Интерпретация H-нормы-по-бесконечности

Нормы сигналов и систем

Существует несколько способов задать нормы скалярного сигнала e (t) во временном интервале. Мы будем часто использовать 2-норму, (2-норма L), для математического удобства, которое задано как

e2:=(e(t)2dt)12.

Если этот интеграл конечен, то сигнал e интегрируем с квадратом, обозначен как e ∊ L2. Для сигналов с векторным знаком

e(t)=[e1(t)e2(t)en(t)],

2-норма задана как

e2:=(e(t)22dt)12=(eT(t)e(t)dt)12.

В µ-tools динамические системы, с которыми мы имеем дело, исключительно линейны с моделью в пространстве состояний

[x˙e]=[ABCD][xd],

или, в форме передаточной функции,

e (s) = T (s) d (s), T (s): = C (СИ – A)–1B + D

Двумя математически удобными мерами матрицы T (s) передачи в частотном диапазоне является матричный H2 и H нормы,

T2:=[12πT(jω)F2dω]12T:=maxσ¯ωR[T(jω)],

где норма Фробениуса (см. MATLAB® norm команда) комплексной матрицы M

MF:=Trace(M*M).

Обе из этих норм передаточной функции имеют интерпретации временного интервала ввода/вывода. Если, начинающий с начального условия x (0) = 0, два сигнала d и e связаны

[x˙e]=[ABCD][xd],

то

  • Для d, модульной интенсивности, процесса белого шума, установившееся отклонение e является ∥T∥2.

  • L 2 (или RMS) получает от d → e,

    maxd0e2d2

    равно ∥T ∥∞. Это обсуждено более подробно в следующем разделе.

Используя взвешенные нормы, чтобы охарактеризовать эффективность

Любой критерий производительности должен также составлять

  • Относительная величина внешних влияний

  • Зависимость частоты сигналов

  • Относительная важность величин отрегулированных переменных

Так, если цель эффективности в форме матричной нормы, это должна на самом деле быть взвешенная норма

∥WLTWR

где матрицы функции взвешивания WL и WR являются зависимым частоты, с учетом ограничений полосы пропускания и спектрального содержимого внешних сигналов. Самый естественный (математический) способ, чтобы охарактеризовать приемлемую эффективность в терминах MIMO ∥ · ∥∞ (H ) норма. Поэтому этот раздел теперь обсуждает некоторые интерпретации H норма.

Невзвешенная система MIMO

Предположим, что T является MIMO устойчивая линейная система с матрицей T (s) передаточной функции. Для данного управления сигналом d˜(t)Define e˜ как выход, как показано ниже.

Обратите внимание на то, что более традиционно написать схему в Невзвешенной Системе MIMO: Векторы слева направо стрелками, идущими слева направо как во Взвешенной Системе MIMO.

Невзвешенная система MIMO: векторы слева направо

Две схемы, показанные выше, представляют ту же самую систему. Мы предпочитаем писать эти блок-схемы стрелками, собирающимися справа налево быть сопоставимыми с составом оператора и матрицей.

Примите, что размерностями T является ne × без обозначения даты. Позвольте β> 0 быть заданным как

β:=T:=maxσ¯[T(jω)]ωR.

Теперь считайте ответ, начинающий с начального условия равным 0. В этом случае теорема Парсевэла дает это

e˜2d˜2=[0e˜T(t)e˜(t)dt]12[0d˜T(t)d˜(t)dt]12β.

Кроме того, существуют определенные воздействия d что результат в отношении e˜2/d˜2 произвольно близко к β. Из-за этого ∥T ∥∞ упоминается как L 2 (или RMS) усиление системы.

Как вы ожидали бы, синусоидальная, установившаяся интерпретация ∥T ∥∞ также возможна: Для любой частоты ω¯R, любой вектор из амплитуд aRnd, и любой вектор из фаз ϕRnd, с ∥a∥2 ≤ 1, задайте сигнал времени

d˜(t)=[a1sin(ω¯t+ϕ1)andsin(ω¯t+ϕnd)].

При применении этого входа к системе T приводит к установившемуся ответу e˜ss из формы

e˜ss(t)=[b1sin(ω¯t+ϕ1)bnesin(ω¯t+ϕne)].

Вектор bRne удовлетворит ∥b∥2 ≤ β. Кроме того, β, как задано во Взвешенной Системе MIMO, является самым маленьким номером, таким образом, что это верно для каждого ∥a∥2 ≤ 1, ω¯, и ϕ.

Обратите внимание на то, что в этой интерпретации, векторы из синусоидальных ответов величины не взвешены, и измеренные в Евклидовой норме. Если реалистические многомерные цели эффективности состоят в том, чтобы быть представлены одним MIMO ∥ · цель ∥∞ на передаточной функции с обратной связью, дополнительные масштабирования необходимы. Поскольку много различных целей смешиваются в одну матрицу, и связанная стоимость является нормой матрицы, важно использовать зависимые частотой функции взвешивания, так, чтобы различные требования могли быть обоснованно объединены в одну функцию стоимости. Диагональные веса наиболее легко интерпретированы.

Рассмотрите схему Взвешенной Системы MIMO, наряду с Невзвешенной Системой MIMO: Векторы слева направо.

Примите, что WL и WR являются диагональными, устойчивыми матрицами передаточной функции с диагональными элементами, обозначенными Ли и Ри.

WL=[L1000L2000Lne],WR=[R1000R2000Rnd].

Взвешенная система MIMO

Границы на количестве ∥WLTWR ∥∞ будут подразумевать границы о синусоидальном установившемся поведении сигналов d˜и e˜(=Td˜) в схеме Невзвешенной Системы MIMO: Векторы слева направо. А именно, для синусоидального сигнала d˜, установившееся отношение между e˜(=Td˜), d˜ и ∥WLTWR ∥∞ следующие. Установившееся решение e˜ss, обозначенный как

e˜ss(t)=[e˜1sin(ω¯t+ϕ1)e˜nesin(ω¯t+ϕnd)](1)

удовлетворяет

i=1ne|WLi(jω¯)e˜i|21

для всех синусоидальных входных сигналов d˜ из формы

d˜(t)=[d˜1sin(ω¯t+ϕ1)d˜nesin(ω¯t+ϕnd)](2)

удовлетворение

i=1nd|d˜i|2|WRi(jω¯)|21

если и только если ∥WLTWR ∥∞ ≤ 1.

Это приблизительно (очень приблизительно — следующий оператор не на самом деле правилен) подразумевает что ∥WLTWR ∥∞ ≤ 1 если и только если для каждой фиксированной частоты ω¯, и все синусоидальные воздействия d˜ из  удовлетворения уравнения 2 формы

|d˜i||WRi(jω¯)|

установившиеся ошибочные компоненты удовлетворят

|e˜i|1|WLi(jω¯)|.

Это показывает, как можно было выбрать веса эффективности, чтобы отразить желаемую зависимую частотой цель эффективности. Используйте WR, чтобы представлять относительную величину воздействий синусоид, которые могут присутствовать, и использовать 1/WL, чтобы представлять желаемую верхнюю границу при последующих ошибках, которые производятся.

Помните, однако, что взвешенный H норма на самом деле не дает поэлементно границы на компонентах e˜ на основе поэлементно ограничивает на компонентах d˜. Точное связало его, дает, в терминах Евклидовых норм компонентов e˜ и d˜ (взвешенный соответственно WL (jω¯) и WR (jω¯)).

Смотрите также

|

Похожие темы

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте