Ограниченная проблема минимизации

Для этой проблемы функция фитнеса, чтобы минимизировать является простой функцией 2D переменных X и Y.

camxy = @(X,Y)(4 - 2.1.*X.^2 + X.^4./3).*X.^2 + X.*Y + (-4 + 4.*Y.^2).*Y.^2;

Эта функция описана в Диксоне и Сзего [1].

Кроме того, проблема имеет нелинейные ограничения и границы.

   x*y + x - y + 1.5 <= 0  (nonlinear constraint)
   10 - x*y <= 0           (nonlinear constraint)
   0 <= x <= 1             (bound)
   0 <= y <= 13            (bound)

Постройте нелинейную область ограничений на объемной поверхностной диаграмме функции фитнеса. Ограничения ограничивают решение небольшой области выше обеих красных кривых.

x1 = linspace(0,1);
y1 = (-x1 - 1.5)./(x1 - 1);
y2 = 10./x1;
[X,Y] = meshgrid(x1,linspace(0,13));
Z = camxy(X,Y);
surf(X,Y,Z,"LineStyle","none")
hold on
z1 = camxy(x1,y1);
z2 = camxy(x1,y2);
plot3(x1,y1,z1,'r-',x1,y2,z2,'r-')
xlim([0 1])
ylim([0 13])
zlim([0,max(Z,[],"all")])
hold off

Создайте переменные оптимизации, проблему и ограничения

Чтобы настроить эту проблему, создайте переменные x оптимизации и y. Установите границы, когда вы создадите переменные.

x = optimvar("x","LowerBound",0,"UpperBound",1);
y = optimvar("y","LowerBound",0,"UpperBound",13);

Создайте цель как выражение оптимизации.

cam = camxy(x,y);

Создайте задачу оптимизации с этой целевой функцией.

prob = optimproblem("Objective",cam);

Создайте два нелинейных ограничения неравенства и включайте их в проблему.

prob.Constraints.cons1 = x*y + x - y + 1.5 <= 0;
prob.Constraints.cons2 = 10 - x*y <= 0;

Рассмотрите проблему.

show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x, y

	minimize :
       (((((4 - (2.1 .* x.^2)) + (x.^4 ./ 3)) .* x.^2) + (x .* y)) + (((-4)
     + (4 .* y.^2)) .* y.^2))


	subject to cons1:
       ((((x .* y) + x) - y) + 1.5) <= 0

	subject to cons2:
       (10 - (x .* y)) <= 0

	variable bounds:
       0 <= x <= 1

       0 <= y <= 13

Решите задачу

Решите задачу, задав ga решатель.

[sol,fval] = solve(prob,"Solver","ga")

Solving problem using ga.
Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance
 and constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

sol = struct with fields:
    x: 0.8122
    y: 12.3103

fval = 9.1268e+04

Добавьте визуализацию

Чтобы наблюдать прогресс решателя, задайте опции тот выбор две функции построения графика. Функция построения графика gaplotbestf строит лучшее значение целевой функции в каждой итерации и функцию построения графика gaplotmaxconstr строит максимальное нарушение ограничений в каждой итерации. Установите эти две функции построения графика в массиве ячеек. Кроме того, информация об отображении о прогрессе решателя в Командном окне путем установки Display опция к 'iter'.

options = optimoptions(@ga,...
    'PlotFcn',{@gaplotbestf,@gaplotmaxconstr},...
    'Display','iter');

Запустите решатель, включая options аргумент.

[sol,fval] = solve(prob,"Solver","ga","Options",options)

Solving problem using ga.

Single objective optimization:
2 Variable(s)
2 Nonlinear inequality constraint(s)

Options:
CreationFcn:       @gacreationuniform
CrossoverFcn:      @crossoverscattered
SelectionFcn:      @selectionstochunif
MutationFcn:       @mutationadaptfeasible

                              Best       Max        Stall
Generation  Func-count        f(x)     Constraint  Generations
    1           2520       91357.8            0      0
    2           4982       91324.1     4.55e-05      0
    3           7914       97166.6            0      0
    4          16145       91268.4    0.0009997      0
Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance
 and constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

sol = struct with fields:
    x: 0.8123
    y: 12.3103

fval = 9.1268e+04

Нелинейные ограничения вызывают ga решить много подпроблем в каждой итерации. Как показано и в графиках и в итеративном отображении, процесс решения имеет немного итераций. Однако Func-count столбец в итеративном отображении показывает много вычислений функции на итерацию.

Неподдерживаемые функции

Если ваши объективные или нелинейные ограничительные функции не поддерживаются (см. Поддерживаемые Операции для Переменных и выражений Оптимизации), используйте fcn2optimexpr преобразовывать их в форму, подходящую для подхода, основанного на проблеме. Например, предположите это вместо ограничения $$xy\ge 10$$, у вас есть ограничение $$I_1(x)+I_1(y)\ge 10$$, где $$I_1(x)$$ модифицированная Функция Бесселя besseli(1,x). (Функции Бесселя не являются поддерживаемыми функциями.) Создают это ограничение с помощью fcn2optimexpr. Во-первых, создайте выражение оптимизации для $$I_1(x)+I_1(y)$$.

bfun = fcn2optimexpr(@(t,u)besseli(1,t) + besseli(1,u),x,y);

Затем замените ограничение cons2 с ограничением bfun >= 10.

prob.Constraints.cons2 = bfun >= 10;

Решите задачу. Решение отличается, потому что область ограничений отличается.

[sol2,fval2] = solve(prob,"Solver","ga","Options",options)

Solving problem using ga.

Single objective optimization:
2 Variable(s)
2 Nonlinear inequality constraint(s)

Options:
CreationFcn:       @gacreationuniform
CrossoverFcn:      @crossoverscattered
SelectionFcn:      @selectionstochunif
MutationFcn:       @mutationadaptfeasible

                              Best       Max        Stall
Generation  Func-count        f(x)     Constraint  Generations
    1           2512       974.044            0      0
    2           4974       960.998            0      0
    3           7436        963.12            0      0
    4          12001        960.83    0.0009335      0
Optimization terminated: average change in the fitness value less than options.FunctionTolerance
 and constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

sol2 = struct with fields:
    x: 0.4999
    y: 3.9979

fval2 = 960.8300

Ссылки

[1] Диксон, L. C. W. и G.P. Szego (редакторы).. К глобальной оптимизации 2. Северная Голландия: Elsevier Science Ltd., Амстердам, 1978.