Аналитические выражения и обозначения, используемые в анализе BER

Эта тема покрывает аналитические выражения и обозначения для теоретического анализа, используемого в функциях BER (berawgn, bercoding, berconfint, berfadingberfit, bersync), приложение Bit Error Rate Analysis и тема Методов Bit Error Rate Analysis.

Общее обозначение

Эта таблица задает обозначения, используемые в аналитических выражениях в этой теме.

Описание	Обозначение
Размер созвездия модуляции	M
Количество битов на символ	$k = \log_{2} M$
Энергия на отношение бита к спектральной плотности мощности шума	$\frac{E_{b}}{N_{0}}$
Энергия на отношение символа к спектральной плотности мощности шума	$\frac{E_{s}}{N_{0}} = k \frac{E_{b}}{N_{0}}$
Частота ошибок по битам (BER)	$P_{b}$
Коэффициент ошибок символа (SER)	$P_{s}$
Действительная часть	$Re [\cdot]$
Пол, самое большое целое число, меньшее, чем значение, содержится в фигурных скобках	$⌊ \cdot ⌋$

Эта таблица описывает термины, использованные для математических выражений в этой теме.

Функция	Математическое выражение
Q функция	$Q (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{x}^{\infty} \exp (- t^{2} / 2) d t$
Marcum Q функция	$Q (a, b) = \int_{b}^{\infty} t \exp (- \frac{t^{2} + a^{2}}{2}) I_{0} (a t) d t$
Модифицированная функция Бесселя первого рода порядка $ν$	$I_{ν} (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(z / 2)}^{υ + 2 k}}{k! Γ (ν + k + 1)}$ где $Γ (x) = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{x - 1} d t$ гамма функция.
Вырожденная гипергеометрическая функция	${}_{1}F_{1} (a, c; x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(a)}_{k}}{{(c)}_{k}} \frac{x^{k}}{k!}$ где символ Pochhammer, ${(λ)}_{k}$ , задан как ${(λ)}_{0} = 1$ , ${(λ)}_{k} = λ (λ + 1) (λ + 2) \dots (λ + k - 1)$ .

Эта таблица задает акронимы, используемые в этой теме.

Акроним	Определение
M-PSK	M-арное манипулирование сдвига фазы
DE-M-PSK	Дифференцированно закодированное M-арное манипулирование сдвига фазы
BPSK	Бинарное манипулирование сдвига фазы
DE-BPSK	Дифференцированно закодированное бинарное манипулирование сдвига фазы
QPSK	Четвертичное манипулирование сдвига фазы
DE-QPSK	Дифференцированно закодированное квадратурное манипулирование сдвига фазы
OQPSK	Возместите квадратурное манипулирование сдвига фазы
DE-OQPSK	Дифференцированно закодированное квадратурное манипулирование сдвига фазы смещения
M-DPSK	M-арное дифференциальное манипулирование сдвига фазы
M-PAM	M-арная импульсная амплитудная модуляция
M-QAM	M-арная квадратурная амплитудная модуляция
M-FSK	M-арное манипулирование сдвига частоты
MSK	Минимальное манипулирование сдвига
M-CPFSK	M-арное манипулирование сдвига частоты непрерывной фазы

Аналитические выражения, используемые в `berawgn` Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

M-PSK
DE-M-PSK
OQPSK
DE-OQPSK
M-DPSK
M-PAM
M-QAM
Ортогональный M-FSK с когерентным обнаружением
Неортогональный 2-FSK с когерентным обнаружением
Ортогональный M-FSK с некогерентным обнаружением
Неортогональный 2-FSK с некогерентным обнаружением
Предварительно закодированный MSK с когерентным обнаружением
Дифференцированно закодированный MSK с когерентным обнаружением
MSK с некогерентным обнаружением (оптимальный блок блоком)
CPFSK когерентное обнаружение (оптимальный блок блоком)

Эти разделы покрывают основные аналитические выражения, используемые в berawgn функция и приложение Bit Error Rate Analysis.

M-PSK

От уравнения 8.22 в [2],

$P_{s} = \frac{1}{π} \int_{0}^{(M - 1) π / M} \exp (- \frac{k E_{b}}{N_{0}} \frac{\sin^{2} [π / M]}{\sin^{2} θ}) d θ$

Это выражение подобно, но не строго равно к точному BER (от [4] и уравнение 8.29 от [2]):

$P_{b} = \frac{1}{k} (\sum_{i = 1}^{M / 2} (w_{i}^{'}) P_{i})$

где $w_{i}^{'} = w_{i} + w_{M - i}$ , $w_{M / 2}^{'} = w_{M / 2}$ , $w_{i}$ вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

$\begin{matrix} P_{i} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π (1 - (2 i - 1) / M)} \exp (- \frac{k E_{b}}{N_{0}} \frac{\sin^{2} [(2 i - 1) π / M]}{\sin^{2} θ}) d θ \\ - \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π (1 - (2 i + 1) / M)} \exp (- \frac{k E_{b}}{N_{0}} \frac{\sin^{2} [(2 i + 1) π / M]}{\sin^{2} θ}) d θ \end{matrix}$

Для M-PSK с M = 2, в частности BPSK, применяется это уравнение 5.2-57 от [1]:

$P_{s} = P_{b} = Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}})$

Для M-PSK с M = 4, в частности QPSK, применяются эти уравнения 5.2-59 и 5.2-62 от [1]:

$\begin{matrix} P_{s} = 2 Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}) [1 - \frac{1}{2} Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}})] \\ P_{b} = Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}) \end{matrix}$

DE-M-PSK

Для DE-M-PSK с M = 2, в частности DE-BPSK, применяется это уравнение 8.36 от [2]:

$P_{s} = P_{b} = 2 Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}) - 2 Q^{2} (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}})$

Для DE-M-PSK с M = 4, в частности DE-QPSK, применяется это уравнение 8.38 от [2]:

$P_{s} = 4 Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}) - 8 Q^{2} (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}) + 8 Q^{3} (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}) - 4 Q^{4} (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}})$

От уравнения 5 в [3],

$P_{b} = 2 Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}}) [1 - Q (\sqrt{\frac{2 E_{b}}{N_{0}}})]$

OQPSK

Для OQPSK используйте тот же BER и расчеты SER что касается QPSK в [2].

DE-OQPSK

Для OQPSK используйте тот же BER и расчеты SER что касается DE-QPSK в [3].

M-DPSK

Для M-DPSK применяется это уравнение 8.84 от [2]:

$P_{s} = \frac{\sin (π / M)}{2 π} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{\exp (- (k E_{b} / N_{0}) (1 - \cos (π / M) \cos θ))}{1 - \cos (π / M) \cos θ} d θ$

Это выражение подобно, но не строго равно к точному BER (от [4]):

$P_{b} = \frac{1}{k} (\sum_{i = 1}^{M / 2} (w_{i}^{'}) A_{i})$

где $w_{i}^{'} = w_{i} + w_{M - i}$ , $w_{M / 2}^{'} = w_{M / 2}$ , $w_{i}$ вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

$\begin{array}{l} A_{i} = F ((2 i + 1) \frac{π}{M}) - F ((2 i - 1) \frac{π}{M}) \\ F (ψ) = - \frac{\sin ψ}{4 π} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{\exp (- k E_{b} / N_{0} (1 - \cos ψ \cos t))}{1 - \cos ψ \cos t} d t \end{array}$

Для M-DPSK с M = 2, применяется это уравнение 8.85 от [2]:

$P_{b} = \frac{1}{2} \exp (- \frac{E_{b}}{N_{0}})$

M-PAM

От уравнений 8.3 и 8.7 в [2] и уравнения 5.2-46 в [1],

$P_{s} = 2 (\frac{M - 1}{M}) Q (\sqrt{\frac{6}{M^{2} - 1} \frac{k E_{b}}{N_{0}}})$

От [5],

$\begin{matrix} P_{b} = \frac{2}{M \log_{2} M} \times \\ \sum_{k = 1}^{\log_{2} M} \sum_{i = 0}^{(1 - 2^{- k}) M - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{M} ⌋} (2^{k - 1} - ⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{M} + \frac{1}{2} ⌋) Q ((2 i + 1) \sqrt{\frac{6 \log_{2} M}{M^{2} - 1} \frac{E_{b}}{N_{0}}})} \end{matrix}$

M-QAM

Для квадратного M-QAM, $k = \log_{2} M$ является четным, таким образом, уравнение 8.10 от [2] и уравнения 5.2-78 и 5.2-79 от [1] применяются:

$P_{s} = 4 \frac{\sqrt{M} - 1}{\sqrt{M}} Q (\sqrt{\frac{3}{M - 1} \frac{k E_{b}}{N_{0}}}) - 4 {(\frac{\sqrt{M} - 1}{\sqrt{M}})}^{2} Q^{2} (\sqrt{\frac{3}{M - 1} \frac{k E_{b}}{N_{0}}})$

От [5],

$\begin{matrix} P_{b} = \frac{2}{\sqrt{M} \log_{2} \sqrt{M}} \\ \times \sum_{k = 1}^{\log_{2} \sqrt{M}} \sum_{i = 0}^{(1 - 2^{- k}) \sqrt{M} - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{\sqrt{M}} ⌋} (2^{k - 1} - ⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{\sqrt{M}} + \frac{1}{2} ⌋) Q ((2 i + 1) \sqrt{\frac{6 \log_{2} M}{2 (M - 1)} \frac{E_{b}}{N_{0}}})} \end{matrix}$

