Модель оценки финансовых активов (CAPM) является почтенным, но часто порочившим инструментом, чтобы охарактеризовать comovements между ценами активов и рыночными ценами. Несмотря на то, что много проблем возникают в реализации CAPM и интерпретации, одна проблема, с которой сталкиваются практики, состоит в том, чтобы оценить коэффициенты CAPM с неполными данными о курсе акций.
В этом примере показано, как использовать недостающие функции регрессии данных, чтобы оценить коэффициенты CAPM. Можно запустить пример непосредственно с помощью CAPMdemo.m расположенный в matlabroot/toolbox/finance/findemos.
Учитывая хост предположений, которые могут быть найдены в ссылках (см. Шарпа [11], Lintner [6], Jarrow [5] и Шарп, и. al. [12]), CAPM приходит к заключению, что актив возвращается, имеют линейное соотношение с рынком, возвращается. А именно, учитывая возврат всех запасов, которые составляют рынок, обозначенный как M и возврат безрискового актива, обозначенного как C, CAPM утверждает, что возврат каждого актива Ri на рынке имеет форму expectational
для активов i = 1..., n, где βi является параметром, который задает степень comovement между данным активом и базовым рынком. Другими словами, ожидаемый доход каждого актива равен возврату на безрисковом активе плюс настроенный риском ожидаемый рынок, возвращаются сетевой из безрискового актива, возвращается. Набор параметров β 1 ..., βn называется бетами актива.
Бета актива имеет форму
то, которое является отношением ковариации между активом, и рынок возвращается разделенный на отклонение рынка, возвращается. Beta является волатильностью цен финансового инструмента относительно волатильности цен рынка, или индексируйте в целом. Бета обычно используется относительно акций. Инструмент высокой беты более опасен, чем инструмент низкой беты. Если актив имеет бету = 1, актив, как говорят, перемещается с рынком; если актив имеет бету> 1, актив, как говорят, более энергозависим, чем рынок. С другой стороны, если актив имеет бету <1, актив, как говорят, менее энергозависим, чем рынок.
Стандартная модель CAPM является линейной моделью дополнительными параметрами для каждого актива, чтобы охарактеризовать остаточные ошибки. Поскольку каждый из активов n с выборками m наблюдаемого актива возвращает Rk,i, рынок возвращает Mk, и безрисковый актив возвращает Ck, модель оценки имеет форму
для выборок k = 1..., m и активы i = 1..., n, где αi является параметром, который задает несистематический возврат актива, βi является бетой актива, и Vk,i является остаточной ошибкой для каждого актива со связанной случайной переменной Vi.
Набор параметров α 1 ..., αn называется альфами актива. Строгая форма CAPM указывает, что альфы должны быть нулем и что отклонения от нуля являются результатом временных нарушений равновесия. На практике, однако, активы могут иметь ненулевые альфы, где большая часть активного управления инвестициями посвящена поиску активов с годными для использования ненулевыми альфами.
Чтобы допускать возможность ненулевых альф, модель оценки обычно стремится оценить альфы и выполнить тесты, чтобы определить, равны ли альфы статистически нулю.
Остаточные ошибки Vi приняты, чтобы иметь моменты
и
для активов i,j = 1 ..., n, где параметры S 11 ..., Snn называется остаточными или несистематическими отклонениями/ковариациями.
Квадратный корень из остаточного отклонения каждого актива, например, sqrt (Sii) для i = 1 ..., n, как говорят, является остаточным или несистематическим риском актива, поскольку это характеризует остаточное изменение цен активов, которые не объяснены изменениями рыночных цен.
Несмотря на то, что беты могут быть оценены для компаний с достаточно долгими историями актива, возвращается, он затрудняет, чтобы оценить беты для недавних IPO. Однако, если набор достаточно заметных компаний существует, который, как могут ожидать, будет иметь определенную степень корреляции с перемещениями курса акций новой компании, то есть, компаниями в той же промышленности как новая компания, возможно получить оценочные оценки для новых бет компании со стандартными программами регрессии недостающих данных.
Чтобы проиллюстрировать, как использовать стандартные программы регрессии недостающих данных, оцените беты для 12 технологических акций, где одним запасом (GOOG) является IPO.
