optByBatesFFT

Цена опции моделью Bates с помощью БПФ и FRFT

Синтаксис

[Price,StrikeOut] = optByBatesFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV,MeanJ,JumpVol,JumpFreq)

[Price,StrikeOut] = optByBatesFFT(___,Name,Value)

Описание

пример

[Price,StrikeOut] = optByBatesFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV,MeanJ,JumpVol,JumpFreq) вычисляет европейскую цену опции ванили моделью Bates, с помощью БПФ Топкого-места-Madan и методов Chourdakis FRFT.

пример

[Price,StrikeOut] = optByBatesFFT(___,Name,Value) добавляют дополнительные аргументы пары "имя-значение".

Примеры

свернуть все

Рабочий процесс для графического вывода поверхности цены опции Используя убавляет модель

Скрипт Open Live Script

Используйте optByBatesFFT чтобы калибровать сетку забастовки БПФ, вычислите цены опции и постройте поверхность цены опции.

Задайте переменные опции, и убавляет параметры модели

AssetPrice = 80;
Rate = 0.03;
DividendYield = 0.02;
OptSpec = 'call';

V0 = 0.04;
ThetaV = 0.05;
Kappa = 1.0;
SigmaV = 0.2;
RhoSV = -0.7;
MeanJ = 0.02;
JumpVol = 0.08;
JumpFreq = 2;

Вычислите цены опции за целый БПФ (или FRFT) сетка забастовки, не задавая Strike

Вычислите цены опции и также выведите соответствующие забастовки. Если Strike вход пуст ([]), цены опции будут вычислены на целом БПФ (или FRFT) сетка забастовки. БПФ (или FRFT) сетка забастовки определяется как exp(log-strike grid), где каждый столбец сетки логарифмической забастовки имеет NumFFT точки с LogStrikeStep разрядка, которые примерно сосредоточены вокруг каждого элемента log(AssetPrice). Значение по умолчанию для NumFFT 2^12. В дополнение к ценам в первом выходе дополнительный последний выход содержит соответствующие забастовки.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)

% Compute option prices for the entire FFT strike grid
[Call, Kout] = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield);

% Show the lowest and highest strike values on the FFT strike grid
format
MinStrike = Kout(1) % Lowest possible strike in the current FFT strike grid

MinStrike = 2.9205e-135

MaxStrike = Kout(end) % Highest possible strike in the current FFT strike grid

MaxStrike = 1.8798e+138

% Show a subset of the strikes and corresponding option prices
Range = (2046:2052);
[Kout(Range) Call(Range)]

ans = 7×2

   50.4929   29.4990
   58.8640   21.4545
   68.6231   12.8544
   80.0000    5.3484
   93.2631    1.2404
  108.7251    0.1648
  126.7505    0.0152

Измените количество БПФ (или FRFT) точки и сравните с optByBatesNI

Попробуйте различное количество БПФ (или FRFT) точки и сравните результаты с прямым численным интегрированием. В отличие от optByBatesFFT, который использует БПФ (или FRFT) методы для быстрого расчета через целую область значений забастовок, optByBatesNI функционируйте использует прямое численное интегрирование, и это обычно медленнее, особенно для нескольких забастовок. Однако значения вычисляются optByBatesNI может служить сравнительным тестом для корректировки настроек для optByBatesFFT.

% Try a smaller number of FFT (or FRFT) points 
% (e.g. for faster performance or smaller memory footprint)
NumFFT = 2^10; % Smaller than the default value of 2^12
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)
[Call, Kout] = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT);

% Compare with numerical integration method
Range = (510:516);
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByBatesNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike     CallFFT       CallNI         Error  
    ______    _________    ___________    _________

    12.696       66.237         66.696      0.45912
    23.449        55.86         56.103      0.24239
    43.312       36.418         36.541      0.12246
        80       5.4029         5.3484     0.054469
    147.76     0.044921      0.0010864     0.043835
    272.93    0.0094655    -7.8249e-08    0.0094656
    504.11    0.0024986    -3.3873e-07    0.0024989

Внесите дальнейшие корректировки в БПФ (или FRFT)

Если значения в выходе CallFFT существенно отличаются от тех в CallNI, попытайтесь внести изменения в optByBatesFFT настройки, такие как CharacteristicFcnStep, LogStrikeStep, NumFFT, DampingFactor, и так далее. Обратите внимание на то, что, если (LogStrikeStep * CharacteristicFcnStep) 2*pi / NumFFT, БПФ используется. В противном случае FRFT используется.

Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT or FRFT strike grid)
[Call, Kout] = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...    
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001);

% Compare with numerical integration method
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByBatesNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike    CallFFT    CallNI      Error   
    ______    _______    ______    __________

    79.76     5.4682     5.4682    1.5355e-08
    79.84     5.4281     5.4281    1.4833e-08
    79.92     5.3882     5.3882    1.4244e-08
       80     5.3484     5.3484     1.359e-08
    80.08     5.3088     5.3088    1.2875e-08
    80.16     5.2693     5.2693    1.2101e-08
    80.24       5.23       5.23    1.1272e-08

% Save the final FFT (or FRFT) strike grid for future reference. For
% example, it provides information about the range of |Strike| inputs for
% which the FFT (or FRFT) operation is valid.
FFTStrikeGrid = Kout;
MinStrike = FFTStrikeGrid(1) % Strike cannot be less than MinStrike

MinStrike = 47.9437

MaxStrike = FFTStrikeGrid(end) % Strike cannot be greater than MaxStrike

MaxStrike = 133.3566

Вычислите цену опции за одну забастовку

Однажды желаемый БПФ (или FRFT) настройки определяются, используют Strike введите, чтобы задать забастовки (вместо того, чтобы обеспечить пустой массив). Если заданные забастовки не совпадают со значением на БПФ (или FRFT) сетка забастовки, выходные параметры интерполированы на заданных забастовках.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = 80; 

Call = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV,  MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001)

Call = 5.3484

Вычислите цены опции за вектор из забастовок

Используйте Strike введите, чтобы задать забастовки.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = (76:2:84)';

Call = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV,  MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001)

Вычислите цены опции за вектор из забастовок и вектор из дат тех же длин

Используйте Strike введите, чтобы задать забастовки. Кроме того, Maturity введите может быть вектор, но он должен совпадать с длиной Strike вектор, если ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" не установлен в "true".

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, [12 18 24 30 36]); % Five maturities
Strike = [76 78 80 82 84]'; % Five strikes

Call = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV,  MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001) % Five values in vector output

Расширьте Выходные параметры для поверхности

Установите ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" "true" расширять выходные параметры в NStrikes- NMaturities матрицы. В этом случае они - квадратные матрицы.

[Call, Kout] = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV,  MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 5) matrix output

Call = 5×5

    9.7516   11.4387   12.8395   14.0588   15.1361
    8.6554   10.3931   11.8344   13.0890   14.1980
    7.6432    9.4149   10.8865   12.1693   13.3046
    6.7153    8.5035    9.9952   11.2990   12.4553
    5.8705    7.6581    9.1594   10.4771   11.6491

Kout = 5×5

    76    76    76    76    76
    78    78    78    78    78
    80    80    80    80    80
    82    82    82    82    82
    84    84    84    84    84

Вычислите цены опции за вектор из забастовок и вектор из дат различных длин

Когда ExpandOutput "true", NStrikes не должны совпадать с NMaturities (то есть, выход NStrikes- NMaturities матрица может быть прямоугольной).

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*(0.5:0.5:3)'); % Six maturities
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV,  MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 6) matrix output

Call = 5×6

    7.5765    9.7516   11.4387   12.8395   14.0588   15.1361
    6.4020    8.6554   10.3931   11.8344   13.0890   14.1980
    5.3484    7.6432    9.4149   10.8865   12.1693   13.3046
    4.4173    6.7153    8.5035    9.9952   11.2990   12.4553
    3.6073    5.8705    7.6581    9.1594   10.4771   11.6491

Вычислите цены опции за вектор из забастовок и вектор из цен активов

Когда ExpandOutput "true", выходом может также быть NStrikes- NAssetPrices прямоугольная матрица путем принятия вектора из цен активов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12); % Single maturity
ManyAssetPrices = [70 75 80 85]; % Four asset prices
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call = optByBatesFFT(Rate, ManyAssetPrices, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV,  MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 4) matrix output

