Что такое полиномиальные модели?

Структура полиномиальной модели

Полиномиальная модель использует обобщенное понятие передаточных функций, чтобы описать отношение между входом, u (t), выход y (t), и шумовым e (t) с помощью уравнения:

$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} e (t)$

Переменные A, B, C, D и F являются полиномами, описанными в операторе сдвига времени q^-1. _ui является i-ым входом, ню является общим количеством входных параметров, и _nki является i-ой входной задержкой, которая характеризует транспортную задержку. Отклонение белого шума e (t) принято, чтобы быть $λ$ . Для получения дополнительной информации об операторе сдвига времени, смотрите Понимание Оператора Сдвига времени q.

На практике не все полиномы одновременно активны. Часто, более простые формы, такие как ARX, ARMAX, Ошибка на выходе и Поле-Jenkins используются. У вас также есть опция представления интегратора в источнике шума так, чтобы общая модель приняла форму:

$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} \frac{1}{1 - q^{- 1}} e (t)$

Для получения дополнительной информации смотрите Различные Настройки Полиномиальных моделей.

Можно оценить полиномиальные модели, использующие время или данные частотной области.

Для оценки необходимо задать порядок модели в виде набора целых чисел, которые представляют количество коэффициентов для каждого полинома, который вы включаете в свою выбранную структуру — na для A, nb для B, nc для C, без обозначения даты для D и nf для F. Необходимо также задать количество отсчетов nk соответствие входной задержке — потеря времени — данный количеством отсчетов, прежде чем выход ответит на вход.

Количество коэффициентов в полиномах знаменателя равно количеству полюсов, и количество коэффициентов в полиномах числителя равно количеству нулей плюс 1. Когда движущие силы от u (t) к y (t) содержат задержку nk выборок, затем первые nk коэффициенты B являются нулем.

Для получения дополнительной информации о семействе моделей передаточной функции, смотрите соответствующий раздел в System Identification: Теория для Пользователя, Второго Выпуска, Lennart Ljung, PTR Prentice Hall, 1999.

Понимание Оператора Сдвига времени q

Общее полиномиальное уравнение записано в терминах оператора сдвига времени q^–1. Чтобы изучить этот оператор сдвига времени, рассмотрите следующее разностное уравнение дискретного времени:

$\begin{array}{l} y (t) + a_{1} y (t - T) + a_{2} y (t - 2 T) = \\ b_{1} u (t - T) + b_{2} u (t - 2 T) \end{array}$

где y (t) является выход, u (t) является входом, и T является шагом расчета. q^-1 оператор сдвига времени, который сжато представляет такое использование разностных уравнений $q^{- 1} u (t) = u (t - T)$ :

$\begin{array}{l} y (t) + a_{1} q^{- 1} y (t) + a_{2} q^{- 2} y (t) = \\ b_{1} q^{- 1} u (t) + b_{2} q^{- 2} u (t) \\ или \\ A (q) y (t) = B (q) u (t) \end{array}$

В этом случае, $A (q) = 1 + a_{1} q^{- 1} + a_{2} q^{- 2}$ и $B (q) = b_{1} q^{- 1} + b_{2} q^{- 2}$ .

Примечание

Это q описание абсолютно эквивалентно форме Z-преобразования: q соответствует z.

Различные настройки полиномиальных моделей

Эти структуры модели являются подмножествами следующего общего полиномиального уравнения:

$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} e (t)$

Структуры модели отличаются тем, сколько из этих полиномов включено в структуру. Таким образом различные структуры модели обеспечивают различные уровни гибкости для моделирования динамики и шумовых характеристик.

Следующая таблица обобщает общие линейные структуры полиномиальной модели, поддержанные продуктом System Identification Toolbox™. Если вы имеете определенную структуру в виду для вашего приложения, можно решить, имеют ли динамика и шум общие или различные полюса. (q) соответствует полюсам, которые характерны для динамической модели и шумовой модели. Используя общие полюса для динамики и шума полезно, когда воздействия вводят систему во входе. F _i определяет полюса, уникальные для системной динамики, и D определяет полюса, уникальные для воздействий.

Структура модели	Уравнение	Описание
ARX	$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} B_{i} (q) u_{i} (t - n k_{i}) + e (t)$	Шумовая модель $\frac{1}{A}$ и шум связывается с моделью динамики. ARX не позволяет вам шум модели и динамика независимо. Оцените, что модель ARX получает простую модель в хороших отношениях сигнал-шум.
ARIX	$A y = B u + \frac{1}{1 - q^{- 1}} e$	Расширяет структуру ARX включением интегратора в источнике шума, e (t). Это полезно в случаях, где воздействие не является стационарным.
ARMAX	$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} B_{i} (q) u_{i} (t - n k_{i}) + C (q) e (t)$	Расширяет структуру ARX путем обеспечения большей гибкости для моделирования шумового использования параметров C (скользящее среднее значение белого шума). Используйте ARMAX, когда воздействия доминирования войдут во входе. Такие воздействия называются воздействиями загрузки.
ARIMAX	$A y = B u + C \frac{1}{1 - q^{- 1}} e$	Расширяет структуру ARMAX включением интегратора в источнике шума, e (t). Это полезно в случаях, где воздействие не является стационарным.
Поле-Jenkins (BJ)	$y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} e (t)$	Обеспечивает абсолютно независимую параметризацию для динамики и шума с помощью рациональных полиномиальных функций. Используйте модели BJ, когда шум не входит во входе, но первичен воздействие измерения, Эта структура обеспечивает дополнительную гибкость для моделирования шума.
Ошибка на выходе (OE)	$y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + e (t)$	Используйте, когда это необходимо, чтобы параметрировать динамику, но не хотеть оценивать шумовую модель. Примечание В этом случае, шумовые модели $H = 1$ в общем уравнении и источнике белого шума e (t) влияет только на выход.

Полиномиальные модели могут содержать одни или несколько выходных параметров и нуля или больше входных параметров.

Поддержки приложений System Identification прямая оценка ARX, ARMAX, моделей OE и BJ. Можно добавить шумовой интегратор в ARX, ARMAX и формы BJ. Однако можно использовать polyest оценить все пять полиномов или любое подмножество полиномов в общем уравнении. Для получения дополнительной информации о работе с pem, смотрите Используя полиоценку, чтобы Оценить Полиномиальные модели.

Представление непрерывного времени полиномиальных моделей

В непрерывное время общее уравнение частотного диапазона записано в терминах переменной Преобразования Лапласа s, который соответствует операции дифференцирования:

$A (s) Y (s) = \frac{B (s)}{F (s)} U (s) + \frac{C (s)}{D (s)} E (s)$

В случае непрерывного времени базовая модель временного интервала является дифференциальным уравнением, и целые числа порядка модели представляют количество предполагаемого числителя и коэффициентов знаменателя. Например, _na=3 и _nb=2 соответствуют следующей модели:

$\begin{array}{l} A (s) = s^{4} + a_{1} s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{3} \\ B (s) = b_{1} s + b_{2} \end{array}$

Можно только оценить полиномиальные модели непрерывного времени непосредственно с помощью данных частотной области непрерывного времени. В этом случае необходимо установить Ts свойство данных к 0, чтобы указать, что вы имеете данные частотной области непрерывного времени и используете oe команда, чтобы оценить полиномиальную модель Output-Error. Модели непрерывного времени других структур, такие как ARMAX или BJ не могут быть оценены. Можно получить те формы только прямой конструкцией (использование idpoly), преобразование из других типов модели, или путем преобразования модели дискретного времени в непрерывное время (d2c). Обратите внимание на то, что форма OE представляет передаточную функцию, описанную как отношение числителя (B) и знаменатель (F) полиномы. Поскольку такие формы рассматривают использование моделей передаточной функции, представленных idtf модели. Можно оценить модели передаточной функции с помощью и времени и данных частотной области. В дополнение к полиному числителя и полиному знаменателя можно также оценить транспортные задержки. Смотрите idtf и tfest для получения дополнительной информации.

Мультивыведите полиномиальные модели

Для полиномиальной модели MIMO с ny выходные параметры и входные параметры nu, отношение между вводами и выводами для l^th выведите может быть записан как:

$\sum_{j = 1}^{n y} A_{l j} (q) y_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{l i} (q)}{F_{l i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C_{l} (q)}{D_{l} (q)} e_{l} (t)$

Массив полинома A (_Aij; i =1:ny, j =1:ny), хранятся в A свойство idpoly объект. Диагональные полиномы (_Aii; i =1:ny), monic, то есть, ведущие коэффициенты являются тем. Недиагональные полиномы (_Aij; i ≠j ), содержат задержку по крайней мере одной выборки, то есть, они начинают с нуля. Для получения дополнительной информации о порядках мультивыходных моделей смотрите Полиномиальные Размеры и Порядки Мультивыходных Полиномиальных моделей.

Можно создать мультивыходные полиномиальные модели при помощи idpoly команда или оценивает их использование ar, arx, bj, oe, armax, и polyest. В приложении можно оценить такие модели путем выбора набора мультивыходных данных и устанавливания порядков соответственно в диалоговом окне Polynomial Models.

Смотрите также

idpoly | ar | arx | bj | oe | armax | polyest

Связанные примеры

Больше о

Данные, поддержанные полиномиальными моделями

Документация