Сезонные фильтры

Что такое сезонный фильтр?

Можно использовать сезонный фильтр (скользящее среднее значение), чтобы оценить сезонный компонент временных рядов. Например, сезонные скользящие средние значения играют большую роль в X-11-ARIMA сезонная программа корректировки Statistics Canada [1] и X-12-ARIMA сезонная программа корректировки американского Бюро переписи [2].

Для наблюдений, сделанных в период k, k = 1..., s (где s является известной периодичностью сезонности), сезонный фильтр является сверткой весов и наблюдений, сделанных в прошлые и будущие периоды k. Например, учитывая ежемесячные данные (s = 12), сглаживавшее наблюдение в январе является симметричным, взвешенным средним данных в январе.

В общем случае какое-то время серия _xt, t = 1..., N, в сезон сглаживавшее наблюдение во время k + js, j = 1..., N/s – 1,

{\tilde{s}}_{k + j s} = \sum_{l = - r}^{r} a_{l} x_{k + (j + l) s},

(1)

с весами

a_{l}

таким образом, что

\sum_{l = - r}^{r} a_{l} = 1.

Два обычно использовали сезонные фильтры, устойчивый сезонный фильтр и _{Sn × m} сезонный фильтр.

Устойчивый сезонный фильтр

Используйте устойчивый сезонный фильтр, если сезонный уровень не изменяется в зависимости от времени, или если у вас есть кратковременный ряд (менее чем 5 лет).

Позвольте _nk быть общим количеством наблюдений, сделанных в период k. Устойчивым сезонным фильтром дают

${\tilde{s}}_{k} = \frac{1}{n_{k}} \sum_{j = 1}^{(N / s) - 1} x_{k + j s},$

для k = 1..., s, и ${\tilde{s}}_{k} = {\tilde{s}}_{k - s}$ для k> s.

Define $\bar{s} = (1 / s) \sum_{k = 1}^{s} {\tilde{s}}_{k} .$ Для идентифицируемости от компонента тренда,

Использование ${\hat{s}}_{k} = {\tilde{s}}_{k} - \bar{s}$ чтобы оценить сезонный компонент для аддитивной модели разложения (то есть, ограничьте компонент колебаться вокруг нуля).
Использование ${\hat{s}}_{k} = {\tilde{s}}_{k} / \bar{s}$ чтобы оценить сезонный компонент для мультипликативной модели разложения (то есть, ограничьте компонент колебаться вокруг одного).

S_{n × m} сезонный фильтр

Чтобы применить _{Sn × m} сезонный фильтр, возьмите симметричный n - называют скользящее среднее значение m - средние значения термина. Это эквивалентно взятию симметричного, неравноценно взвешенного скользящего среднего значения с n + m – 1 термин (то есть, использовать $r = (n + m - 1) / 2$ в уравнении 1).

S _3×3 фильтр имеет пять терминов с весами

$(1 / 9, 2 / 9, 1 / 3, 2 / 9, 1 / 9) .$

Чтобы проиллюстрировать, предположите, что у вас есть ежемесячные данные более чем 10 лет. Позвольте _Janyy обозначить значение, наблюдаемое в январе, 20yy. S _{3×3-filtered} значение на январь 2005

$\hat{J} a n_{05} = \frac{1}{3} [\frac{1}{3} (J a n_{03} + J a n_{04} + J a n_{05}) + \frac{1}{3} (J a n_{04} + J a n_{05} + J a n_{06}) + \frac{1}{3} (J a n_{05} + J a n_{06} + J a n_{07})] .$

Точно так же S _3×5 фильтр имеет семь терминов с весами

$(1 / 15, 2 / 15, 1 / 5, 1 / 5, 1 / 5, 2 / 15, 1 / 15) .$

При использовании симметричного фильтра наблюдения потеряны вначале и конец ряда. Можно применить асимметричные веса в концах ряда, чтобы предотвратить потерю наблюдения.

Чтобы сосредоточить сезонную оценку, задайте скользящее среднее значение в сезон отфильтрованного ряда, ${\bar{s}}_{t} = \sum_{j = - q}^{q} b_{j} {\tilde{s}}_{t + j} .$ Разумный выбор для весов $b_{j} = 1 / 4 q$ для j = ±q и $b_{j} = 1 / 2 q$ в противном случае. Здесь, q = 2 для ежеквартальных данных (среднее значение с 5 терминами), или q = 6 для ежемесячных данных (среднее значение с 13 терминами).

Для идентифицируемости от компонента тренда,

Использование ${\hat{s}}_{t} = {\tilde{s}}_{t} - {\bar{s}}_{t}$ чтобы оценить сезонный компонент аддитивной модели (то есть, ограничьте компонент колебаться приблизительно вокруг нуля).
Использование ${\hat{s}}_{t} = {\tilde{s}}_{t} / {\bar{s}}_{t}$ чтобы оценить сезонный компонент мультипликативной модели (то есть, ограничьте компонент колебаться приблизительно вокруг одного).

Ссылки

[1] Dagum, E. B. X-11-ARIMA сезонный метод корректировки. 12–564E номер. Статистика Канада, Оттава, 1980.

[2] Findley, D. F. Б. К. Монселл, В. Р. Белл, Член конгресса Отто, и До н.э. Чен. “Новые Возможности и Методы Программы X-12-ARIMA Seasonal-Adjustment”. Журнал Business & Economic Statistics. Издание 16, Номер 2, 1998, стр 127–152.

Документация