Для прямоугольного (неквадратного) M-QAM, $k = \log_{2} M$ является нечетным, $M = I \times J$ , $I = 2^{\frac{k - 1}{2}}$ , и $J = 2^{\frac{k + 1}{2}}$ . Так, чтобы,

$\begin{matrix} P_{s} = \frac{4 I J - 2 I - 2 J}{M} \\ \times Q (\sqrt{\frac{6 \log_{2} (I J)}{(I^{2} + J^{2} - 2)} \frac{E_{b}}{N_{0}}}) - \frac{4}{M} (1 + I J - I - J) Q^{2} (\sqrt{\frac{6 \log_{2} (I J)}{(I^{2} + J^{2} - 2)} \frac{E_{b}}{N_{0}}}) \end{matrix}$

От [5],

$P_{b} = \frac{1}{\log_{2} (I J)} (\sum_{k = 1}^{\log_{2} I} P_{I} (k) + \sum_{l = 1}^{\log_{2} J} P_{J} (l))$

где

$P_{I} (k) = \frac{2}{I} \sum_{i = 0}^{(1 - 2^{- k}) I - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{I} ⌋} (2^{k - 1} - ⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{I} + \frac{1}{2} ⌋) Q ((2 i + 1) \sqrt{\frac{6 \log_{2} (I J)}{I^{2} + J^{2} - 2} \frac{E_{b}}{N_{0}}})}$

$P_{J} (k) = \frac{2}{J} \sum_{j = 0}^{(1 - 2^{- l}) J - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{j 2^{l - 1}}{J} ⌋} (2^{l - 1} - ⌊ \frac{j 2^{l - 1}}{J} + \frac{1}{2} ⌋) Q ((2 j + 1) \sqrt{\frac{6 \log_{2} (I J)}{I^{2} + J^{2} - 2} \frac{E_{b}}{N_{0}}})}$

Ортогональный M-FSK с когерентным обнаружением

От уравнения 8.40 в [2] и уравнения 5.2-21 в [1],

$\begin{array}{l} P_{s} = 1 - \int_{- \infty}^{\infty} {[Q (- q - \sqrt{\frac{2 k E_{b}}{N_{0}}})]}^{M - 1} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{q^{2}}{2}) d q \\ P_{b} = \frac{2^{k - 1}}{2^{k} - 1} P_{s} \end{array}$

Неортогональный 2-FSK с когерентным обнаружением

Для $M = 2$ , уравнение 5.2-21 в [1] и уравнение 8.44 в [2] применяются:

$P_{s} = P_{b} = Q (\sqrt{\frac{E_{b} (1 - Re [ρ])}{N_{0}}})$

$ρ$ комплексный коэффициент корреляции, такой что:

$ρ = \frac{1}{2 E_{b}} \int_{0}^{T_{b}} {\tilde{s}}_{1} (t) {\tilde{s}}_{2}^{*} (t) d t$

где ${\tilde{s}}_{1} (t)$ и ${\tilde{s}}_{2} (t)$ комплексные сигналы lowpass, и

$E_{b} = \frac{1}{2} \int_{0}^{T_{b}} {| {\tilde{s}}_{1} (t) |}^{2} d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{T_{b}} {| {\tilde{s}}_{2} (t) |}^{2} d t$

Например, с

${\tilde{s}}_{1} (t) = \sqrt{\frac{2 E_{b}}{T_{b}}} e^{j 2 π f_{1} t}, {\tilde{s}}_{2} (t) = \sqrt{\frac{2 E_{b}}{T_{b}}} e^{j 2 π f_{2} t}$

то

$\begin{matrix} ρ = \frac{1}{2 E_{b}} \int_{0}^{T_{b}} \sqrt{\frac{2 E_{b}}{T_{b}}} e^{j 2 π f_{1} t} \sqrt{\frac{2 E_{b}}{T_{b}}} e^{- j 2 π f_{2} t} d t = \frac{1}{T_{b}} \int_{0}^{T_{b}} e^{j 2 π (f_{1} - f_{2}) t} d t \\ = \frac{\sin (π Δ f T_{b})}{π Δ f T_{b}} e^{j π Δ f t} \end{matrix}$

где $Δ f = f_{1} - f_{2}$ .

От уравнения 8.44 в [2],

$\begin{array}{l} Re [ρ] = Re [\frac{\sin (π Δ f T_{b})}{π Δ f T_{b}} e^{j π Δ f t}] = \frac{\sin (π Δ f T_{b})}{π Δ f T_{b}} \cos (π Δ f T_{b}) = \frac{\sin (2 π Δ f T_{b})}{2 π Δ f T_{b}} \\ \Rightarrow P_{b} = Q (\sqrt{\frac{E_{b} (1 - \sin (2 π Δ f T_{b}) / (2 π Δ f T_{b}))}{N_{0}}}) \end{array}$

где $h = Δ f T_{b}$ .

