Формула Блэка-Скоулза для Вызова Опции цены

Этот пример показов, как вычислить вызов цену опции с помощью формулы Блэка-Скоулза. Этот пример использует vpasolve численно решить задачи нахождения спотовой цены и подразумеваемой волатильности из формулы Блэка-Скоулза.

Найти Опция Цена

Формула Блэка-Скоулза моделирует цену европейских опций вызова [1]. Для базовых акций, не выплачивающих дивиденды, параметры формулы определяются как:

  • S - текущая цена акций или спот-цена.

  • K - цена упражнения или забастовки.

  • σ - стандартное отклонение постоянно компаундируемой годовых возвратов запаса, которое называется волатильностью.

  • T срок действия опции истекает в годах.

  • r - годовая процентная ставка без риска.

Цена опции вызова C с точки зрения параметров Блэка-Скоулза,

C=N(d1)×S-N(d2)×PV(K),

где:

  • d1=1σT[log(SK)+(r+σ22)T]

  • d2=d1-σT

  • PV(K)=Kexp(-rT)

  • N(d) - стандартная нормальная кумулятивная функция распределения, N(d)=12π-dexp(-t2/2)dt.

Найдите цену европейской опции на акции, срок действия которого истекает через три месяца с ценой исполнения 95 $. Предположим, что базовый акции не платит дивидендов, торгуется на уровне $100 и имеет волатильность 50% годовых. Безрисковая ставка составляет 1% годовых.

Использование sym чтобы создать символьные числа, которые представляют значения параметров Блэка-Скоулза.

syms t d
S = sym(100);        % current stock price (spot price)
K = sym(95);         % exercise price (strike price)
sigma = sym(0.50);   % volatility of stock
T = sym(3/12);       % expiry time in years
r = sym(0.01);       % annualized risk-free interest rate

Вычислим цену опции без приближения. Создайте символьную функцию N(d) который представляет стандартную нормальную кумулятивную функцию распределения.

PV_K = K*exp(-r*T);
d1 = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2 = d1 - sigma*sqrt(T);
N(d) = int(exp(-((t)^2)/2),t,-Inf,d)*1/sqrt(2*sym(pi))
N(d) = 

erf(2d2)2+12erf ((sqrt (sym (2)) * d )/2 )/2 + sym (1/2)

Csym = N(d1)*S - N(d2)*PV_K
Csym = 

50erf(24log(2019)+272002)-95e-1400erf(24log(2019)-232002)2+12+5050 * erf ((sqrt (sym (2)) * (4 * log (sym (20/19)) + sym (27/200)) )/2) - 95 * exp ((-sym (1/400)) * (erf ((sqrt (sym (2)) * (4 * log (sym (20/19))) - sym

Чтобы получить численный результат с переменной точностью, используйте vpa. По умолчанию vpa возвращает число с 32 значащими цифрами.

Cvpa = vpa(Csym)
Cvpa = 12.52792339252145394554497137187vpa ('12.527923392521453945544497137187')

Для изменения точности используйте digits. Цена опции до 6 значащих цифр составляет $12.5279.

digits(6)
Cvpa = vpa(Csym)
Cvpa = 12.5279vpa ('12.5279')

Plot Call Option Цена

Далее предположим, что для того же опции запаса время до истечения срока действия изменений и повседневная цена запаса неизвестны. Найдите цену этого опции вызова на время истечения срока действия T который варьируется от 0 до 0,25 лет, и спотовая цена S оно варьируется от 50 до 140 долларов. Используйте значения для ставки упражнения (K), волатильность (sigma) и процентная ставка (r) из предыдущего примера. В этом случае используйте время истечения срока действия T и повседневную цену акций S как переменные величины.

Задайте символическое выражение C чтобы представлять вызову опции цену с T и S как неизвестные переменные.

syms T S

PV_K = K*exp(-r*T);
d1 = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2 = d1 - sigma*sqrt(T);
Nd1 = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d1)*1/sqrt(2*pi);
Nd2 = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d2)*1/sqrt(2*pi);
C = Nd1*S - Nd2*PV_K;

Постройте график вызова опции цены как функции спотовой цены и времени истечения срока действия.

fsurf(C,[50 140 0 0.25])
xlabel('Spot price')
ylabel('Expiry time')
zlabel('Call option price')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionsurface.

Рассчитать вызов опции цену со сроком годности 0.1 лет и спотовую цену $105. Использование subs для подстановки значений T и S в выражение C. Верните цену как численный результат используя vpa.

Csym = subs(C,[T S],[0.1 105]);
Cvpa = vpa(Csym)
Cvpa = 12.5868vpa ('12.5868')

Найти Спот Цена

Рассмотрим случай, когда цена опции меняется, и необходимо знать, как это влияет на базовую цену акций. Это задача нахождения S из формулы Блэка-Скоулза с учетом известных параметров K, σ, T, r, и C.

Для примера через один месяц цена того же вызова опции сейчас торгуется на уровне $15,04 со временем истечения двух месяцев. Найдите спотовую цену базового запаса. Создайте символьную функцию C(S) который представляет формулу Блэка-Скоулза с неизвестным параметром S.

syms C(S) d1(S) d2(S) Nd1(S) Nd2(S)

K = 95;         % exercise price (strike price)
sigma = 0.50;   % volatility of stock
T = 2/12;       % expiry time in years
r = 0.01;       % annualized risk-free interest rate

PV_K = K*exp(-r*T);
d1(S) = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2(S) = d1 - sigma*sqrt(T);
Nd1(S) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d1)*1/sqrt(2*pi);
Nd2(S) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d2)*1/sqrt(2*pi);
C(S) = Nd1*S - Nd2*PV_K;

Использование vpasolve для численного решения спотовой цены базового запаса. Поиск решений только в положительных цифрах. Спотовая цена базовых акций составляет $106,162.

S_Sol = vpasolve(C(S) == 15.04,S,[0 Inf])
S_Sol = 106.162vpa ('106.162')

Поиск подразумеваемой волатильности

Рассмотрим случай, когда цена опции меняется, и вы хотите знать, какова подразумеваемая волатильность. Это задача нахождения значения σ из формулы Блэка-Скоулза с учетом известных параметров S, K, T, r, и C.

Рассмотрим ту же опцию на акции, который истекает через три месяца с ценой исполнения в $95. Предположим, что базовые акции торгуются на уровне $100, а безрисковая ставка составляет 1% годовых. Найдите подразумеваемую волатильность как функцию от цены опции которая колеблется от $6 до $25. Создайте вектор для области значений опционной цены. Создайте символьную функцию C(sigma) который представляет формулу Блэка-Скоулза с неизвестным параметром sigma. Использование vpasolve численно решить для подразумеваемой волатильности.

syms C(sigma) d1(sigma) d2(sigma) Nd1(sigma) Nd2(sigma)

S = 100;        % current stock price (spot price)
K = 95;         % exercise price (strike price)
T = 3/12;       % expiry time in years
r = 0.01;       % annualized risk-free interest rate
C_Range = 6:25; % range of option price
sigma_Sol = zeros(size(C_Range));

PV_K = K*exp(-r*T);
d1(sigma) = (log(S/K) + (r + sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
d2(sigma) = d1 - sigma*sqrt(T);
Nd1(sigma) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d1)*1/sqrt(2*pi);
Nd2(sigma) = int(exp(-((t)^2)/2),-Inf,d2)*1/sqrt(2*pi);
C(sigma) = Nd1*S - Nd2*PV_K;
for i = 1:length(C_Range)
    sigma_Sol(i) = vpasolve(C(sigma) == C_Range(i),sigma,[0 Inf]);
end

Постройте график подразумеваемой волатильности как функции от цены опции.

plot(C_Range,sigma_Sol)
xlabel('Option price')
ylabel('Implied volatility')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Ссылка

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scholes_model