Серия Тейлора
T = taylor(f,var)f с расширением ряда Тейлора f до пятого порядка в точке var = 0. Если вы не задаете var, затем taylor использует переменную по умолчанию, определяемую как symvar(f,1).
T = taylor(___,Name,Value)Name,Value аргументы в виде пар. Можно задать Name,Value после входных параметров в любом из предыдущих синтаксисов.
Найдите линейные расширения Маклаурина экспоненциальных, синусоидальных и косинусоидных функций до пятого порядка.
syms x T1 = taylor(exp(x)) T2 = taylor(sin(x)) T3 = taylor(cos(x))
T1 = x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1 T2 = x^5/120 - x^3/6 + x T3 = x^4/24 - x^2/2 + 1
Вы можете использовать sympref функция для изменения выходного порядка символьных полиномов. Повторно отобразите полиномы в порядке возрастания.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
T1
T2
T3T1 = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + x^5/120 T2 = x - x^3/6 + x^5/120 T3 = 1 - x^2/2 + x^4/24
Формат отображения, который вы задаете используя sympref сохраняется через текущий и будущий MATLAB® сеансов. Восстановите значение по умолчанию путем определения 'default' опция.
sympref('default');Найдите расширения ряда Тейлора в x = 1 для этих функций. Точка расширения по умолчанию 0. Чтобы задать другую точку расширения, используйте ExpansionPoint:
syms x T = taylor(log(x), x, 'ExpansionPoint', 1)
T = x - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + (x - 1)^5/5 - 1
Кроме того, укажите точку расширения как третий аргумент taylor:
T = taylor(acot(x), x, 1)
T = pi/4 - x/2 + (x - 1)^2/4 - (x - 1)^3/12 + (x - 1)^5/40 + 1/2
Найдите расширение серии Маклаурина для f = sin(x)/x. Порядок усечения по умолчанию 6. Последовательное приближение Тейлора этого выражения не имеет термина пятой степени, так что taylor аппроксимирует это выражение полиномом четвертой степени:
syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f, x);Использование Order для управления порядком усечения. Для примера аппроксимируйте одно и то же выражение до порядков 8 и 10:
T8 = taylor(f, x, 'Order', 8); T10 = taylor(f, x, 'Order', 10);
Постройте график исходного выражения f и его приближения T6, T8, и T10. Обратите внимание, как точность приближения зависит от порядка усечения.
fplot([T6 T8 T10 f]) xlim([-4 4]) grid on legend('approximation of sin(x)/x up to O(x^6)',... 'approximation of sin(x)/x up to O(x^8)',... 'approximation of sin(x)/x up to O(x^{10})',... 'sin(x)/x','Location','Best') title('Taylor Series Expansion')
Найдите расширение ряда Тейлора этого выражения. По умолчанию taylor использует абсолютный порядок, который является порядком усечения вычисляемого ряда.
T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5)
T = -x^3/3
Найдите расширение ряда Тейлора с относительным порядком усечения при помощи OrderMode. Для некоторых выражений относительный порядок усечения обеспечивает более точные приближения.
T = taylor(1/(exp(x)) - exp(x) + 2*x, x, 'Order', 5, 'OrderMode', 'relative')
T = - x^7/2520 - x^5/60 - x^3/3
Найдите последовательное расширение Маклаурина этого многомерного выражения. Если вы не задаете вектор переменных, taylor лечит f как функцию одной независимой переменной.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f)
T = x^5/120 - x^3/6 + x + cos(y) + exp(z)
Найдите многомерное расширение Маклаурина путем определения вектора переменных.
syms x y z f = sin(x) + cos(y) + exp(z); T = taylor(f, [x, y, z])
T = x^5/120 - x^3/6 + x + y^4/24 - y^2/2 + z^5/120 + z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 2
Вы можете использовать sympref функция для изменения выходного порядка символьного полинома. Повторно отобразите полином в порядке возрастания.
sympref('PolynomialDisplayStyle','ascend');
TT = 2 + z + z^2/2 + z^3/6 + z^4/24 + z^5/120 - y^2/2 + y^4/24 + x - x^3/6 + x^5/120
Формат отображения, который вы задаете используя sympref выполняется через текущие и будущие сеансы работы с MATLAB. Восстановите значение по умолчанию путем определения 'default' опция.
sympref('default');Найдите многомерное разложение Тейлора путем определения как вектора переменных, так и вектора значений, определяющих точку расширения:
syms x y f = y*exp(x - 1) - x*log(y); T = taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
T = x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2
Если вы задаете точку расширения как скаляр a, taylor преобразует этот скаляр в вектор той же длины, что и вектор переменных. Все элементы вектора расширения равны a:
T = taylor(f, [x, y], 1, 'Order', 3)
T = x + (x - 1)^2/2 + (y - 1)^2/2
Если вы используете оба третьих аргумента a и ExpansionPoint чтобы задать точку расширения, значение, заданное через ExpansionPoint преобладает.
Если var является вектором, затем точкой расширения a должен быть скаляром или вектором той же длины, что и var. Если var является вектором и a является скаляром, тогда a расширен в вектор той же длины, что и var со всеми элементами, равными a.
Если точка расширения является бесконечностью или отрицательной бесконечностью, то taylor вычисляет расширение ряда Лорана, которое представляет собой степень ряд в 1/var.
Вы можете использовать sympref функция для изменения выходного порядка символьных полиномов.