Конфлюентная гипергеометрическая функция Куммера У
dsolve может возвратить решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в терминах функции Куммера У.
Решите это уравнение. Решатель возвращает результаты в терминах функции Куммера У и другой гипергеометрической функции.
syms t z y(z) dsolve(z^3*diff(y,2) + (z^2 + t)*diff(y) + z*y)
ans = (C4*hypergeom(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i +... (C3*kummerU(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i
В зависимости от его аргументов, kummerU может возвратить или точные символьные результаты с плавающей точкой.
Вычислите функцию Куммера У для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.
A = [kummerU(-1/3, 2.5, 2) kummerU(1/3, 2, pi) kummerU(1/2, 1/3, 3*i)]
A = 0.8234 + 0.0000i 0.7284 + 0.0000i 0.4434 - 0.3204i
Вычислите функцию Куммера У для чисел, преобразованных в символьные объекты. Для большинства символьных (точных) чисел, kummerU отвечает на неразрешенные символьные звонки.
symA = [kummerU(-1/3, 2.5, sym(2)) kummerU(1/3, 2, sym(pi)) kummerU(1/2, sym(1/3), 3*i)]
symA =
kummerU(-1/3, 5/2, 2)
kummerU(1/3, 2, pi)
kummerU(1/2, 1/3, 3i)Использование vpa аппроксимировать символьные результаты необходимым количеством цифр.
vpa(symA,10)
ans =
0.8233667846
0.7284037305
0.4434362538 - 0.3204327531iФункция Куммера У имеет специальные значения для некоторых параметров.
Если a отрицательное целое число, функция Куммера У уменьшает до полинома.
syms a b z [kummerU(-1, b, z) kummerU(-2, b, z) kummerU(-3, b, z)]
ans =
z - b
b - 2*z*(b + 1) + b^2 + z^2
6*z*(b^2/2 + (3*b)/2 + 1) - 2*b - 6*z^2*(b/2 + 1) - 3*b^2 - b^3 + z^3Если b = 2*a, функция Куммера У уменьшает до выражения, включающего модифицированную Функцию Бесселя второго вида.
kummerU(a, 2*a, z)
ans = (z^(1/2 - a)*exp(z/2)*besselk(a - 1/2, z/2))/pi^(1/2)
Если a = 1 или a = b, функция Куммера У уменьшает до выражения, включающего неполную гамма функцию.
kummerU(1, b, z)
ans = z^(1 - b)*exp(z)*igamma(b - 1, z)
kummerU(a, a, z)
ans = exp(z)*igamma(1 - a, z)
Если a = 0, функцией Куммера У является 1.
kummerU(0, a, z)
ans = 1
Много функций, такой как diff, int, и limit, может обработать выражения, содержащие kummerU.
Найдите первую производную функции Куммера У относительно z.
syms a b z diff(kummerU(a, b, z), z)
ans = (a*kummerU(a + 1, b, z)*(a - b + 1))/z - (a*kummerU(a, b, z))/z
Найдите неопределенный интеграл функции Куммера У относительно z.
int(kummerU(a, b, z), z)
ans = ((b - 2)/(a - 1) - 1)*kummerU(a, b, z) +... (kummerU(a + 1, b, z)*(a - a*b + a^2))/(a - 1) -... (z*kummerU(a, b, z))/(a - 1)
Найдите предел этой функции Куммера У.
limit(kummerU(1/2, -1, z), z, 0)
ans = 4/(3*pi^(1/2))
kummerU возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.
kummerU действия, поэлементные на нескалярных входных параметрах.
Все нескалярные аргументы должны иметь тот же размер. Если один или два входных параметра являются нескалярными, то kummerU расширяет скаляры в векторы или матрицы одного размера с нескалярными аргументами, со всеми элементами, равными соответствующему скаляру.
[1] Кровельщик, L. J. “Вырожденные гипергеометрические функции”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.