Найдите расхождение векторного поля V (x, y, z) = (x, 2y², 3z³) относительно векторного X = (x, y, z).

syms x y z
field = [x 2*y^2 3*z^3];
vars = [x y z];
divergence(field,vars)

ans =
9*z^2 + 4*y + 1

divergence(curl(field,vars),vars)

ans =
0

syms x y z
f = x^2 + y^2 + z^2;
divergence(gradient(f,vars),vars)

ans =
6

Закон гаусса в дифференциальной форме утверждает, что расхождение электрического поля пропорционально плотности электрического заряда.

Найдите плотность электрического заряда для электрического поля $$\overrightarrow{\underset{}{E}}=x^2\underset{}{\overset{ˆ}{i}}+y^2\underset{}{\overset{ˆ}{j}}$$.

syms x y ep0
E = [x^2 y^2];
rho = divergence(E,[x y])*ep0

rho = $${\mathrm{ep}}_0\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}x+2\hspace{0.17em}y\right)$$

Визуализируйте электрическое поле и плотность электрического заряда для -2 < x < 2 и -2 < y < 2 с ep0 = 1. Создайте сетку значений x и y использование meshgrid. Найдите значения электрического поля и плотности заряда путем замены значениями сетки с помощью subs. Одновременно замените значениями сетки xPlot и yPlot в плотность заряда rho при помощи массивов ячеек как входные параметры к subs.

rho = subs(rho,ep0,1);
v = -2:0.1:2;
[xPlot,yPlot] = meshgrid(v);
Ex = subs(E(1),x,xPlot);
Ey = subs(E(2),y,yPlot);
rhoPlot = double(subs(rho,{x,y},{xPlot,yPlot}));

Постройте электрическое поле с помощью quiver. Наложите плотность заряда с помощью contour. Линии контура указывают на значения плотности заряда.

quiver(xPlot,yPlot,Ex,Ey)
hold on
contour(xPlot,yPlot,rhoPlot,'ShowText','on')
title('Contour Plot of Charge Density Over Electric Field')
xlabel('x')
ylabel('y')