Загрузите выборочные данные.

load('fertilizer.mat');

Массив набора данных включает данные из эксперимента графика разделения, где почва разделена на три блока на основе типа грунта: песчаный, илистый, и глинистый. Каждый блок разделен на пять графиков, где пять различных типов томатных объектов (вишня, семейная реликвия, виноград, виноградная лоза и слива) случайным образом присвоены этим графикам. Томатные объекты в графиках затем разделены на подграфики, где каждый подграфик обработан одним из четырех удобрений. Это - симулированные данные.

Храните данные в массиве набора данных под названием ds, практически, и задайте Tomato, Soil, и Fertilizer как категориальные переменные.

ds = fertilizer;
ds.Tomato = nominal(ds.Tomato);
ds.Soil = nominal(ds.Soil);
ds.Fertilizer = nominal(ds.Fertilizer);

Подбирайте линейную модель смешанных эффектов, где Fertilizer переменная фиксированных эффектов, и среднее выражение варьируется блоком (тип грунта) и графики в блоках (томатные типы в типах грунта) независимо. Эта модель соответствует

где $$i$$ = 1, 2..., 60 соответствует наблюдениям, $$j$$ = 2..., 5 соответствует томатным типам, и $$k$$ = 1, 2, 3 соответствует блокам (почва). $$S_k$$ представляет $$k$$ тип грунта th, и $$(S*T{)}_{jk}$$ представляет $$j$$ томатный тип th, вложенный в $$k$$ тип грунта th. $$I[T{]}_{ij}$$ фиктивная переменная, представляющая уровень $$j$$ из томатного типа.

Случайные эффекты и ошибка наблюдения имеют следующие предшествующие распределения: $$b_{0k}\sim N(0,{\sigma }_S^2)$$, $$b_{0jk}\sim N(0,{\sigma }_{S*T}^2)$$, и $${ϵ}_{ijk}\sim N(0,{\sigma }^2)$$.

lme = fitlme(ds,'Yield ~ Fertilizer + (1|Soil) + (1|Soil:Tomato)');

Вычислите оценки параметра ковариации (оценки $${\sigma }_S^2$$ и $${\sigma }_{S*T}^2$$) из терминов случайных эффектов.

psi = covarianceParameters(lme)

psi=2×1 cell array
    {[3.1731e-17]}
    {[  352.8481]}

Вычислите остаточное отклонение ($${\sigma }^2$$).

[~,mse] = covarianceParameters(lme)

mse = 151.9007

Загрузите выборочные данные.

load('weight.mat');

weight содержит данные из продольного исследования, где 20 предметов случайным образом присвоены 4 программам подготовки, и их потеря веса зарегистрирована более чем шесть 2-недельных периодов времени. Это - симулированные данные.

Храните данные в массиве набора данных. Задайте Subject и Program как категориальные переменные.

ds = dataset(InitialWeight,Program,Subject,Week,y);
ds.Subject = nominal(ds.Subject);
ds.Program = nominal(ds.Program);

Подбирайте линейную модель смешанных эффектов, где начальный вес, тип программы, неделя и взаимодействие между неделей и типом программы являются фиксированными эффектами. Точка пересечения и неделя варьируется предметом.

Для 'reference' фиктивное переменное кодирование, fitlme Программа A использования как ссылка и создает необходимые фиктивные переменные $$I[.]$$. Эта модель соответствует

где $$i$$ соответствует номеру наблюдения, $$i=1,2,...,120$$, и $$m$$ соответствует подчиненному номеру, $$m=1,2,...,20$$. $${\beta }_j$$ коэффициенты фиксированных эффектов, $$j=0,1,...,8$$, и $$b_{0m}$$ и $$b_{1m}$$ случайные эффекты. $$IW$$ обозначает начальный вес и $$I[.]$$ фиктивная переменная, представляющая тип программы. Например, $$I[PB{]}_i$$ фиктивная переменная Программа B представления.

Случайные эффекты и ошибка наблюдения имеют следующие предшествующие распределения:

и

lme = fitlme(ds,'y ~ InitialWeight + Program + (Week|Subject)');

Вычислите оценки параметров ковариации для случайных эффектов.

[psi,mse,stats] = covarianceParameters(lme)

psi = 1x1 cell array
    {2x2 double}

mse = 0.0105

stats=2×1 cell array
    {3x7 classreg.regr.lmeutils.titleddataset}
    {1x5 classreg.regr.lmeutils.titleddataset}

mse предполагаемое остаточное отклонение. Это - оценка для $${\sigma }^2$$.