Call = 5×4

    4.2033    6.6918    9.7516   13.2808
    3.5558    5.8112    8.6554   11.9993
    2.9906    5.0181    7.6432   10.7934
    2.5018    4.3096    6.7153    9.6652
    2.0825    3.6818    5.8705    8.6158

Постройте поверхность цены опции

Используйте Strike введите, чтобы задать забастовки. Увеличьте значение для NumFFT поддерживать более широкую область значений забастовок. Кроме того, Maturity введите может быть вектор. Установите ExpandOutput к "true" выводить поверхность как NStrikes- NMaturities матрица.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*[1/12 0.25 (0.5:0.5:3)]');
Times = yearfrac(Settle, Maturity);
Strike = (2:2:200)';

% Increase |NumFFT| to support a wider range of strikes
NumFFT = 2^13;

Call = optByBatesFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV,  MeanJ, JumpVol, JumpFreq, ...
    'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true);

[X,Y] = meshgrid(Times,Strike);

figure;
surf(X,Y,Call);
title('Price');
xlabel('Years to Option Expiry');
ylabel('Strike');
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);
zlim([0 80]);

Figure contains an axes object. The axes object with title Price contains an object of type surface.

Входные параметры

свернуть все

`Rate` — Постоянно составляемая безрисковая процентная ставка
десятичное число

Постоянно составляемая безрисковая процентная ставка в виде скалярного десятичного значения.

Типы данных: double

`AssetPrice` — Текущая цена базового актива
числовой

Текущая цена базового актива в виде числового значения с помощью скаляра или NINST- 1 или NColumns- 1 вектор.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для AssetPrice, смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

`Settle` — Расчетный день опции
последовательный номер даты | вектор символов даты | datetime | массив строк

Расчетный день опции в виде NINST- 1 или NColumns- 1 вектор с помощью последовательных чисел даты, векторов символов даты, массивов datetime или строковых массивов. Settle дата должна быть перед Maturity дата.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Settle, смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`Maturity` — Дата погашения опции
последовательный номер даты | вектор символов даты | datetime | массив строк

Дата погашения опции в виде NINST- 1 или NColumns- 1 вектор с помощью последовательных чисел даты, векторов символов даты, массивов datetime или строковых массивов.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Maturity, смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`OptSpec` — Определение опции
массив ячеек вектора символов со значениями `'call'` или `'put'` | массив строк со значениями `"call"` или `"put"`

Определение опции в виде NINST- 1 или NColumns- 1 вектор с помощью массива ячеек из символьных векторов или строковых массивов со значениями 'call' или 'put'.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для OptSpec, смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: cell | string

`Strike` — Значение цены исполнения опциона опции
числовой

Значение цены исполнения опциона опции в виде NINST- 1, NRows- 1, NRows- NColumns вектор из цен исполнения опциона.

Если этот вход является пустым массивом ([]), цены опции вычисляются на целом БПФ (или FRFT) сетка забастовки, которая определяется как exp(log-strike grid). Каждый столбец сетки логарифмической забастовки has 'NumFFT' точки с 'LogStrikeStep' разрядка, которые примерно сосредоточены вокруг каждого элемента log(AssetPrice).

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Strike, смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

`V0` — Начальное отклонение базового актива
числовой

Начальное отклонение актива подчиненного в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

`ThetaV` — Долгосрочное отклонение базового актива
числовой

Долгосрочное отклонение актива подчиненного в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

`Kappa` — Средняя скорость версии для отклонения базового актива
числовой

Средняя скорость версии для актива подчиненного в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

`SigmaV` — Энергозависимость отклонения базового актива
числовой

Энергозависимость отклонения актива подчиненного в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

`RhoSV` — Корреляция между процессами Вайнера для базового актива и его отклонения
числовой

Корреляция между процессами Вайнера для базового актива и его отклонения в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

`MeanJ` — Среднее значение случайного размера скачка процента
десятичное число

Среднее значение случайного размера скачка процента (J) в виде скалярного десятичного значения, где log(1+J) нормально распределено со средним значением (log(1+MeanJ)-0.5*JumpVol^2) и стандартное отклонение JumpVol.