Загрузите даты, совокупные доходы и тикеры для этих 12 запасов из MAT-файла CAPMuniverse.
load CAPMuniverse whos Assets Data Dates
Name Size Bytes Class Attributes Assets 1x14 1568 cell Data 1471x14 164752 double Dates 1471x1 11768 double
Активы в модели имеют следующие символы, где последние два ряда являются прокси для рынка и безрискового актива:
Assets(1:7) Assets(8:14)
ans = 'AAPL' 'AMZN' 'CSCO' 'DELL' 'EBAY' 'GOOG' 'HPQ' ans = 'IBM' 'INTC' 'MSFT' 'ORCL' 'YHOO' 'MARKET' 'CASH'
Данные охватывают период с 1 января 2000 до 7 ноября 2005 с ежедневными совокупными доходами. Два запаса в этой вселенной имеют отсутствующие значения, которые представлены NaNs. Один из этих двух запасов имел IPO в этот период и, таким образом, имеет значительно меньше данных, чем другие запасы.
Вычислите отдельные регрессии для каждого запаса, где запасы с недостающими данными имеют оценки, которые отражают их уменьшаемую наблюдаемость.
[NumSamples, NumSeries] = size(Data); NumAssets = NumSeries - 2; StartDate = Dates(1); EndDate = Dates(end); fprintf(1,'Separate regressions with '); fprintf(1,'daily total return data from %s to %s ...\n', ... datestr(StartDate,1),datestr(EndDate,1)); fprintf(1,' %4s %-20s %-20s %-20s\n','','Alpha','Beta','Sigma'); fprintf(1,' ---- -------------------- '); fprintf(1,'-------------------- --------------------\n'); for i = 1:NumAssets % Set up separate asset data and design matrices TestData = zeros(NumSamples,1); TestDesign = zeros(NumSamples,2); TestData(:) = Data(:,i) - Data(:,14); TestDesign(:,1) = 1.0; TestDesign(:,2) = Data(:,13) - Data(:,14); % Estimate CAPM for each asset separately [Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign); % Estimate ideal standard errors for covariance parameters [StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, ... Covar, 'fisher'); % Estimate sample standard errors for model parameters StdParam = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar, 'hessian'); % Set up results for output Alpha = Param(1); Beta = Param(2); Sigma = sqrt(Covar); StdAlpha = StdParam(1); StdBeta = StdParam(2); StdSigma = sqrt(StdCovar); % Display estimates fprintf(' %4s %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f)\n', ... Assets{i},Alpha(1),abs(Alpha(1)/StdAlpha(1)), ... Beta(1),abs(Beta(1)/StdBeta(1)),Sigma(1),StdSigma(1)); end
Этот фрагмент кода генерирует следующую таблицу.
Separate regressions with daily total return data from 03-Jan-2000
to 07-Nov-2005 ...
Alpha Beta Sigma
-------------------- -------------------- --------------------
AAPL 0.0012 ( 1.3882) 1.2294 ( 17.1839) 0.0322 ( 0.0062)
AMZN 0.0006 ( 0.5326) 1.3661 ( 13.6579) 0.0449 ( 0.0086)
CSCO -0.0002 ( 0.2878) 1.5653 ( 23.6085) 0.0298 ( 0.0057)
DELL -0.0000 ( 0.0368) 1.2594 ( 22.2164) 0.0255 ( 0.0049)
EBAY 0.0014 ( 1.4326) 1.3441 ( 16.0732) 0.0376 ( 0.0072)
GOOG 0.0046 ( 3.2107) 0.3742 ( 1.7328) 0.0252 ( 0.0071)
HPQ 0.0001 ( 0.1747) 1.3745 ( 24.2390) 0.0255 ( 0.0049)
IBM -0.0000 ( 0.0312) 1.0807 ( 28.7576) 0.0169 ( 0.0032)
INTC 0.0001 ( 0.1608) 1.6002 ( 27.3684) 0.0263 ( 0.0050)
MSFT -0.0002 ( 0.4871) 1.1765 ( 27.4554) 0.0193 ( 0.0037)
ORCL 0.0000 ( 0.0389) 1.5010 ( 21.1855) 0.0319 ( 0.0061)
YHOO 0.0001 ( 0.1282) 1.6543 ( 19.3838) 0.0384 ( 0.0074)
Alpha столбец содержит альфа-оценки для каждого запаса, которые являются близким нулем как ожидалось. Кроме того, t-статистические-данные (которые заключены в круглые скобки) обычно отклоняют гипотезу, что альфы являются ненулевыми на уровне на 99,5% значения.
