Нормы и сингулярные значения

Для систем MIMO передаточные функции являются матрицами, и соответствующие меры усиления определяются сингулярными значениями, H , и нормы H2, которые определяются следующим образом:

H2 и H нормы

Норма H2 является энергией импульсной характеристики объекта G. -норма H является пиковым усилением G через все частоты и все входные направления.

Другой важной концепцией является понятие сингулярных значений.

Сингулярные значения:

Сингулярные значения ранга r матрица ACm×n, обозначенный σi, неотрицательные квадратные корни из собственных значений A*A упорядоченный таким образом, что σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥σp > 0, p ≤ min {m, n}.

Если r <p затем существуют pr нулевые сингулярные значения, т.е. σ r +1 = σ r +2 = ... =σp = 0.

Самое большое сингулярное значение σ 1 иногда обозначается

σ¯(A)σ1.

Когда A является квадратной n на n матрицей, затем энное сингулярное значение (i.e., наименьшее количество сингулярного значения), обозначается

σ¯(A)σn.

Свойства сингулярных значений

Некоторые полезные свойства сингулярных значений:

σ¯(A)=maxxChAxxσ¯(A)=minxChAxx

Эти свойства особенно важны, потому что они устанавливают, что самыми большими и наименьшим количеством сингулярных значений матрицы А являются максимальные и минимальные "усиления" матрицы, когда входной вектор x варьируется по всем возможным направлениям.

Для устойчивых систем LTI непрерывного времени G (s), 2-норма H и -нормы H является заданными терминами зависимых частотой сингулярных значений G ():

2-норма H:

G2[12π]i=1p(σi(G(jω)))2dω

-норма H:

Gsupωσ¯(G(jω))

где глоток обозначает наименьшее количество верхней границы.

Смотрите также

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте