Partial Differential Equation Toolbox™ обеспечивает refinemesh функция для глобальной переменной, универсальная форма поймала в сети улучшение для 2D конфигураций. Это делит каждый треугольник на четыре подобных треугольника путем создания новых углов в середине сторон, корректировки для кривых контуров. Можно оценить точность числового решения путем сравнения результатов последовательности последовательно усовершенствованных сеток. Если решение является гладким достаточно, более точные результаты могут быть получены экстраполяцией.

Решения уравнений часто имеют геометрические функции, такие как локализованные сильные градиенты. Примером технической важности в эластичности является концентрация напряжения, происходящая в повторно используемых углах, таких как MATLAB L-образная мембрана. В таких случаях более эффективно совершенствовать mesh выборочно. Выбор, который основан на оценках ошибок в вычисленных решениях, называется адаптивным улучшением mesh.

Адаптивное улучшение генерирует последовательность решений на последовательно более прекрасных сетках при каждом выборе этапа и совершенствовании тех элементов, которые, как оценивается, способствуют больше всего ошибке. Процесс stops34, когда максимальное количество элементов превышено, когда каждый треугольник вносит меньше, чем предварительно установленный допуск, или когда предел итерации достигнут. Можно обеспечить начальную mesh или позволить adaptmesh вызвать initmesh автоматически. Вы также выбираете параметры критериев выбора и завершения. Три компонента алгоритма являются ошибочной функцией индикатора (вычисляет оценку ошибочного вклада элемента), установка для очистки mesh (выбирает и подразделяет элементы), и критерии завершения.

Адаптация является процессом обратной связи. Это легко применяется к большей области значений проблем, чем те, для которых был адаптирован ее проект. Оценки, критерии выбора, и так далее должны быть оптимальными для предоставления самого точного решения в фиксированных затратах или самого низкого вычислительного усилия для заданной точности. Такие результаты были доказаны только для проблем модели, но обычно, equidistribution эвристика была найдена почти оптимальной. Размеры элемента должны быть выбраны так, чтобы каждый элемент внес то же самое в ошибку. Теория адаптивных схем использует априорные границы для решений в терминах исходной функции f. Для неэллиптических проблем не могут существовать такие границы, в то время как схема улучшения все еще четко определена и работает.

Ошибочная функция индикатора, используемая в программном обеспечении, является поэлементной оценкой вклада, на основе [1] и [2]. Для уравнения Пуассона –Δu = f на Ω, следующей ошибочной оценке для FEM-решения _uh содержит в _2-норме L $$\Vert \cdot \Vert$$:

где h = h (x) является локальным размером mesh, и

Заключенное в фигурные скобки количество является скачком в производной по нормали v через ребро τ, h _τ является длиной ребра τ, и сумма работает _{на основе Ei}, набора всех внутренних ребер триангуляции. Коэффициенты α и β независимы от триангуляции. Связанный превращен в поэлементную ошибочную функцию индикатора E (K) для элемента K путем подведения итогов вкладов от его ребер.

Общая форма ошибочного индикатора функционирует для эллиптического уравнения

где $$n_{\tau }$$ модуль, нормальный из ребра, τ и заключенный в фигурные скобки термин являются скачком в движении через ребро элемента. L ₂ нормы вычисляется по элементу K. pdejmps функция вычисляет этот ошибочный индикатор.

Улучшение mesh Partial Differential Equation Toolbox приспособлено к эллиптическим проблемам. Для точности и плохо создания условий, такие проблемы требуют, чтобы элементы не отклонились слишком много от того, чтобы быть равносторонним. Таким образом, даже в чрезвычайно одномерных функциях решения, таких как пограничные слои, метод улучшения должен гарантировать треугольники разумной формы.

Когда элемент усовершенствован, новые узлы появляются на его midsides, и если соседний треугольник не усовершенствован похожим способом, это, как говорят, имеет висящие узлы. Итоговая триангуляция не должна иметь никаких узлов зависания, и они удалены путем разделения соседних треугольников. Чтобы избежать дальнейшего ухудшения треугольного качества в последовательных поколениях, "самая длинная схема" деления пополам ребра используется в [3], в котором всегда разделяется самая длинная сторона треугольника, каждый раз, когда любая из сторон имеет висящие узлы. Это гарантирует, что никакой угол не еще меньше, чем половина самого маленького угла исходной триангуляции.

Существует два критериев выбора. Один, pdeadworst, совершенствовал все элементы со значением ошибочного индикатора, больше, чем половина худшего из любого элемента. Другой, pdeadgsc, совершенствовал все элементы со значением индикатора, превышающим заданный безразмерный допуск. Сравнение с допуском правильно масштабируется относительно области, размера решения, и так далее.

Для сглаженных решений ошибка equidistribution может быть достигнута pdeadgsc выбор, если максимальное количество элементов является достаточно большим. pdeadworst адаптация только завершает работу, когда максимальное количество элементов было превышено или когда предел итерации достигнут. Этот режим является естественным, когда решение показывает сингулярность. Ошибочный индикатор элементов рядом с сингулярностью никогда не может исчезать, независимо от размера элемента, делая equidistribution невозможный.