Beta столбец содержит бета оценки для каждого запаса, которым также заключили t-статистику в круглые скобки. Для всех запасов, но GOOG, гипотеза, что беты являются ненулевыми, принята на уровне на 99,5% значения. Кажется, однако, что GOOG не имеет достаточного количества данных, чтобы получить значимую оценку для беты, поскольку ее t-статистическая-величина подразумевала бы отклонение гипотезы ненулевой беты.
Sigma столбец содержит остаточные стандартные отклонения, то есть, оценки для несистематических рисков. Вместо t - статистика, связанные стандартные погрешности для остаточных стандартных отклонений заключены в круглые скобки.
Чтобы оценить беты запаса для всех 12 запасов, настройте объединенную модель регрессии что группы все 12 запасов в рамках одного проекта. (Поскольку каждый запас имеет ту же матрицу проекта, эта модель является на самом деле примером на вид несвязанной регрессии.) Стандартная программа, чтобы оценить параметры модели ecmmvnrmle, и стандартная программа, чтобы оценить стандартные погрешности ecmmvnrstd.
Поскольку GOOG имеет значительное количество отсутствующих значений, прямое использование недостающей стандартной программы данных ecmmvnrmle берет 482 итерации, чтобы сходиться. Это может занять много времени, чтобы вычислить. Ради краткости параметра и оценок ковариации после того, как первые 480 итераций содержатся в MAT-файле и используются в качестве первоначальных оценок, чтобы вычислить беты запаса.
load CAPMgroupparam whos Param0 Covar0
Name Size Bytes Class Attributes Covar0 12x12 1152 double Param0 24x1 192 double
Теперь оцените параметры для набора 12 запасов.
fprintf(1,'\n'); fprintf(1,'Grouped regression with '); fprintf(1,'daily total return data from %s to %s ...\n', ... datestr(StartDate,1),datestr(EndDate,1)); fprintf(1,' %4s %-20s %-20s %-20s\n','','Alpha','Beta','Sigma'); fprintf(1,' ---- -------------------- '); fprintf(1,'-------------------- --------------------\n'); NumParams = 2 * NumAssets; % Set up grouped asset data and design matrices TestData = zeros(NumSamples, NumAssets); TestDesign = cell(NumSamples, 1); Design = zeros(NumAssets, NumParams); for k = 1:NumSamples for i = 1:NumAssets TestData(k,i) = Data(k,i) - Data(k,14); Design(i,2*i - 1) = 1.0; Design(i,2*i) = Data(k,13) - Data(k,14); end TestDesign{k} = Design; end % Estimate CAPM for all assets together with initial parameter % estimates [Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign, [], [], [],... Param0, Covar0); % Estimate ideal standard errors for covariance parameters [StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar,... 'fisher'); % Estimate sample standard errors for model parameters StdParam = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar, 'hessian'); % Set up results for output Alpha = Param(1:2:end-1); Beta = Param(2:2:end); Sigma = sqrt(diag(Covar)); StdAlpha = StdParam(1:2:end-1); StdBeta = StdParam(2:2:end); StdSigma = sqrt(diag(StdCovar)); % Display estimates for i = 1:NumAssets fprintf(' %4s %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f)\n', ... Assets{i},Alpha(i),abs(Alpha(i)/StdAlpha(i)), ... Beta(i),abs(Beta(i)/StdBeta(i)),Sigma(i),StdSigma(i)); end
Этот фрагмент кода генерирует следующую таблицу.
Grouped regression with daily total return data from 03-Jan-2000
to 07-Nov-2005 ...
