LO*t - RF*t)) / (2*Vo^2) + (Is*c1*c2^2*cos (LO*t - 2*RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1*c2^2*cos (LO*t + 2*RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1^2*c2*cos (2*LO*t + RF*t)) / (8*Vo^3) + (Is*c1^2*c2*cos (2*LO*t - RF*t)) / (8*Vo^3)

Извлечение и отображение коэффициентов

Получите непостоянные, т.е. не-DC гармонические частотные условия вида cos(freq*t).

cosFreqs = cos(expand(freqs*t));
terms = collect(setdiff(cosFreqs', sym(1)));

Извлеките коэффициенты для всех членов гармонической частоты, включая DC.

newvars = sym('x', [1,numel(terms)]);
[cx, newvarsx] = coeffs(subs(f,terms,newvars), newvars);
tx = sym(zeros(1,numel(cx)));
for k=1:numel(newvarsx)
    if newvarsx(k) ~= 1
        tx(k) = terms(newvars == newvarsx(k));
    else
        tx(k) = newvarsx(k);
    end
end
cx = simplify(cx);

Отобразите коэффициенты с помощью таблицы, T. Использование cosFreqs как идентификатор строки.

cosFreqs = arrayfun(@char,cosFreqs,'UniformOutput',false);
Frequencies = arrayfun(@char,freqs,'UniformOutput',false);
Coefficients = num2cell(zeros(size(freqs)));
T = table(Frequencies,Coefficients,'RowNames',cosFreqs);

Присвоение cx к соответствующим строкам T соответствующий косинусоидным терминам tx.

nonzeroCosFreqs = arrayfun(@char,tx,'UniformOutput',false).';
T(nonzeroCosFreqs,'Coefficients') = arrayfun(@char,cx,'UniformOutput',false).';

Теперь удалите имена строк, так как они избыточны.

T.Properties.RowNames = {};

Заметьте, что выражения для членов симметричны в LO и RF.

T
T=25×2 table
      Frequencies                      Coefficients                 
    _______________    _____________________________________________

    {'0'          }    {'(Is*(c1^2 + c2^2))/(4*Vo^2)'              }
    {'RF'         }    {'(Is*c2*(8*Vo^2 + 2*c1^2 + c2^2))/(8*Vo^3)'}
    {'2*RF'       }    {'(Is*c2^2)/(4*Vo^2)'                       }
    {'3*RF'       }    {'(Is*c2^3)/(24*Vo^3)'                      }
    {'LO - 3*RF'  }    {[                                        0]}
    {'LO - 2*RF'  }    {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'LO - RF'    }    {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      }
    {'LO'         }    {'(Is*c1*(8*Vo^2 + c1^2 + 2*c2^2))/(8*Vo^3)'}
    {'LO + RF'    }    {'(Is*c1*c2)/(2*Vo^2)'                      }
    {'LO + 2*RF'  }    {'(Is*c1*c2^2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'LO + 3*RF'  }    {[                                        0]}
    {'2*LO - 3*RF'}    {[                                        0]}
    {'2*LO - 2*RF'}    {[                                        0]}
    {'2*LO - RF'  }    {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    }
    {'2*LO'       }    {'(Is*c1^2)/(4*Vo^2)'                       }
    {'2*LO + RF'  }    {'(Is*c1^2*c2)/(8*Vo^3)'                    }
      ⋮

Проверьте коэффициенты

Как показано ниже, форма выходного сигнала восстанавливается из коэффициентов и имеет точное соответствие с выходом.

simplify(f0 - (dot(tx,cx)))
ans = 0sym (0)

Построение нелинейной передачи

Ниже показана конкретная нелинейная передаточная функция, проанализированная выше, во временных и частотных диапазонах для определенных значений частот и коэффициентов напряжения. Сначала извлеките данные.

sample_values = struct('c1',0.4,'c2',1,'LO',800,'RF',13600,'Vo',1,'Is',1);
sample_input = subs(input,sample_values)
sample_input = 

2cos(800t)5+cos(13600t)(2 * cos (800 * t) )/5 + cos (13600 * t)

sample_output = subs(f,sample_values)
sample_output = 

127cos(800t)250+cos(1600t)25+cos(2400t)375+cos(12000t)50+cos(12800t)5+233cos(13600t)200+cos(14400t)5+cos(15200t)50+cos(26400t)20+cos(27200t)4+cos(28000t)20+cos(40800t)24+29100(127 * cos (800 * t) )/250 + cos (1600 * t )/25 + cos (2400 * t )/375 + cos (12000 * t )/50 + cos (12800 * t )/5 + (233 * cos (13600 * t) )/200 + cos (14400 * t )/5 + cos (15200)

sample_freqs = zeros(size(tx));
for k=1:numel(tx)
    cosTerm = subs(tx(k),sample_values);
    freq = simplify(acos(cosTerm),'IgnoreAnalyticConstraints',true)/t;
    sample_freqs(k) = double(freq);
end
sample_heights = double(subs(cx,sample_values));

Затем используйте fplot и stem для построения графика функций и их гармонических частот.

subplot(2,2,1);
fplot(sample_input,[0,0.01])
title Input
subplot(2,2,3);
stem([sample_values.LO, sample_values.RF],[sample_values.c1,sample_values.c2]);
title 'Input Frequencies'

subplot(2,2,2);
fplot(sample_output,[0,0.01])
title Output
subplot(2,2,4);
stem(sample_freqs,sample_heights)
title 'Output Frequencies'

Figure contains 4 axes. Axes 1 with title Input contains an object of type functionline. Axes 2 with title Input Frequencies contains an object of type stem. Axes 3 with title Output contains an object of type functionline. Axes 4 with title Output Frequencies contains an object of type stem.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте