Решающая система алгебраических уравнений

В этой теме показано, как решить систему уравнений символически, используя Symbolic Math Toolbox™. Этот тулбокс предлагает как числовые, так и символьные решатели уравнений. Для сравнения числовых и символьных решателей смотрите Select Numeric или Symbolic Solver.

Обработайте выход решения
Решение линейной системы уравнений
Верните полное решение системы уравнений
Решение системы уравнений в условиях
Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращаемыми решением
Преобразуйте символьные результаты в числовые значения
Упрощение сложных результатов и повышение эффективности

Обработайте выход решения

Предположим, у вас есть система

$\begin{matrix} x^{2} y^{2} = 0 \\ x - \frac{y}{2} = α, \end{matrix}$

и вы хотите решить для x и y. Во-первых, создайте необходимые символические объекты.

syms x y a

Существует несколько способов решить выходные параметры solve. Один из способов - использовать вызов с двумя выходами.

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 0, x-y/2 == a)

Вызов возвращает следующее.

solx =
 0
 a
soly =
 -2*a
    0

Измените первое уравнение таким образом x²y² = 1. Новая система имеет больше решений.

[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 1, x-y/2 == a)

Получают четыре различных решения.

solx =
 a/2 - (a^2 - 2)^(1/2)/2
 a/2 - (a^2 + 2)^(1/2)/2
 a/2 + (a^2 - 2)^(1/2)/2
 a/2 + (a^2 + 2)^(1/2)/2
soly =
 - a - (a^2 - 2)^(1/2)
 - a - (a^2 + 2)^(1/2)
   (a^2 - 2)^(1/2) - a
   (a^2 + 2)^(1/2) - a

Поскольку вы не задали зависимые переменные, solve использует symvar для определения переменных.

Этот способ назначения выхода из solve довольно успешен для «малых» систем. Например, если у вас есть система уравнений 10 на 10, ввод следующего является как неудобным, так и длительным.

[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10] = solve(...)

Чтобы обойти эту сложность, solve может вернуть структуру, поля которой являются решениями. Для примера решите систему уравнений u^2 - v^2 = a^2, u + v = 1, a^2 - 2*a = 3.

syms u v a
S = solve(u^2 - v^2 == a^2, u + v == 1, a^2 - 2*a == 3)

Решатель возвращает свои результаты, заключенные в эту структуру.

S = 
  struct with fields:

    a: [2×1 sym]
    u: [2×1 sym]
    v: [2×1 sym]

Решения для a проживать в "a-поля "S.

S.a

ans =
 -1
  3

Аналогичные комментарии применяются к решениям для u и v. Структура S теперь можно манипулировать полем и индексом для доступа к определенному фрагменту решения. Для примера, чтобы изучить второе решение, можно использовать следующие операторов для извлечения второго компонента каждого поля.

s2 = [S.a(2), S.u(2), S.v(2)]

s2 =
[  3,  5, -4]

Следующий оператор создает матрицу решения M строки которого составляют отдельные решения системы.

M = [S.a, S.u, S.v]

M = 
[ -1, 1,  0]
[  3, 5, -4]

Очистить solx и soly для дальнейшего использования.

clear solx soly

Решение линейной системы уравнений

Линейные системы уравнений также могут быть решены с помощью матричного деления. Для примера решите эту систему.

clear u v x y
syms u v x y
eqns = [x + 2*y == u, 4*x + 5*y == v];
S = solve(eqns);
sol = [S.x; S.y]

[A,b] = equationsToMatrix(eqns,x,y);
z = A\b

sol =
 (2*v)/3 - (5*u)/3
     (4*u)/3 - v/3

z =
 (2*v)/3 - (5*u)/3
     (4*u)/3 - v/3

Таким образом, sol и z получите то же решение, хотя результаты присвоены другим переменным.

Верните полное решение системы уравнений

solve не возвращает автоматически все решения уравнения. Чтобы вернуть все решения вместе с параметрами в решении и условиями в решении, установите ReturnConditions опция для true.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

$\begin{array}{l} \sin (x) + \cos (y) = \frac{4}{5} \\ \sin (x) \cos (y) = \frac{1}{10} \end{array}$

Визуализируйте систему уравнений используя fimplicit. Чтобы задать значения осей X и Y в терминах pi, получите маркеры осей используя axes в a. Создайте символьный массив S значений -2*pi на 2*pi с интервалами pi/2. Чтобы установить такты равной S, используйте XTick и YTick свойства a. Чтобы задать метки для осей X и Y, преобразуйте S в векторы символов. Использовать arrayfun подавать char каждому элементу S для возврата T. Установите XTickLabel и YTickLabel свойства a на T.

syms x y
eqn1 = sin(x)+cos(y) == 4/5;
eqn2 = sin(x)*cos(y) == 1/10;
a = axes;
fimplicit(eqn1,[-2*pi 2*pi],'b');
hold on
grid on
fimplicit(eqn2,[-2*pi 2*pi],'m');
L = sym(-2*pi:pi/2:2*pi);
a.XTick = double(L);
a.YTick = double(L);
M = arrayfun(@char, L, 'UniformOutput', false);
a.XTickLabel = M;
a.YTickLabel = M;
title('Plot of System of Equations')
legend('sin(x)+cos(y) == 4/5','sin(x)*cos(y) == 1/10',...
    'Location','best','AutoUpdate','off')

Figure contains an axes. The axes with title Plot of System of Equations contains 2 objects of type implicitfunctionline. These objects represent sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10.

Решения лежат на пересечении двух графиков. Это показывает, что система имеет повторные, периодические решения. Чтобы решить эту систему уравнений для полного набора решений, используйте solve и установите ReturnConditions опция для true.

S = solve(eqn1, eqn2, 'ReturnConditions', true)

S = 
  struct with fields:

             x: [2×1 sym]
             y: [2×1 sym]
    parameters: [1×2 sym]
    conditions: [2×1 sym]

solve возвращает структуру S с полями S.x для решения x, S.y для решения y, S.parameters для параметров в решении и S.conditions для условий решения. Элементы того же индекса в S.x, S.y, и S.conditions сформировать решение. Таким образом, S.x(1), S.y(1), и S.conditions(1) сформировать одно решение системы уравнений. Параметры в S.parameters может появиться во всех решениях.

Индексируйте в S для возврата решений, параметров и условий.

S.x
S.y
S.parameters
S.conditions

ans =
 z1
 z1
ans =
 z
 z
ans =
[ z, z1]
ans =
 (in((z - acos(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer') |...
 in((z + acos(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer')) &...
 (in(-(pi - z1 + asin(6^(1/2)/10 - 2/5))/(2*pi), 'integer') |...
 in((z1 + asin(6^(1/2)/10 - 2/5))/(2*pi), 'integer'))
  (in((z1 - asin(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer') |...
 in((z1 - pi + asin(6^(1/2)/10 + 2/5))/(2*pi), 'integer')) &...
 (in((z - acos(2/5 - 6^(1/2)/10))/(2*pi), 'integer') |...
 in((z + acos(2/5 - 6^(1/2)/10))/(2*pi), 'integer'))

Решение системы уравнений в условиях

Чтобы решить систему уравнений в условиях, задайте условия во входе к solve.

Решите систему уравнений, рассмотренную выше для x и y в интервале -2*pi на 2*pi. Наложите решения на график используя scatter.

Srange = solve(eqn1, eqn2, -2*pi<x, x<2*pi, -2*pi<y, y<2*pi, 'ReturnConditions', true);
scatter(Srange.x, Srange.y,'k')

Figure contains an axes. The axes with title Plot of System of Equations contains 3 objects of type implicitfunctionline, scatter. These objects represent sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10.

Работа с решениями, параметрами и условиями, возвращаемыми решением

Можно использовать решения, параметры и условия, возвращенные solve найти решения в пределах интервала или при дополнительных условиях. Этот раздел имеет ту же цель, что и предыдущий раздел, решить систему уравнений в пределах области значений поиска, но с другим подходом. Вместо того, чтобы размещать условия непосредственно, он показывает, как работать с параметрами и условиями, возвращаемыми solve.

Для полного решения S системы уравнений найти значения x и y в интервале -2*pi на 2*pi путем решения решений S.x и S.y для параметров S.parameters в пределах этого интервала при условии S.conditions.

Перед решением для x и y в интервале примите условия в S.conditions использование assume так, что возвращенные решения удовлетворяют условию. Примите условия для первого решения.

assume(S.conditions(1))

Найдите параметры в S.x и S.y.

paramx = intersect(symvar(S.x), S.parameters)
paramy = intersect(symvar(S.y), S.parameters)

paramx =
z1
paramy =
z

Решите первое решение x для параметра paramx.

solparamx(1,:) = solve(S.x(1) > -2*pi, S.x(1) < 2*pi, paramx)

solparamx =
[ pi + asin(6^(1/2)/10 - 2/5), asin(6^(1/2)/10 - 2/5) - pi,
 -asin(6^(1/2)/10 - 2/5), - 2*pi - asin(6^(1/2)/10 - 2/5)]

Точно так же решите первое решение y для paramy.

solparamy(1,:) = solve(S.y(1) > -2*pi, S.y(1) < 2*pi, paramy)

solparamy =
[ acos(6^(1/2)/10 + 2/5), acos(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi,
 -acos(6^(1/2)/10 + 2/5), 2*pi - acos(6^(1/2)/10 + 2/5)]

Очистить допущения, заданные как S.conditions(1) использование assume. Звонить asumptions чтобы проверить, что допущения сняты.

assume(S.parameters,'clear')
assumptions

ans =
Empty sym: 1-by-0

Примите условия для второго решения.

