Подъем

Этот пример показывает, как использовать подъем на 1-D сигнале.

Создайте сигнал 1-D, который является кусочно-постоянным по 2 выборкам. Добавить $$N(0,0.1^2)$$ шум сигнала.

x = [1 1 2 2 -3.5 -3.5 4.3 4.3 6 6 -4.5 -4.5 2.2 2.2 -1.5 -1.5];
x = repmat(x,1,64);
rng default
x = x+ 0.1*randn(size(x));

Постройте график сигнала и масштабирование первых 100 выборок, чтобы визуализировать корреляцию в соседних выборках.

plot(x)
xlim([0 100])
title('Signal')
xlabel('Index')
ylabel('Amplitude')

Используйте ленивый вейвлет, чтобы получить четные и нечетные полифазные компоненты сигнала. Постройте график коэффициентов детализации (вейвлет) в Dи заметьте, что это преобразование не декоррелировало сигнал. Вейвлет очень похожи на сигнал.

LS = liftingScheme;
[A,D] = lwt(x,'LiftingScheme',LS,'Level',1);
plot(D{1})
xlim([0 100])
title('Detail Coefficients')
xlabel('Index')
ylabel('Amplitude')

Добавьте шаг подъема предсказания, который вычитает четный-индексированный коэффициент из нечетного коэффициента на одну выборку позже, $$x(2n+1)-x(2n)$$.

ElemLiftStep = liftingStep('Type','predict','Coefficients',-1,'MaxOrder',0);
LSnew = addlift(LS,ElemLiftStep);

Поскольку сигнал является кусочно-постоянным для последовательных выборок с аддитивным шумом, новый шаг предсказания должен привести к тому, что коэффициенты вейвлета будут маленькими по абсолютному значению. В этом случае вейвлет действительно декоррелирует данные. Проверьте это, найдя коэффициенты приближения и детализации с новым шагом предсказания.

[A,D] = lwt(x,'liftingScheme',LSnew,'Level',1);

Если вы строите график коэффициентов детализации (вейвлет), вы видите, что вейвлет-коэффициенты больше не напоминают исходный сигнал.

plot(D{1})
xlim([0 100])
title('Detail Coefficients')
xlabel('Index')
ylabel('Amplitude')

Коэффициенты приближения, A, предыдущего преобразования составляют четный полифазный компонент сигнала. Поэтому коэффициенты влияют на сглаживание. Используйте шаг подъема обновления, чтобы обновить коэффициенты приближения и уменьшить сглаживание. Шаг обновления заменяет коэффициенты приближения на $$x(2n)+1/2(x(2n+1)-x(2n))$$, что равно среднему значению $$x(2n)$$ и $$x(2n+1)$$. Среднее значение представляет собой lowpass, которая помогает уменьшить сглаживание.

ElemLiftStep = liftingStep('Type','update','Coefficients',1/2,'MaxOrder',0);
LSnew = addlift(LSnew,ElemLiftStep);

Используйте новую схему подъема, чтобы получить вейвлет входного сигнала. Коэффициенты приближения напоминают плавную версию исходного сигнала.

[A,D] = lwt(x,'liftingScheme',LSnew,'Level',1);
plot(A)
xlim([0 100])

Создайте новую схему подъема с такими же шагами подъема, как LSnew. Применить масштабные коэффициенты для обеспечения идеальной реконструкции. Получите приближение и вейвлет с помощью схемы подъема и восстановите сигнал с помощью ilwt. Проверьте идеальную реконструкцию.

scaleFactors = [sqrt(2) sqrt(2)/2];
ElemLiftStep1 = liftingStep('Type','predict','Coefficients',-1,'MaxOrder',0);
ElemLiftStep2 = liftingStep('Type','update','Coefficients',1/2,'MaxOrder',0);
LSscale = liftingScheme('LiftingSteps',[ElemLiftStep1;ElemLiftStep2],'NormalizationFactors',scaleFactors);
[A,D] = lwt(x,'liftingScheme',LSscale,'Level',1);
xrecon = ilwt(A,D,'liftingScheme',LSscale);
max(abs(x(:)-xrecon(:)))

ans = 1.7764e-15

Предыдущий пример разработал вейвлет, который эффективно удалил полином нулевого порядка (константа). Если поведение сигнала лучше представлено полиномом более высокого порядка, можно спроектировать двойной вейвлет с соответствующим количеством моментов исчезновения, чтобы декоррелировать сигнал.

Используйте схему подъема, чтобы спроектировать вейвлет с двумя моментами исчезновения. Двойной вейвлет с двумя моментами исчезновения украшает сигнал с локальным поведением, аппроксимированным полиномом первого порядка. Создайте сигнал, характеризующийся полиномиальным поведением первого порядка с аддитивом $$N(0,0.25^2)$$ шум.

y = [1 0 0 4 0 0 -1 0 0 2 0 0 7 0 0 -4 0 0 1 0 0 -3];
x1 = 1:(21/1024):22-(21/1024);
y1 = interp1(1:22,y,x1,'linear');
rng default
y1 = y1+0.25*randn(size(y1));
plot(x1,y1)
xlim([1 22])

В этом случае вейвлет должны удалить полином первого порядка. Если значение сигналов при нечетном индексе, $$x(2n+1)$$, хорошо аппроксимируется полиномом первого порядка, подобранным к окружающим значениям выборки, затем $$1/2(x(2n)+x(2n+2))$$ должен обеспечить хорошую подгонку для $$x(2n+1)$$. Другими словами, $$x(2n+1)$$ должен быть средней точкой между $$x(2n)$$ и $$x(2n+2)$$.

Из этого следует, что $$x(2n+1)-1/2(x(2n)+x(2n+2))$$ должен украсить сигнал.

Создайте новую схему подъема с шагом подъема предсказания, который моделирует предшествующее уравнение.

ElemLiftStep = liftingStep('Type','predict','Coefficients',[-1/2 -1/2],'MaxOrder',1);
LS = liftingScheme('LiftingSteps',ElemLiftStep,'NormalizationFactors',1);

Используйте схему подъема, чтобы получить коэффициенты приближения и детализации и построить график результата.

[A,D] = lwt(y1,'LiftingScheme',LS,'Level',1);
subplot(2,1,1)
plot(A)
xlim([1 512])
title('Approximation Coefficients')
subplot(2,1,2)
plot(D{1})
xlim([1 512])
title('Detail Coefficients')

Вы видите, что вейвлет, по-видимому, содержат только шум, в то время как аппроксимационные коэффициенты представляют собой деноизированную версию исходного сигнала. Поскольку в предыдущем преобразовании для коэффициентов приближения используется только четный полифазный компонент, можно уменьшить сглаживание, добавив шаг обновления.

Создайте новую схему подъема, которая состоит из предыдущего шага предсказания и нового шага обновления, который уменьшает сглаживание. Нормализуйте схему подъема, чтобы получить идеальный банк фильтров реконструкции. Получите дискретное вейвлет с новой схемой подъема и постройте график результатов.

scaleFactors = [sqrt(2) sqrt(2)/2];
ElemLiftStep1 = liftingStep('Type','predict','Coefficients',[-1/2 -1/2],'MaxOrder',1);
ElemLiftStep2 = liftingStep('Type','update','Coefficients',[1/4 1/4],'MaxOrder',0);
LSnew = liftingScheme('LiftingSteps',[ElemLiftStep1;ElemLiftStep2],'NormalizationFactors',scaleFactors);
[A,D] = lwt(y1,'liftingScheme',LSnew,'Level',1);
subplot(2,1,1)
plot(A)
xlim([1 512])
title('Approximation Coefficients')
subplot(2,1,2)
plot(D{1})
xlim([1 512])
title('Detail Coefficients')

Продемонстрировать, что вы разработали идеальный банк фильтров реконструкции.

y2 = ilwt(A,D,'liftingScheme',LSnew);
max(abs(y2(:)-y1(:)))

ans = 1.7764e-15