Типы данных: double

`JumpVol` — Стандартное отклонение `log`(1+J)
десятичное число

Стандартное отклонение log(1+J), где J случайный размер скачка процента в виде скалярного десятичного значения.

Типы данных: double

`JumpFreq` — Ежегодная частота процесса скачка Пуассона
числовой

Ежегодная частота процесса скачка Пуассона в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

Аргументы name-value

Задайте дополнительные разделенные запятой пары Name,Value аргументы. Name имя аргумента и Value соответствующее значение. Name должен появиться в кавычках. Вы можете задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке, например: Name1, Value1, ..., NameN, ValueN.

Пример:

[Price, StrikeOut] = optByBatesFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV,MeanJ,JumpVol,JumpFreq,'Basis',7)

`Basis` — Базис дневного количества инструмента
0 (значение по умолчанию) | числовые значения: `0`,1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Дневное количество инструмента в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Basis' и скаляр с помощью поддерживаемого значения:

0 = фактический/фактический
1 = 30/360 (СИА)
2 = Фактический/360
3 = Фактический/365
4 = 30/360 (PSA)
5 = 30/360 (ISDA)
6 = 30/360 (европеец)
7 = Фактический/365 (японский язык)
8 = фактический/фактический (ICMA)
9 = Фактический/360 (ICMA)
10 = Фактический/365 (ICMA)
11 = 30/360E (ICMA)
12 = Фактический/365 (ISDA)
13 = ШИНА/252

Для получения дополнительной информации смотрите Базис.

Типы данных: double

`DividendYield` — Постоянно составляемое выражение базового актива
0 (значение по умолчанию) | числовой

Постоянно составляемый базовый актив уступает в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'DividendYield' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`VolRiskPremium` — Надбавка за риск энергозависимости
0 (значение по умолчанию) | числовой

Надбавка за риск энергозависимости в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'VolRiskPremium' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`LittleTrap` — Отметьте указание на Небольшую формулировку Прерывания Хестона
`true` (значение по умолчанию) | логический со значениями `true` или `false`

Отметьте указание на Небольшую формулировку Прерывания Хестона Albrecher и др. в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'LittleTrap' и логическое:

true — Используйте Albrecher и др. формулировка.
false — Используйте исходное формирование Хестона.

Типы данных: логический

`NumFFT` — Количество узлов решетки в переменной характеристической функции
4096 (значение по умолчанию) | числовой

Количество узлов решетки в переменной характеристической функции и в каждом столбце сетки логарифмической забастовки в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'NumFFT' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`CharacteristicFcnStep` — Интервал сетки переменной характеристической функции
0.01 (значение по умолчанию) | числовой

Интервал сетки переменной характеристической функции в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'CharacteristicFcnStep' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`LogStrikeStep` — Интервал сетки логарифмической забастовки
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (значение по умолчанию) | числовой

Интервал сетки логарифмической забастовки в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'LogStrikeStep' и скалярное числовое значение.

Примечание

Если (LogStrikeStep*CharacteristicFcnStep) 2*pi/NumFFT, БПФ используется. В противном случае FRFT используется.

Типы данных: double

`DampingFactor` — Коэффициент затухания для формулировки Топкого-места-Madan
1.5 (значение по умолчанию) | числовой

Коэффициент затухания для формулировки Топкого-места-Madan в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'DampingFactor' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`Quadrature` — Тип квадратуры
`"simpson"` (значение по умолчанию) | вектор символов с values:`'simpson'` или `'trapezoidal'` | массив строк со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

Тип квадратуры в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'Quadrature' и односимвольный векторный массив или массив строк со значением 'simpson' или 'trapezoidal'.

