Выберите числовую или символьную арифметику

Symbolic Math Toolbox™ работает с числами, используя числовую или символьную арифметику. В числовой арифметике вы представляете числа в формате с плавающей точностью с использованием либо двойной точности, либо переменной точности. В символьной арифметике вы представляете числа в их точной форме. В этом разделе сравнивается двойная точность, переменная точность и символьная арифметика.

Арифметика двойной точности

Числовые расчеты в MATLAB^® по умолчанию используйте арифметику двойной точности. Для примера вычислите выражения 10001/1001, $\sqrt{2}$ . Результаты преобразуются в значения двойной точности.

x = 10001/1001
y = pi
z = sqrt(2)

Для получения дополнительной информации об арифметике двойной точности см. Раздел Чисел с плавающей запятой». Эта арифметика рекомендуется, когда у вас нет Symbolic Math Toolbox или вы используете функции, которые не принимают символьный вход. В противном случае рекомендуется точная символьная арифметика и арифметика переменной точности. Чтобы преобразовать символическое значение в двойную точность, используйте double функция.

Арифметика переменной точности

Арифметика переменной точности с использованием vpa является рекомендуемым подходом для числовых вычислений в Symbolic Math Toolbox. Можно задать количество значащих цифр при выполнении вычислений с помощью арифметики переменной точности.

Для примера используйте vpa чтобы вычислить 10001/1001 дроби. По умолчанию vpa оценивает входы до 32 значащих цифр. Аппроксимируйте 10001/1001 дроби как минимум до 32 значащих цифр.

vpa(10001/1001)

ans =
9.991008991008991008991008991009

Аппроксимируйте дробь как минимум до 8 значащих цифр. Измените количество значащих цифр при помощи digits функция.

digits(8);
vpa(10001/1001)

ans =
9.991009

В арифметике переменной точности можно увеличить количество значащих цифр для большей точности. Также можно уменьшить количество значащих цифр для более быстрых расчетов и уменьшения использования памяти.

Символьная арифметика

Symbolic Math Toolbox предоставляет sym и syms функции для выполнения точных символьных расчетов. В символьной арифметике можно выполнить расчеты с участием чисел и переменных в их точной форме, таких как x/2, 2^(1/2), или pi. Следующие три примера показывают несколько вычислений, которые выполняются в символьной арифметике.

Экспресс-иррациональные числа

Использовать sym для создания символьных чисел. Выразите иррациональные числа $\sqrt{2}$ в символической форме.

x = sym(pi)
y = sqrt(sym(2))

x =
pi
 
y =
2^(1/2)

Выполните вычисления с большими целыми числами

Когда вы объявляете число, MATLAB автоматически преобразует число в двойную точность. Для примера объявите целое число 80435758145817515 как входной параметр sym. Число теряет точность, так как оно больше, чем самое большое последовательное целое число flintmax в двойной точности, которая 2^53.

Z = 80435758145817515
Zinaccurate = sym(80435758145817515)

Z =
   8.0436e+16

Zinaccurate =
80435758145817520

Чтобы точно объявить большое целое число в качестве символьного числа, используйте вектор символов с одинарными кавычками в качестве входного параметра sym.

Zaccurate = sym('80435758145817515')

Zaccurate =
80435758145817515

Затем можно выполнить вычисления с большими целыми числами, точно используя символьную арифметику. Например, вычислите сумму кубов трех больших целых чисел.

Z1 = sym('80435758145817515')
Z2 = sym('12602123297335631')
Z3 = sym('-80538738812075974')
Zsum = Z1^3 + Z2^3 + Z3^3

Z1 =
80435758145817515
 
Z2 =
12602123297335631
 
Z3 =
-80538738812075974
 
Zsum =
42

Решение математических уравнений

С помощью символьной арифметики можно решить математическое уравнение. Для примера решите квадратичное уравнение ax² + bx + c = 0. Использовать syms чтобы объявить x переменной и коэффициенты a, b и c в квадратичном уравнении.

syms a b c x
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;

Найти решения используя solve и возвращает их как символические выражения.

sols = solve(eqn,x)

sols =
 -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
 -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

Использовать subs для замены символьных значений коэффициентов. Установите a = 1, b = 2 и c = 3. Верните решения квадратичного уравнения в виде символьных чисел.

solsSym = subs(sols,[a b c],[1 2 3])

solsSym = 
 - (8^(1/2)*1i)/2 - 1
   (8^(1/2)*1i)/2 - 1

Затем можно преобразовать символические решения в формат с плавающей точкой с двойной точностью или переменной точностью.

digits(32);
solsDouble = double(solsSym)
solsVpa = vpa(solsSym)

solsDouble =
  -1.0000 - 1.4142i
  -1.0000 + 1.4142i

solsVpa = 
 - 1.0 - 1.4142135623730950488016887242097i
 - 1.0 + 1.4142135623730950488016887242097i

Сравнения числовой и символьной арифметики

В приведенной ниже таблице сравнивается двойная точность, переменная точность и символьная арифметика.

	Двойная точность	Переменная точность	Символический
Пример 1: Оценка sin (	a = pi sin(pi) a = 3.1416 ans = 1.2246e-16	b = vpa(pi) sin(b) b = 3.1415926535897932384626433832795 ans = -3.2101083013100396069547145883568e-40	c = sym(pi) sin(c) c = pi ans = 0
Пример 2: Оценить 1 - 3 * (4/3 - 1)	a = 4/3 1 - 3*(a - 1) a = 1.3333 ans = 2.2204e-16	digits(16); b = vpa(4/3) 1 - 3*(b - 1) b = 1.333333333333333 ans = 3.308722450212111e-24	c = sym(4)/3 1 - 3*(c - 1) c = 4/3 ans = 0
Используемые функции	`double`	`vpa` `digits`	`sym`
Тип данных	`double`	`sym`	`sym`
Округления	Да, ответ имеет 16 цифр точности.	Да, количество цифр зависит от используемой точности.	Нет, результаты точные.
Скорость	Быстрее	Быстрее, в зависимости от используемой точности	Самый медленный
Использование памяти	Наименьшее	Переменная, в зависимости от используемой точности	Самый большой

Документация