Видеть параметры ковариации оценивает для терминов случайных эффектов ($${\sigma }_0^2$$, $${\sigma }_1^2$$, и $${\sigma }_{0,1}$$), индексируйте в psi.

psi{1}

ans = 2×2

    0.0572    0.0490
    0.0490    0.0624

Оценка отклонения случайных эффектов называет для точки пересечения, $${\sigma }_0^2$$, 0.0572. Оценка отклонения случайных эффектов называет в течение недели, $${\sigma }_1^2$$, 0.0624. Оценка для ковариации случайных эффектов называет для точки пересечения и неделя, $${\sigma }_{0,1}$$, 0.0490.

stats 2 1 массив ячеек. Первая ячейка stats содержит доверительные интервалы для стандартного отклонения случайных эффектов и корреляции между случайными эффектами для точки пересечения и неделя. Чтобы отобразить их, индексируйте в stats.

stats{1}

ans = 
    Covariance Type: FullCholesky

    Group      Name1                  Name2                  Type        
    Subject    {'(Intercept)'}        {'(Intercept)'}        {'std' }    
    Subject    {'Week'       }        {'(Intercept)'}        {'corr'}    
    Subject    {'Week'       }        {'Week'       }        {'std' }    


    Estimate    Lower      Upper  
    0.23927     0.14364    0.39854
    0.81971     0.38662    0.95658
     0.2497     0.18303    0.34067

Отображение показывает имя группирующегося параметра (Group), переменные случайных эффектов (Name1, Name2), тип параметров ковариации (Type), оценка (Estimate) для каждого параметра, и 95% доверительных интервалов для параметров (Lowerверхний). Оценки в этой таблице связаны с оценками в psi можно следующим образом.

Стандартное отклонение термина случайных эффектов для точки пересечения 0.23927 = sqrt (0.0527). Аналогично, стандартное отклонение случайного термина эффектов в течение недели 0.2497 = sqrt (0.0624). Наконец, корреляция между терминами случайных эффектов точки пересечения и неделя 0.81971 = 0.0490 / (0.23927*0.2497).

Обратите внимание на то, что это отображение также показывает, какой шаблон ковариации вы используете, подбирая модель. В этом случае шаблоном ковариации является FullCholesky. Чтобы изменить шаблон ковариации для терминов случайных эффектов, необходимо использовать 'CovariancePattern' аргумент пары "имя-значение", подбирая модель.

Вторая ячейка stats включает подобную статистику для остаточного стандартного отклонения. Отобразите содержимое второй ячейки.

stats{2}

ans = 
    Group    Name               Estimate    Lower       Upper  
    Error    {'Res Std'}        0.10261     0.087882    0.11981

Оценка для остаточного стандартного отклонения является квадратным корнем из mse, 0.10261 = sqrt (0.0105).

Загрузите выборочные данные.

load carbig

Подбирайте линейную модель смешанных эффектов для миль на галлон (MPG), с фиксированными эффектами для ускорения и веса, потенциально коррелированым случайным эффектом для точки пересечения и ускорения, сгруппированного модельным годом и независимым случайным эффектом для веса, сгруппированного источником автомобиля. Эта модель соответствует

где $$m=1,2,...,13$$ представляет уровни для переменной Model_Year, и $$k=1,2,...,8$$ представляет уровни для переменной Origin. $$MP{G}_{imk}$$ мили на галлон для i-ого наблюдения, |m | th модельный год, and|k | th источник, которые соответствуют i-ому наблюдению. Термины случайных эффектов и ошибка наблюдения имеют следующие предшествующие распределения:

Здесь, термин случайных эффектов $$b_{1m}$$ представляет первый случайный эффект на уровне $$m$$ из первой сгруппированной переменной. Термин случайных эффектов $$b_{10m}$$ соответствует первому случайному термину эффектов (1), для точки пересечения (0), в $$m$$ уровень th ( $$m$$ ) из первой сгруппированной переменной. Аналогично $$b_{11m}$$ уровень $$m$$ для первого предиктора (1) в первом термине случайных эффектов (1).

Точно так же $$b_{2k}$$ обозначает второй случайный термин эффектов на уровне $$k$$ из второй сгруппированной переменной.

$${\sigma }_{10}^2$$ отклонение термина случайных эффектов для точки пересечения, $${\sigma }_{11}^2$$ отклонение случайного термина эффектов для ускорения предиктора, и $${\sigma }_{10,11}$$ ковариация терминов случайных эффектов для точки пересечения и ускорения предиктора. $${\sigma }_2^2$$ отклонение второго термина случайных эффектов, и $${\sigma }^2$$ остаточное отклонение.

Во-первых, подготовьте матрицы проекта к тому, что они подбирали линейную модель смешанных эффектов.

X = [ones(406,1) Acceleration Weight];
Z = {[ones(406,1) Acceleration],[Weight]};
Model_Year = nominal(Model_Year);
Origin = nominal(Origin);
G = {Model_Year,Origin};

Подбирайте модель с помощью матриц проекта.

lme = fitlmematrix(X,MPG,Z,G,'FixedEffectPredictors',....
{'Intercept','Acceleration','Weight'},'RandomEffectPredictors',...
{{'Intercept','Acceleration'},{'Weight'}},'RandomEffectGroups',{'Model_Year','Origin'});

Вычислите оценки параметров ковариации для случайных эффектов.

[psi,mse,stats] = covarianceParameters(lme)

psi=2×1 cell array
    {2x2 double  }
    {[6.6397e-08]}

mse = 9.1177

stats=3×1 cell array
    {3x7 classreg.regr.lmeutils.titleddataset}
    {1x7 classreg.regr.lmeutils.titleddataset}
    {1x5 classreg.regr.lmeutils.titleddataset}

Остаточное отклонение mse 9.0755. psi 2 1 массив ячеек и stats массив ячеек 3 на 1. Чтобы видеть содержимое, необходимо индексировать в эти массивы ячеек.

Во-первых, индексируйте в первую ячейку psi.

psi{1}

ans = 2×2

    5.9642   -0.6579
   -0.6579    0.0959

Первая ячейка psi содержит параметры ковариации для коррелированых случайных эффектов для точки пересечения $${\sigma }_{10}^2$$ как 8,5160, и для ускорения $${\sigma }_{11}^2$$ как 0,1087. Оценка для ковариации случайных эффектов называет для точки пересечения и ускорения $${\sigma }_{10,11}$$ -0.8387.

Теперь индексируйте во вторую ячейку psi.

psi{2}

ans = 6.6397e-08

Вторая ячейка psi содержит оценку для отклонения термина случайных эффектов для веса $${\sigma }_2^2$$.

Индексируйте в первую ячейку stats.

stats{1}

ans = 
    Covariance Type: FullCholesky

    Group         Name1                   Name2                   Type        
    Model_Year    {'Intercept'   }        {'Intercept'   }        {'std' }    
    Model_Year    {'Acceleration'}        {'Intercept'   }        {'corr'}    
    Model_Year    {'Acceleration'}        {'Acceleration'}        {'std' }    


    Estimate    Lower       Upper   
      2.4422     0.72825      8.1898
    -0.87002    -0.98726    -0.14036
     0.30962       0.173     0.55415

Эта таблица показывает оценки стандартного отклонения для терминов случайных эффектов для точки пересечения и ускорения. Обратите внимание на то, что оценки стандартных отклонений являются квадратными корнями из диагональных элементов в первой ячейке psi. А именно, 2.9182 = sqrt (8.5160) и 0.32968 = sqrt (0.1087). Корреляция является функцией ковариации точки пересечения и ускорения и стандартных отклонений точки пересечения и ускорения. Ковариация точки пересечения и ускорения является недиагональным значением в первой ячейке psi,-0.8387. Так, корреляция-.8387 / (0.32968*2.92182) =-0.87.

Сгруппированной переменной для точки пересечения и ускорения является Model_Year.

Индексируйте во вторую ячейку stats.

stats{2}

ans = 
    Covariance Type: FullCholesky

    Group     Name1             Name2             Type           Estimate  
    Origin    {'Weight'}        {'Weight'}        {'std'}        0.00025768


    Lower       Upper     
    9.07e-05    0.00073205

Вторая ячейка stats имеет оценку стандартного отклонения и 95% пределов достоверности для стандартного отклонения термина случайных эффектов для Weight. Сгруппированной переменной является Origin.

Индексируйте в третью ячейку stats.

stats{3}

ans = 
    Group    Name               Estimate    Lower     Upper 
    Error    {'Res Std'}        3.0196      2.8083    3.2467

Третья ячейка stats содержит оценку для остаточного стандартного отклонения и 95% пределов достоверности. Оценка для остаточного стандартного отклонения является квадратным корнем из mse, sqrt (9.0755) = 3.0126.

Создайте 99% доверительных интервалов для параметров ковариации.

[~,~,stats] = covarianceParameters(lme,'Alpha',0.01);
stats{1}

ans = 
    Covariance Type: FullCholesky

    Group         Name1                   Name2                   Type        
    Model_Year    {'Intercept'   }        {'Intercept'   }        {'std' }    
    Model_Year    {'Acceleration'}        {'Intercept'   }        {'corr'}    
    Model_Year    {'Acceleration'}        {'Acceleration'}        {'std' }    


    Estimate    Lower       Upper  
      2.4422     0.49792     11.978
    -0.87002    -0.99396    0.22908
     0.30962     0.14408    0.66537

stats{2}

ans = 
    Covariance Type: FullCholesky

    Group     Name1             Name2             Type           Estimate  
    Origin    {'Weight'}        {'Weight'}        {'std'}        0.00025768


    Lower         Upper    
    6.5331e-05    0.0010163

stats{3}

ans = 
    Group    Name               Estimate    Lower    Upper 
    Error    {'Res Std'}        3.0196      2.745    3.3216