Alpha Beta Sigma
---------------------- ----------------------------------------
AAPL 0.0012 ( 1.3882) 1.2294 ( 17.1839) 0.0322 ( 0.0062)
AMZN 0.0007 ( 0.6086) 1.3673 ( 13.6427) 0.0450 ( 0.0086)
CSCO -0.0002 ( 0.2878) 1.5653 ( 23.6085) 0.0298 ( 0.0057)
DELL -0.0000 ( 0.0368) 1.2594 ( 22.2164) 0.0255 ( 0.0049)
EBAY 0.0014 ( 1.4326) 1.3441 ( 16.0732) 0.0376 ( 0.0072)
GOOG 0.0041 ( 2.8907) 0.6173 ( 3.1100) 0.0337 ( 0.0065)
HPQ 0.0001 ( 0.1747) 1.3745 ( 24.2390) 0.0255 ( 0.0049)
IBM -0.0000 ( 0.0312) 1.0807 ( 28.7576) 0.0169 ( 0.0032)
INTC 0.0001 ( 0.1608) 1.6002 ( 27.3684) 0.0263 ( 0.0050)
MSFT -0.0002 ( 0.4871) 1.1765 ( 27.4554) 0.0193 ( 0.0037)
ORCL 0.0000 ( 0.0389) 1.5010 ( 21.1855) 0.0319 ( 0.0061)
YHOO 0.0001 ( 0.1282) 1.6543 ( 19.3838) 0.0384 ( 0.0074)
Несмотря на то, что результатами для запасов полных данных является то же самое, бета оценки для AMZN и GOOG (эти два запаса с отсутствующими значениями) отличаются от оценок, выведенных для каждого запаса отдельно. Поскольку AMZN имеет немного отсутствующих значений, различия в оценках малы. С GOOG, однако, различия являются более явными.
t - статистическая величина для бета оценки GOOG является теперь значительной на уровне на 99,5% значения. Однако t - статистические данные для бета оценок основаны на стандартных погрешностях от демонстрационного Гессиана, который, в отличие от матрицы информации о Фишере, составляет увеличенную неопределенность в оценке из-за отсутствующих значений. Если t - статистическая величина получена из более оптимистической матрицы информации о Фишере, t - статистической величиной для GOOG является 8.25. Таким образом, несмотря на увеличение неопределенности из-за недостающих данных, GOOG, тем не менее, имеет статистически значительную оценку для беты.
Наконец, обратите внимание, что бета оценкой для GOOG является 0.62 — значение, которое может потребовать некоторого объяснения. Несмотря на то, что рынок был энергозависим за этот период с поперечной динамикой цен, GOOG постоянно ценил в значении. Так, это менее плотно коррелируется с рынком, подразумевая, что это менее энергозависимо, чем рынок (бета <1).
[1] Caines, Питер Э. Линейные стохастические системы. John Wiley & Sons, Inc., 1988.
[2] Cramér, Харальд. Математические методы статистики. Издательство Принстонского университета, 1946.
[3] Демпстер, A.P, Нью-Мексико. Лэрд и Д.Б Рубин. “Наибольшее правдоподобие от Неполных данных с помощью Алгоритма EM”. Журнал Королевского Статистического Общества, Серий B. Издание 39, № 1, 1977, стр 1-37.
[4] Грин, Уильям Х. Эконометрик Анэлизис. 5-й редактор, Pearson Education, Inc., 2003.
[5] Jarrow, R.A. Финансируйте теорию. Prentice-Hall, Inc., 1988.
[6] Lintner, J. “Оценка Активов Риска и Выбор Risky Investments в Запасах”. Анализ Экономики и Статистики. Издание 14, 1965, стр 13-37.
[7] Мало, Родерик Дж. А и Дональд Б. Рубин. Статистический анализ с Недостающими Данными. 2-й редактор, John Wiley & Sons, Inc., 2002.
[8] Мэн, Xiao-литий и Дональд Б. Рубин. “Оценка Наибольшего правдоподобия с помощью Алгоритма ECM”. Biometrika. Издание 80, № 2, 1993, стр 267-278.
[9] Дьячок, Джо и Андерс Риг Свенсен. “Алгоритмы ECM, которые Сходятся по курсу EM”. Biometrika. Издание 87, № 3, 2000, стр 651-662.
[10] Shafer, J. L. Анализ неполных многомерных данных. Chapman & Hall/CRC, 1997.
[11] Шарп, W. F. “Цены Капитального актива: Теория Равновесия Рынка При Условиях Риска”. Журнал Финансов. Издание 19, 1964, стр 425-442.
[12] Шарп, W. F. Г. Дж. Александр и Дж. В. Бэйли. Инвестиции. 6-й редактор, Prentice-Hall, Inc., 1999.
mvnrmle | mvnrstd | mvnrfish | mvnrobj | ecmmvnrmle | ecmmvnrstd | ecmmvnrfish | ecmmvnrobj | ecmlsrmle | ecmlsrobj | ecmmvnrstd | ecmmvnrfish | ecmnmle | ecmnstd | ecmnfish | ecmnhess | ecmnobj | convert2sur | ecmninit