Типы данных: char | string

`ExpandOutput` — Отметьте, чтобы расширить выходные параметры
`false` (выходными параметрами является `NINST`- `1` векторы) (значение по умолчанию) | логический со значением `true` или `false`

Отметьте, чтобы расширить выходные параметры в виде разделенной запятой пары, состоящей из 'ExpandOutput' и логическое:

true — Если true, выходными параметрами является NRows- NColumns матрицы. NRows количество борьбы за каждый столбец, и это определяется Strike входной параметр. Например, Strike может быть NRows- 1 вектор или NRows- NColumns матрица. Если Strike пусто, NRows равно NumFFT. NColumns определяется размерами AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec, который должен все быть или скаляром или NColumns- 1 векторы.
false — Если false, выходными параметрами является NINST- 1 векторы. Кроме того, входные параметры Strike, AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec должен все быть или скаляр или NINST- 1 векторы.

Типы данных: логический

Выходные аргументы

свернуть все

`Price` — Цены опции
числовой

Цены опции, возвращенные как NINST- 1, или NRows- NColumns, В зависимости от ExpandOutput.

`StrikeOut` — Забастовки, соответствующие `Price`
числовой

Забастовки, соответствующие Price, возвращенный как NINST- 1, или NRows- NColumns, В зависимости от ExpandOutput.

Больше о

свернуть все

Опция ванили

vanilla option является категорией опций, которая включает только самые стандартные компоненты.

Опция ванили имеет дату истечения срока и прямую цену исполнения опциона. Американские параметры стиля и европейские параметры стиля оба категоризированы как опции ванили.

Выплата для опции ванили следующие:

Для вызова: $\max (S t - K, 0)$
Для помещенного: $\max (K - S t, 0)$

где:

St является ценой базового актива во время t.

K является ценой исполнения опциона.

Для получения дополнительной информации см. Опцию Ванили.

Убавляет стохастическую модель диффузии скачка энергозависимости

Модель Бэйтса (Бэйтс (1996)) является расширением модели Хестона, где в дополнение к стохастической энергозависимости параметры диффузии скачка, похожие на Мертон (1976), были также добавлены, чтобы смоделировать внезапные перемещения цен активов.

Стохастическое дифференциальное уравнение:

$\begin{array}{l} d S_{t} = (r - q - λ_{p} μ_{J}) S_{t} d t + \sqrt{v_{t}} S_{t} d W_{t} + J S_{t} d P_{t} \\ d v_{t} = κ (θ - v_{t}) d t + σ_{v} \sqrt{v_{t}} d W_{t} \\ E [d W_{t} d W_{t}^{v}] = p d t \\ prob (d P_{t} = 1) = λ_{p} d t \end{array}$

где

r является непрерывным безрисковым уровнем.

q является непрерывной дивидендной доходностью.

S _t является ценой активов во время t.

v _t является отклонением цен активов во время t.

J является случайным условным выражением размера скачка процента на появлении скачка, где ln(1+J) нормально распределено со средним значением $\ln (1 + μ_{J}) - \frac{δ^{2}}{2}$ и стандартное отклонение δ, и (1+J) имеет логарифмически нормальное распределение:

$\frac{1}{(1 + J) δ \sqrt{2 π}} \exp {{\frac{- [\ln (1 + J) - (\ln (1 + μ_{J}) - \frac{δ^{2}}{2}]}{2 δ^{2}}}^{2}}$

v ₀ является начальным отклонением цены активов в t = 0 (v ₀> 0).

θ является долгосрочным уровнем отклонения для (θ> 0).

κ является скоростью возвращения к среднему уровню для (κ> 0).

σ _v является энергозависимостью отклонения для (σ _v> 0).

p является корреляцией между процессами Вайнера W _t и $W_{t}^{v}$ для (-1 ≤ p ≤ 1).

μ _J является средним значением J для (μ _J>-1).

δ является стандартным отклонением ln(1+J) для (δ ≥ 0).

$λ_{p}$ ежегодная частота (интенсивность) Пуассоновского процесса P _t для ( $λ_{p}$ ≥ 0).

Характеристическая функция $f_{B a t e s_{j} (ϕ)}$ для j = 1 (средняя мера цен активов) и j =2 (нейтральная к риску мера):

$\begin{array}{l} f_{B a t e s (ϕ)} = \exp (C_{j} + D_{j} v_{0} + i ϕ \ln S_{t}) \exp {(λ_{p} τ (1 + μ_{J})}^{m_{j} + \frac{1}{2}} [{(1 + μ_{j})}^{i ϕ} e^{δ^{2} (m_{j} i ϕ + \frac{{(i ϕ)}^{2}}{2})} - 1] - λ_{p} τ μ_{J} i ϕ) \\ m_{j} = {\begin{cases} m_{1} = \frac{1}{2} \\ m_{2} = - \frac{1}{2} \end{cases}} \\ C_{j} = (r - q) i ϕ τ + \frac{κ θ}{σ_{v}^{2}} [(b_{j} - p σ_{v} i ϕ + d_{j}) τ - 2 \ln (\frac{1 - g_{j} e^{d_{j} τ}}{1 - g_{j}})] \\ D j = \frac{b_{j} - p σ_{v} i ϕ + d_{j}}{σ_{v}^{2}} (\frac{1 - e^{d_{j} τ}}{1 - g_{j} e^{d_{j} τ}}) \\ g_{j} = \frac{b_{j} - p σ_{v} i ϕ + d_{j}}{b_{j} - p σ_{v} i ϕ - d_{j}} \\ d_{j} = \sqrt{{(b_{j} - p σ_{v} i ϕ)}^{2} - σ_{v}^{2} (2 u_{j} i ϕ - ϕ^{2})} \\ где для j = 1, 2 : \\ u_{1} = \frac{1}{2}, u_{2} = - \frac{1}{2}, b_{1} = κ + λ_{V o l R i s k} - p σ_{v}, b_{2} = κ + λ_{V o l R i s k} \end{array}$

где

ϕ является переменной характеристической функции.

ƛ _VolRisk является надбавкой за риск энергозависимости.

τ является временем к зрелости для (τ = T - t).

i является модульным мнимым числом для (i²= -1).

Определения для C _j и D _j под “Небольшим Прерыванием Хестона” Albrecher и др. (2007):

$\begin{array}{l} C_{j} = (r - q) i ϕ τ + \frac{κ θ}{σ_{v}^{2}} [(b_{j} - p σ_{v} i ϕ - d_{j}) τ - 2 \ln (\frac{1 - ε_{j} e^{- d_{j} τ}}{1 - ε_{j}})] \\ D j = \frac{b_{j} - p σ_{v} i ϕ - d_{j}}{σ_{v}^{2}} (\frac{1 - e^{- d_{j} τ}}{1 - ε_{j} e^{- d_{j} τ}}) \\ ε_{j} = \frac{b_{j} - p σ_{v} i ϕ - d_{j}}{b_{j} - p σ_{v} i ϕ + d_{j}} \end{array}$

Формулировка топкого-места-Madan

Топкое место и Мадан (1999) формулировка являются популярной модифицированной реализацией Хестона (1993) среда.

Вместо того, чтобы вычислять вероятности, P ₁ и P ₂ как промежуточное звено продвигается, Топкое место и Мадан разработали альтернативное выражение так, чтобы взятие его обратного преобразования Фурье дало саму цену опции непосредственно.

$\begin{array}{l} C a l l (k) = \frac{e^{- α k}}{π} \int_{0}^{\infty} Re [e^{- i u k} ψ (u)] d u \\ ψ (u) = \frac{e^{- r τ} f_{2} (ϕ = (u - (α + 1) i))}{α^{2} + α - u^{2} + i u (2 α + 1)} \\ P u t (K) = C a l l (K) + K e^{- r τ} - S_{t} e^{- q τ} \end{array}$

где

r является непрерывным безрисковым уровнем.

q является непрерывной дивидендной доходностью.

S _t является ценой активов во время t.

τ время к зрелости (τ = T-t).

Call (K) является досрочной ценой в забастовке K.

Put (K) является помещенной ценой в забастовке K

i является модульным мнимым числом (i²= -1)

ϕ переменная характеристической функции.

α коэффициент затухания.

u является переменной характеристической функции для интегрирования, где ϕ = (u - (α + 1) i).

f ₂ (ϕ) является характеристической функцией для P ₂.

P ₂ является вероятностью S _t> K под нейтральной к риску мерой для модели.

