Для систем MIMO передаточные функции являются матрицами, и соответствующие меры усиления определяются сингулярными значениями, H ∞, и нормы H2, которые определяются следующим образом:
H2 и H ∞ нормы
Норма H2 является энергией импульсной характеристики объекта G. -норма H является пиковым усилением G через все частоты и все входные направления.
Другой важной концепцией является понятие сингулярных значений.
Сингулярные значения:
Сингулярные значения ранга r матрица , обозначенный σi, неотрицательные квадратные корни из собственных значений упорядоченный таким образом, что σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥σp > 0, p ≤ min {m, n}.
Если r <p затем существуют p – r нулевые сингулярные значения, т.е. σ r +1 = σ r +2 = ... =σp = 0.
Самое большое сингулярное значение σ 1 иногда обозначается
Когда A является квадратной n на n матрицей, затем энное сингулярное значение (i.e., наименьшее количество сингулярного значения), обозначается
Некоторые полезные свойства сингулярных значений:
Эти свойства особенно важны, потому что они устанавливают, что самыми большими и наименьшим количеством сингулярных значений матрицы А являются максимальные и минимальные "усиления" матрицы, когда входной вектор x варьируется по всем возможным направлениям.
Для устойчивых систем LTI непрерывного времени G (s), 2-норма H и -нормы H является заданными терминами зависимых частотой сингулярных значений G (jω):
2-норма H:
-норма H:
где глоток обозначает наименьшее количество верхней границы.