Распознавание и избежание ошибок округления

При численном приближении значения помните, что результаты с плавающей точкой могут быть чувствительны к используемой точности. Кроме того, результаты с плавающей точкой подвержены ошибкам округления. Следующие подходы могут помочь вам распознать и избежать неправильных результатов.

Используйте символьные расчеты, когда это возможно

Выполнение расчетов символически рекомендуется, потому что точные символьные расчеты не подвержены ошибкам округления. Для примера стандартные математические константы имеют свои собственные символьные представления в Symbolic Math Toolbox™:

pi
sym(pi)
ans =
    3.1416

ans =
pi

Избегайте ненужного использования числовых приближений. A числа с плавающей запятой аппроксимирует константу; это не сама константа. Используя это приближение, можно получить неправильные результаты. Для примера, heaviside специальная функция возвращает различные результаты для синуса sym(pi) и синус числового приближения pi:

heaviside(sin(sym(pi)))
heaviside(sin(pi))
ans =
1/2

ans =
     1

Выполняйте вычисления с повышенной точностью

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана (z) имеют одинаковую действительную часть (z) = 1/2. Чтобы найти возможные нули функции Zeta, постройте график ее абсолютного значения |ζ (1/2 + iy) |. Следующий график показывает первые три нетривиальных корня функции Zeta |ζ (1/2 + iy) |.

syms y
fplot(abs(zeta(1/2 + i*y)), [0 30])

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionline.

Используйте численный решатель vpasolve для аппроксимации первых трех нулей этой функции Зеты:

vpasolve(zeta(1/2 + i*y), y, 15)
vpasolve(zeta(1/2 + i*y), y, 20)
vpasolve(zeta(1/2 + i*y), y, 25)
ans =
14.134725141734693790457251983562
 
ans =
21.022039638771554992628479593897
 
ans =
25.010857580145688763213790992563

Теперь рассмотрим ту же функцию, но немного увеличиваем вещественную часть, ζ(10000000012000000000+iy). Согласно гипотезе Римана, эта функция не имеет нуля ни для каких действительных y значения. Если вы используете vpasolve с помощью 10 значащих десятичных цифр решатель находит следующий (несуществующий) нуль функции Zeta:

old = digits;
digits(10)
vpasolve(zeta(1000000001/2000000000 + i*y), y, 15)
ans =
14.13472514

Увеличение количества цифр показывает, что результат неправильен. Функция Zeta ζ(10000000012000000000+iy) не имеет нуля для какого-либо действительного значения 14 < y < 15:

digits(15)
vpasolve(zeta(1000000001/2000000000 + i*y), y, 15)
digits(old)
ans =
14.1347251417347 + 0.000000000499989207306345i

Для дальнейших расчетов восстановите количество цифр по умолчанию:

digits(old)

Сравнение символьных и числовых результатов

Функции Бесселя с полуцелочисленными индексами возвращают точные символьные выражения. Аппроксимация этих выражений числами с плавающей запятой может привести к очень нестабильным результатам. Для примера точное символическое выражение для следующей функции Бесселя:

B = besselj(53/2, sym(pi))
B =
(351*2^(1/2)*(119409675/pi^4 - 20300/pi^2 - 315241542000/pi^6...
 + 445475704038750/pi^8 - 366812794263762000/pi^10 +...
 182947881139051297500/pi^12 - 55720697512636766610000/pi^14...
 + 10174148683695239020903125/pi^16 - 1060253389142977540073062500/pi^18...
 + 57306695683177936040949028125/pi^20 - 1331871030107060331702688875000/pi^22...
 + 8490677816932509614604641578125/pi^24 + 1))/pi^2

Использовать vpa чтобы аппроксимировать это выражение с 10-значной точностью:

vpa(B, 10)
ans =
-2854.225191

Теперь вызовите функцию Бесселя с параметром с плавающей точкой. Значительное различие между этими двумя приближениями указывает, что один или оба результата неправильны:

besselj(53/2, pi)
ans =
   6.9001e-23

Увеличьте числовую рабочую точность, чтобы получить более точное приближение для B:

vpa(B, 50)
ans =
0.000000000000000000000069001456069172842068862232841396473796597233761161

Постройте график функции или выражения

Графическое изображение результатов может помочь вам распознать неправильные приближения. Для примера числовое приближение следующей функции Бесселя возвратов:

B = besselj(53/2, sym(pi));
vpa(B, 10)
ans =
-2854.225191

Постройте график функции Бесселя для значений x вокруг 53/2. График функций показывает, что приближение неправильное:

syms x
fplot(besselj(x, sym(pi)), [26 27])

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionline.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте