Найти Опция Цена

Формула Блэка-Скоулза моделирует цену европейских опций вызова [1]. Для базовых акций, не выплачивающих дивиденды, параметры формулы определяются как:

Цена опции вызова $$C$$ с точки зрения параметров Блэка-Скоулза,

$$C=N(d_1)\times S-N(d_2)\times PV(K)$$,

где:

Найдите цену европейской опции на акции, срок действия которого истекает через три месяца с ценой исполнения 95 $. Предположим, что базовый акции не платит дивидендов, торгуется на уровне $100 и имеет волатильность 50% годовых. Безрисковая ставка составляет 1% годовых.

Использование sym чтобы создать символьные числа, которые представляют значения параметров Блэка-Скоулза.

syms t d
S = sym(100);        % current stock price (spot price)
K = sym(95);         % exercise price (strike price)
sigma = sym(0.50);   % volatility of stock
T = sym(3/12);       % expiry time in years
r = sym(0.01);       % annualized risk-free interest rate

Вычислим цену опции без приближения. Создайте символьную функцию N(d) который представляет стандартную нормальную кумулятивную функцию распределения.

PV_K = K*exp(-r*T);
d1 = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2 = d1 - sigma*sqrt(T);
N(d) = int(exp(-((t)^2)/2),t,-Inf,d)*1/sqrt(2*sym(pi))

N(d) = 
$$\frac{\mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}d}{2}\right)}{2}+\frac{1}{2}$$

Csym = N(d1)*S - N(d2)*PV_K

Csym = 
$$50\hspace{0.17em}\mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\left(4\hspace{0.17em}\log \left(\frac{20}{19}\right)+\frac{27}{200}\right)}{2}\right)-95\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{400}}\hspace{0.17em}\left(\frac{\mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\left(4\hspace{0.17em}\log \left(\frac{20}{19}\right)-\frac{23}{200}\right)}{2}\right)}{2}+\frac{1}{2}\right)+50$$

Чтобы получить численный результат с переменной точностью, используйте vpa. По умолчанию vpa возвращает число с 32 значащими цифрами.

Cvpa = vpa(Csym)

Cvpa = $$12.52792339252145394554497137187$$

Для изменения точности используйте digits. Цена опции до 6 значащих цифр составляет $12.5279.

digits(6)
Cvpa = vpa(Csym)

Cvpa = $$12.5279$$

Plot Call Option Цена

Далее предположим, что для того же опции запаса время до истечения срока действия изменений и повседневная цена запаса неизвестны. Найдите цену этого опции вызова на время истечения срока действия $$T$$ который варьируется от 0 до 0,25 лет, и спотовая цена $$S$$ оно варьируется от 50 до 140 долларов. Используйте значения для ставки упражнения (K), волатильность (sigma) и процентная ставка (r) из предыдущего примера. В этом случае используйте время истечения срока действия T и повседневную цену акций S как переменные величины.

Задайте символическое выражение C чтобы представлять вызову опции цену с T и S как неизвестные переменные.

syms T S

PV_K = K*exp(-r*T);
d1 = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2 = d1 - sigma*sqrt(T);
Nd1 = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d1)*1/sqrt(2*pi);
Nd2 = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d2)*1/sqrt(2*pi);
C = Nd1*S - Nd2*PV_K;

Постройте график вызова опции цены как функции спотовой цены и времени истечения срока действия.

fsurf(C,[50 140 0 0.25])
xlabel('Spot price')
ylabel('Expiry time')
zlabel('Call option price')

Рассчитать вызов опции цену со сроком годности 0.1 лет и спотовую цену $105. Использование subs для подстановки значений T и S в выражение C. Верните цену как численный результат используя vpa.

Csym = subs(C,[T S],[0.1 105]);
Cvpa = vpa(Csym)

Cvpa = $$12.5868$$

Найти Спот Цена

Рассмотрим случай, когда цена опции меняется, и необходимо знать, как это влияет на базовую цену акций. Это задача нахождения $$S$$ из формулы Блэка-Скоулза с учетом известных параметров $$K$$, $$\sigma$$, $$T$$, $$r$$, и $$C$$.

Для примера через один месяц цена того же вызова опции сейчас торгуется на уровне $15,04 со временем истечения двух месяцев. Найдите спотовую цену базового запаса. Создайте символьную функцию C(S) который представляет формулу Блэка-Скоулза с неизвестным параметром S.

syms C(S) d1(S) d2(S) Nd1(S) Nd2(S)

K = 95;         % exercise price (strike price)
sigma = 0.50;   % volatility of stock
T = 2/12;       % expiry time in years
r = 0.01;       % annualized risk-free interest rate

PV_K = K*exp(-r*T);
d1(S) = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2(S) = d1 - sigma*sqrt(T);
Nd1(S) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d1)*1/sqrt(2*pi);
Nd2(S) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d2)*1/sqrt(2*pi);
C(S) = Nd1*S - Nd2*PV_K;

Использование vpasolve для численного решения спотовой цены базового запаса. Поиск решений только в положительных цифрах. Спотовая цена базовых акций составляет $106,162.

S_Sol = vpasolve(C(S) == 15.04,S,[0 Inf])

S_Sol = $$106.162$$

Поиск подразумеваемой волатильности

Рассмотрим случай, когда цена опции меняется, и вы хотите знать, какова подразумеваемая волатильность. Это задача нахождения значения $$\sigma$$ из формулы Блэка-Скоулза с учетом известных параметров $$S$$, $$K$$, $$T$$, $$r$$, и $$C$$.

Рассмотрим ту же опцию на акции, который истекает через три месяца с ценой исполнения в $95. Предположим, что базовые акции торгуются на уровне $100, а безрисковая ставка составляет 1% годовых. Найдите подразумеваемую волатильность как функцию от цены опции которая колеблется от $6 до $25. Создайте вектор для области значений опционной цены. Создайте символьную функцию C(sigma) который представляет формулу Блэка-Скоулза с неизвестным параметром sigma. Использование vpasolve численно решить для подразумеваемой волатильности.

syms C(sigma) d1(sigma) d2(sigma) Nd1(sigma) Nd2(sigma)

S = 100;        % current stock price (spot price)
K = 95;         % exercise price (strike price)
T = 3/12;       % expiry time in years
r = 0.01;       % annualized risk-free interest rate
C_Range = 6:25; % range of option price
sigma_Sol = zeros(size(C_Range));

PV_K = K*exp(-r*T);
d1(sigma) = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2(sigma) = d1 - sigma*sqrt(T);
Nd1(sigma) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d1)*1/sqrt(2*pi);
Nd2(sigma) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d2)*1/sqrt(2*pi);
C(sigma) = Nd1*S - Nd2*PV_K;
for i = 1:length(C_Range)
    sigma_Sol(i) = vpasolve(C(sigma) == C_Range(i),sigma,[0 Inf]);
end

Постройте график подразумеваемой волатильности как функции от цены опции.

plot(C_Range,sigma_Sol)
xlabel('Option price')
ylabel('Implied volatility')

Ссылка

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes_model