Чтобы применить БПФ или FRFT к этой формулировке, переменная характеристической функции для интегрирования, u, дискретизируется в NumFFT(N) указывает с размером шага CharacteristicFcnStep (Δu) и логарифмическая забастовка k дискретизируются в точки N с размером шага LogStrikeStep(Δk).

Дискретизированная переменная характеристической функции для интегрирования, u _j (для j = 1,2,3, …, N), имеет минимальное значение 0 и максимальное значение (N-1) (Δu), и это аппроксимирует непрерывный диапазон интегрирования от 0 до бесконечности.

Дискретизированная сетка логарифмической забастовки, k _n (для n = 1, 2, 3, N) приблизительно сосредоточена вокруг ln(S _t), с минимальным значением

$\ln (S_{t}) - \frac{N}{2} Δ k$

и максимальное значение

$\ln (S_{t}) + (\frac{N}{2} - 1) Δ k$

Где минимальная допустимая забастовка

$S_{t} \exp (- \frac{N}{2} Δ k)$

и максимальная допустимая забастовка

$S_{t} \exp [(\frac{N}{2} - 1) Δ k]$

В результате дискретизации выражение для колл-опциона становится

$C a l l (k_{n}) = Δ u \frac{e^{- α k_{n}}}{π} \sum_{j = 1}^{N} Re [e^{- i Δ k Δ u (j - 1) (n - 1) e^{i u_{j}} [\frac{N Δ k}{2} - \ln (S_{t})]} ψ (u_{j})] w_{j}$

где

Δu является размером шага дискретизированной переменной характеристической функции для интегрирования.

Δk является размером шага дискретизированной логарифмической забастовки.

N является количеством точек FFT/FRFT

w _j является весами для квадратуры, используемой для аппроксимации интеграла.

БПФ используется, чтобы выполнить вышеупомянутое выражение, если Δk и Δu подвергаются следующему ограничению:

$Δ k Δ u = (\frac{2 π}{N})$

в противном случае функции используют метод FRFT, описанный в Chourdakis (2005).

Ссылки

[1] Albrecher, H., Майер, P., Schoutens, W. и Tistaert, J. "Небольшое прерывание Хестона". Рабочий документ, Линц и технологический университет Граца, K.U. Левен, финансовые рынки ING, 2006.

[2] Убавляет, D. S. “Скачки и стохастическая энергозависимость: процессы обменного курса, неявные в опциях немецкой марки”. Анализ финансовых исследований. Vol 9. № 1. 1996.

[3] Топкое место, P. и Д.Б. Мадан. “Оценка опции Используя быстрое преобразование Фурье”. Журнал вычислительных финансов. Vol 2. № 4. 1999.

[4] Chourdakis, K. “Оценка опции Используя дробный БПФ”. Журнал вычислительных финансов. 2005.

[5] Хестон, S. L. “Решение закрытой формы для опций со стохастической энергозависимостью с приложениями к опциям связи и валюты”. Анализ финансовых исследований. Vol 6. № 2. 1993.

Темы

Введенный в R2018a

Документация

optByBatesFFT

Синтаксис

Описание

Примеры

Рабочий процесс для графического вывода поверхности цены опции Используя убавляет модель

Входные параметры

Rate — Постоянно составляемая безрисковая процентная ставка десятичное число

AssetPrice — Текущая цена базового актива числовой

Settle — Расчетный день опции последовательный номер даты | вектор символов даты | datetime | массив строк

Maturity — Дата погашения опции последовательный номер даты | вектор символов даты | datetime | массив строк

OptSpec — Определение опции массив ячеек вектора символов со значениями 'call' или 'put' | массив строк со значениями "call" или "put"

Strike — Значение цены исполнения опциона опции числовой

V0 — Начальное отклонение базового актива числовой

ThetaV — Долгосрочное отклонение базового актива числовой

Kappa — Средняя скорость версии для отклонения базового актива числовой

SigmaV — Энергозависимость отклонения базового актива числовой

RhoSV — Корреляция между процессами Вайнера для базового актива и его отклонения числовой

