Метод решателя моментов для металлических структур

Метод метода расчета Моментов для металлических антенн.

Первый шаг в вычислительном решении электромагнитных проблем должен дискретизировать Уравнения Максвелла. Процесс приводит к этой матрично-векторной системе:

$V = Z I$

V - Прикладной вектор напряжения. Этот сигнал может быть напряжением, или степень применилась к антенне или инцидентному сигналу, падающему на антенну.
Я — Текущий вектор, который представляет текущий на поверхности антенны.
Z Матрица взаимодействия или матрица импеданса, которая имеет отношение V ко мне.

Antenna Toolbox™ использует метод моментов (MoM), чтобы вычислить матрицу взаимодействия и решить системные уравнения.

Формулировка MoM

Формулировка MoM разделена в три части.

Дискретизация металлов

Дискретизация включает формулировку от непрерывной области до дискретной области. Этот шаг называется, сцепляясь в литературе антенны. В формулировке MoM металлическая поверхность антенны поймана в сети в треугольники.

Основные функции

Чтобы вычислить поверхностные токи на структуру антенны, вы сначала задаете основные функции. Antenna Toolbox использует Рао-Вилтон-Глиссона (RWG) [2] основные функции. Стрелки показывают направление электрического тока.

Основная функция включает пару смежных (не обязательно компланарный) треугольники и напоминает маленький пространственный диполь с линейным распределением тока. Каждый треугольник сопоставлен с положительным или отрицательным зарядом.

Для любых двух треугольных закрашенных фигур, $t_{n}^{+}$ и $t_{n}^{-}$ , наличие областей $A_{n}^{+}$ и $A_{n}^{-}$ , и совместное использование общего ребра $l_{n}$ , основная функция

$\begin{array}{l} {\vec{f}}_{n} (\vec{r}) = {\begin{matrix} \frac{l_{n}}{2 A_{n}^{+}} {\vec{ρ}}_{n}^{+ S}, & \vec{r} \in t_{n}^{+} \\ \frac{l_{n}}{2 A_{n}^{-}} {\vec{ρ}}_{n}^{- S}, & \vec{r} \in t_{n}^{-} \end{matrix} \end{array}$

${\vec{ρ}}_{n}^{+} = \vec{r} - {\vec{r}}_{n}^{+}$ — Вектор, чертивший от свободной вершины треугольника $t_{n}^{+}$ к наблюдательному посту $\vec{r}$
${\vec{ρ}}_{n}^{-} = {\vec{r}}_{n}^{+} - \vec{r}$ — Вектор, чертивший от наблюдательного поста до свободной вершины треугольника $t_{n}^{-}$

$\nabla \cdot {\vec{f}}_{n} (\vec{r}) = {\begin{matrix} \frac{l_{n}}{A_{n}^{+}}, & \vec{r} \in t_{n}^{+} \\ - \frac{l_{n}}{A_{n}^{-}}, & \vec{r} \in t_{n}^{-} \end{matrix}$

Основная функция является нулем вне двух смежных треугольников $t_{n}^{+}$ и $t_{n}^{-}$ . Векторная основная функция RWG линейна и не имеет никакого потока (никакой нормальный компонент) через его контур.

Матрица взаимодействия

Матрица взаимодействия является комплексной плотной симметрической матрицей. Это - квадрат N-by-N матрица, где N является количеством основных функций, то есть, количеством внутренних ребер в структуре. Типичную матрицу взаимодействия для структуры с 256 основными функциями показывают:

Чтобы заполнить матрицу взаимодействия, вычислите функцию Грина свободного пространства между всеми основными функциями на поверхности антенны. Итоговые матричные уравнения взаимодействия:

$Z_{m n} = (\frac{j ω μ}{4 π}) \int_{S} \int_{S} {\vec{f}}_{m} (\vec{r}) . {\vec{f}}_{m} (\vec{r^{'}}) g d \vec{r^{'}} d \vec{r} - (\frac{j}{4 π ω ε}) \int_{S} \int_{S} (\nabla . {\vec{f}}_{m}) (\nabla . {\vec{f}}_{m}) g d \vec{r^{'}} d \vec{r}$

где

$g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) = \frac{\exp (- j k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |)}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |}$ — Функция Грина свободного пространства

Чтобы вычислить матрицу взаимодействия, взволнуйте антенну напряжением 1 В в питающемся ребре. Таким образом, вектор напряжения имеет нулевые значения везде кроме в питающемся ребре. Решите систему уравнений, чтобы вычислить неизвестные токи. Если вы определяете неизвестные токи, можно вычислить поле и поверхностные свойства антенны.

Соседняя область

Из матричного графика взаимодействия вы замечаете, что матрица является по диагонали доминирующей. Когда вы перемещаетесь еще дальше от диагонали, величины терминов уменьшения. Это поведение - то же самое как поведение функции Грина. Функция Грина уменьшается как расстояние между увеличениями r' и r. Поэтому важно вычислить область на диагональ и близко к диагонали точно.

Эта область на и вокруг диагонали называется соседней областью. Соседняя область задана в сфере радиуса R, где R в терминах треугольного размера. Размер треугольника является максимальным расстоянием от центра треугольника к любой из его вершин. По умолчанию R является дважды размером треугольника. Для лучшей точности схема интегрирования высшего порядка используется, чтобы вычислить интегралы.

Экстракция сингулярности

По диагонали r и r' равны, и задает функцию Грина, становится сингулярным. Чтобы удалить сингулярность, экстракция выполняется на этих терминах.

$\begin{array}{l} \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} ({\vec{ρ}}_{i} . {\vec{ρ}}^{'}_{j}) g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d s' d s = \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{({\vec{ρ}}_{i} . {\vec{ρ}}^{'}_{j})}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s + \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{(\exp (- j k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |) - 1) ({\vec{ρ}}_{i} . {\vec{ρ}}^{'}_{j})}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s \\ \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} g (\vec{r}, \vec{r^{'}}) d s' d s = \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s + \int_{t_{p}} \int_{t_{q}} \frac{(\exp (- j k | \vec{r} - \vec{r^{'}} |) - 1)}{| \vec{r} - \vec{r^{'}} |} d s' d s \end{array}$

Эти два интеграла на правой стороне уравнений, названных потенциальными или статическими интегралами, найдены с помощью аналитических результатов [3].

Конечные массивы

Формулировка MoM для конечных массивов эквивалентна для одного антенного элемента. Основным различием является количество возбуждений (подача). Для конечных массивов вектор напряжения является теперь матрицей напряжения. Количество столбцов равно числу элементов в массиве.

Например, матрица вектора напряжения для 2x2 массив прямоугольной антенны закрашенной фигуры имеет четыре столбца, когда каждая антенна может быть взволнована отдельно.

Массив Бога

Чтобы смоделировать бесконечный массив, вы изменяете MoM с учетом бесконечного поведения. Для этого вы заменяете функции Грина свободного пространства на периодические функции Грина. Периодическая функция Грина является бесконечным двойным суммированием.

Функция Грина	Периодическая функция Грина
$\begin{array}{l} g = \frac{e^{- j k R}}{R} \\ R = \| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} \| \end{array}$	$\begin{array}{l} g_{periodic} = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{j ϕ_{m n}} \frac{e^{- j k R_{m n}}}{R_{m n}} \\ R_{m n} = \sqrt{{(x - x^{'} - x_{m})}^{2} + {(y - y^{'} - y_{n})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}} \\ ϕ_{m n} = - k (x_{m} \sin θ \cos φ + y_{n} \sin θ \sin φ) \\ x_{m} = m \cdot d_{x}, y_{n} = n \cdot d_{y} \end{array}$

Функция Грина

Периодическая функция Грина

$\begin{array}{l} g = \frac{e^{- j k R}}{R} \\ R = | \vec{r} - {\vec{r}}^{'} | \end{array}$

$\begin{array}{l} g_{periodic} = \sum_{m = - \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{j ϕ_{m n}} \frac{e^{- j k R_{m n}}}{R_{m n}} \\ R_{m n} = \sqrt{{(x - x^{'} - x_{m})}^{2} + {(y - y^{'} - y_{n})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}} \\ ϕ_{m n} = - k (x_{m} \sin θ \cos φ + y_{n} \sin θ \sin φ) \\ x_{m} = m \cdot d_{x}, y_{n} = n \cdot d_{y} \end{array}$

d _x и d _y являются наземными размерностями плоскости, которые задают x и размерности y элементарной ячейки. θ и Φ являются углами сканирования.

Сравнивая эти две функции Грина, вы наблюдаете дополнительный экспоненциальный термин, который добавляется к бесконечной сумме. _Φmn составляет сканирование бесконечного массива. Периодическая функция Грина также составляет эффект взаимной связи.

Для получения дополнительной информации смотрите, Массивы Бога.

Ссылки

[1] Harringhton, R. F. Полевой расчет методами момента. Нью-Йорк: Макмиллан, 1968.

[2] Рао, S. M. Д. Р. Вилтон и А. В. Глиссон. “Электромагнитное рассеивание поверхностями произвольной формы”. IEEE. Сделка. Антенны и Распространение, издание AP-30, № 3, май 1982, стр 409–418.

[3] Вильтон, D. R. С. М. Рао, А. В. Глиссон, Д. Х. Шоберт, О. М. Аль-Бундак. и К. М. Батлер. “Потенциальные Интегралы для универсального и линейного исходного распределения на многоугольных и многогранных областях”. IEEE. Сделка. Антенны и Распространение. Издание AP-30, № 3, май 1984, стр 276–281.

[4] Balanis, C.A. Теория антенны. Анализ и проектирование. 3-й Эд. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 2005.

Документация