assume(S.conditions(2))

Решите второе решение, чтобы x и y для параметров paramx и paramy.

solparamx(2,:) = solve(S.x(2) > -2*pi, S.x(2) < 2*pi, paramx)
solparamy(2,:) = solve(S.y(2) > -2*pi, S.y(2) < 2*pi, paramy)

solparamx =
[ pi + asin(6^(1/2)/10 - 2/5), asin(6^(1/2)/10 - 2/5) - pi,
  -asin(6^(1/2)/10 - 2/5), - 2*pi - asin(6^(1/2)/10 - 2/5)]
[ asin(6^(1/2)/10 + 2/5), pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5),
  asin(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi, - pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5)]
solparamy =
[ acos(6^(1/2)/10 + 2/5), acos(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi,
  -acos(6^(1/2)/10 + 2/5), 2*pi - acos(6^(1/2)/10 + 2/5)]
[ acos(2/5 - 6^(1/2)/10), acos(2/5 - 6^(1/2)/10) - 2*pi,
  -acos(2/5 - 6^(1/2)/10), 2*pi - acos(2/5 - 6^(1/2)/10)]

Первые строки paramx и paramy сформировать первое решение системы уравнений, а вторые строки сформировать второе решение.

Чтобы найти значения x и y для этих значений paramx и paramy, использование subs для замены paramx и paramy в S.x и S.y.

solx(1,:) = subs(S.x(1), paramx, solparamx(1,:));
solx(2,:) = subs(S.x(2), paramx, solparamx(2,:))
soly(1,:) = subs(S.y(1), paramy, solparamy(1,:));
soly(2,:) = subs(S.y(2), paramy, solparamy(2,:))

solx =
[ pi + asin(6^(1/2)/10 - 2/5), asin(6^(1/2)/10 - 2/5) - pi,
  -asin(6^(1/2)/10 - 2/5), - 2*pi - asin(6^(1/2)/10 - 2/5)]
[ asin(6^(1/2)/10 + 2/5), pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5),
  asin(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi,   - pi - asin(6^(1/2)/10 + 2/5)]
soly =
[ acos(6^(1/2)/10 + 2/5), acos(6^(1/2)/10 + 2/5) - 2*pi,
 -acos(6^(1/2)/10 + 2/5), 2*pi - acos(6^(1/2)/10 + 2/5)]
[ acos(2/5 - 6^(1/2)/10), acos(2/5 - 6^(1/2)/10) - 2*pi,
 -acos(2/5 - 6^(1/2)/10), 2*pi - acos(2/5 - 6^(1/2)/10)]

Обратите внимание, что solx и soly являются ли два набора решений для x и к y. Полными наборами решений системы уравнений являются два наборов точек, образованных всеми возможными комбинациями значений в solx и soly.

Постройте график этих двух наборов точек с помощью scatter. Наложите их на график уравнений. Как и ожидалось, решения появляются на пересечении графиков двух уравнений.

for i = 1:length(solx(1,:))
    for j = 1:length(soly(1,:))
        scatter(solx(1,i), soly(1,j), 'k')
        scatter(solx(2,i), soly(2,j), 'k')
    end
end

Figure contains an axes. The axes with title Plot of System of Equations contains 35 objects of type implicitfunctionline, scatter. These objects represent sin(x)+cos(y) == 4/5, sin(x)*cos(y) == 1/10.

Преобразуйте символьные результаты в числовые значения

Символьные вычисления обеспечивают точную точность, в то время как числовые вычисления являются приближениями. Несмотря на эту потерю точности, вам может потребоваться преобразовать символьные результаты в числовые приближения для использования в числовых вычислениях. Для высокоточного преобразования используйте арифметику переменной точности, предоставленную vpa функция. Для стандартной точности и лучшей эффективности преобразуйте в двойную точность используя double.

Использовать vpa для преобразования символьных решений solx и soly в числовую форму.

vpa(solx)
vpa(soly)

ans =
[ 2.9859135500977407388300518406219,...
 -3.2972717570818457380952349259371,...
  0.15567910349205249963259154265761,...
 -6.1275062036875339772926952239014]
...
[ 0.70095651347102524787213653614929,...
  2.4406361401187679905905068471302,...
 -5.5822287937085612290531502304097,...
 -3.8425491670608184863347799194288]
 
ans =
[ 0.86983981332387137135918515549046,...
 -5.4133454938557151055661016110685,...
 -0.86983981332387137135918515549046,...
  5.4133454938557151055661016110685]
...
[ 1.4151172233028441195987301489821,...
 -4.8680680838767423573265566175769,...
 -1.4151172233028441195987301489821,...
  4.8680680838767423573265566175769]

Упрощение сложных результатов и повышение эффективности

Если результаты выглядят сложными, solve застрял, или если вы хотите улучшить эффективность, см., Поиск и устранение проблем с решениями уравнения из решения Function.

Документация