MeanJ — Среднее значение случайного размера скачка процента десятичное число

JumpVol — Стандартное отклонение log(1+J) десятичное число

JumpFreq — Ежегодная частота процесса скачка Пуассона числовой

Аргументы name-value

Basis — Базис дневного количества инструмента0 (значение по умолчанию) | числовые значения: 0,1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

DividendYield — Постоянно составляемое выражение базового актива0 (значение по умолчанию) | числовой

VolRiskPremium — Надбавка за риск энергозависимости0 (значение по умолчанию) | числовой

LittleTrap — Отметьте указание на Небольшую формулировку Прерывания Хестона true (значение по умолчанию) | логический со значениями true или false

NumFFT — Количество узлов решетки в переменной характеристической функции4096 (значение по умолчанию) | числовой

CharacteristicFcnStep — Интервал сетки переменной характеристической функции0.01 (значение по умолчанию) | числовой

LogStrikeStep — Интервал сетки логарифмической забастовки 2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep (значение по умолчанию) | числовой

DampingFactor — Коэффициент затухания для формулировки Топкого-места-Madan1.5 (значение по умолчанию) | числовой

Quadrature — Тип квадратуры "simpson" (значение по умолчанию) | вектор символов с values:'simpson' или 'trapezoidal' | массив строк со значениями: "simpson" или "trapezoidal"

ExpandOutput — Отметьте, чтобы расширить выходные параметры false (выходными параметрами является NINST- 1 векторы) (значение по умолчанию) | логический со значением true или false

Выходные аргументы

Price — Цены опции числовой

StrikeOut — Забастовки, соответствующие Price числовой

Больше о

Опция ванили

Убавляет стохастическую модель диффузии скачка энергозависимости

Формулировка топкого-места-Madan

Ссылки

Смотрите также

Темы

Документация Financial Instruments Toolbox

Поддержка

`Rate` — Постоянно составляемая безрисковая процентная ставка
десятичное число

`AssetPrice` — Текущая цена базового актива
числовой

`Settle` — Расчетный день опции
последовательный номер даты | вектор символов даты | datetime | массив строк

`Maturity` — Дата погашения опции
последовательный номер даты | вектор символов даты | datetime | массив строк

`OptSpec` — Определение опции
массив ячеек вектора символов со значениями `'call'` или `'put'` | массив строк со значениями `"call"` или `"put"`

`Strike` — Значение цены исполнения опциона опции
числовой

`V0` — Начальное отклонение базового актива
числовой

`ThetaV` — Долгосрочное отклонение базового актива
числовой

`Kappa` — Средняя скорость версии для отклонения базового актива
числовой

`SigmaV` — Энергозависимость отклонения базового актива
числовой

`RhoSV` — Корреляция между процессами Вайнера для базового актива и его отклонения
числовой

`MeanJ` — Среднее значение случайного размера скачка процента
десятичное число

`JumpVol` — Стандартное отклонение `log`(1+J)
десятичное число

`JumpFreq` — Ежегодная частота процесса скачка Пуассона
числовой

`Basis` — Базис дневного количества инструмента
0 (значение по умолчанию) | числовые значения: `0`,1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

`DividendYield` — Постоянно составляемое выражение базового актива
0 (значение по умолчанию) | числовой

`VolRiskPremium` — Надбавка за риск энергозависимости
0 (значение по умолчанию) | числовой

`LittleTrap` — Отметьте указание на Небольшую формулировку Прерывания Хестона
`true` (значение по умолчанию) | логический со значениями `true` или `false`

`NumFFT` — Количество узлов решетки в переменной характеристической функции
4096 (значение по умолчанию) | числовой

`CharacteristicFcnStep` — Интервал сетки переменной характеристической функции
0.01 (значение по умолчанию) | числовой

`LogStrikeStep` — Интервал сетки логарифмической забастовки
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (значение по умолчанию) | числовой

`DampingFactor` — Коэффициент затухания для формулировки Топкого-места-Madan
1.5 (значение по умолчанию) | числовой

`Quadrature` — Тип квадратуры
`"simpson"` (значение по умолчанию) | вектор символов с values:`'simpson'` или `'trapezoidal'` | массив строк со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

`Price` — Цены опции
числовой

`StrikeOut` — Забастовки, соответствующие `Price`
числовой