Ортогональный M-FSK с некогерентным обнаружением

От уравнения 5.4-46 в [1] и уравнения 8.66 в [2],

$\begin{array}{l} P_{s} = \sum_{m = 1}^{M - 1} {(- 1)}^{m + 1} (\begin{matrix} M - 1 \\ m \end{matrix}) \frac{1}{m + 1} \exp [- \frac{m}{m + 1} \frac{k E_{b}}{N_{0}}] \\ P_{b} = \frac{1}{2} \frac{M}{M - 1} P_{s} \end{array}$

Неортогональный 2-FSK с некогерентным обнаружением

Для $M = 2$ , это уравнение 5.4-53 от [1] и это уравнение 8.69 от [2] применяются:

$P_{s} = P_{b} = Q (\sqrt{a}, \sqrt{b}) - \frac{1}{2} \exp (- \frac{a + b}{2}) I_{0} (\sqrt{a b})$

где

$a = \frac{E_{b}}{2 N_{0}} (1 - \sqrt{1 - {| ρ |}^{2}}), b = \frac{E_{b}}{2 N_{0}} (1 + \sqrt{1 - {| ρ |}^{2}})$

Предварительно закодированный MSK с когерентным обнаружением

Используйте тот же BER и расчеты SER что касается BPSK.

Дифференцированно закодированный MSK с когерентным обнаружением

Используйте тот же BER и расчеты SER что касается DE-BPSK.

MSK с некогерентным обнаружением (оптимальный блок блоком)

Верхняя граница на коэффициенте ошибок от уравнений 10.166 и 10.164 в [6]),

$\begin{matrix} P_{s} = P_{b} \\ \leq \frac{1}{2} [1 - Q (\sqrt{b_{1}}, \sqrt{a_{1}}) + Q (\sqrt{a_{1}}, \sqrt{b_{1}})] + \frac{1}{4} [1 - Q (\sqrt{b_{4}}, \sqrt{a_{4}}) + Q (\sqrt{a_{4}}, \sqrt{b_{4}})] + \frac{1}{2} e^{- \frac{E_{b}}{N_{0}}} \end{matrix}$

где

$\begin{matrix} a_{1} = \frac{E_{b}}{N_{0}} (1 - \sqrt{\frac{3 - 4 / π^{2}}{4}}), & b_{1} = \frac{E_{b}}{N_{0}} (1 + \sqrt{\frac{3 - 4 / π^{2}}{4}}) \\ a_{4} = \frac{E_{b}}{N_{0}} (1 - \sqrt{1 - 4 / π^{2}}), & b_{4} = \frac{E_{b}}{N_{0}} (1 + \sqrt{1 - 4 / π^{2}}) \end{matrix}$

CPFSK когерентное обнаружение (оптимальный блок блоком)

Нижняя граница на коэффициенте ошибок (от уравнения 5.3-17 в [1])

$P_{s} > K_{δ_{\min}} Q (\sqrt{\frac{E_{b}}{N_{0}} δ_{\min}^{2}})$

Верхняя граница на коэффициенте ошибок

$δ_{\min}^{2} > \min_{1 \leq i \leq M - 1} {2 i (1 - sinc (2 i h))}$

где h является индексом модуляции, и $K_{δ_{\min}}$ количество путей с минимальным расстоянием.

$P_{b} ≅ \frac{P_{s}}{k}$

Аналитические выражения, используемые в `berfading` Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

Обозначение
M-PSK с MRC
DE-M-PSK с MRC
M-PAM с MRC
M-QAM с MRC
M-DPSK с постобнаружением EGC
Ортогональный 2-FSK, когерентное обнаружение с MRC
Неортогональный 2-FSK, когерентное обнаружение с MRC
Ортогональный M-FSK, некогерентное обнаружение с EGC
Неортогональный 2-FSK, некогерентное обнаружение без разнообразия

Этот раздел покрывает основные аналитические выражения, используемые в berfading функционируйте и приложение Bit Error Rate Analysis.

Обозначение

Эта таблица описывает дополнительные обозначения, используемые в аналитических выражениях в этом разделе.

Описание	Обозначение
Степень исчезающего амплитудного r	$Ω = E [r^{2}]$ , где $E [\cdot]$ обозначает статистическое ожидание
Количество ветвей разнообразия	$L$
Сигнал к Шумовому Отношению (ОСШ) на символ на ветвь	${\bar{γ}}_{l} = (Ω_{l} \frac{E_{s}}{N_{0}}) / L = (Ω_{l} \frac{k E_{b}}{N_{0}}) / L$ Для тождественно распределенных ветвей разнообразия, $\bar{γ} = (Ω \frac{k E_{b}}{N_{0}}) / L$
Производящие функции момента для каждой ветви разнообразия	Для Каналов с релеевским замиранием: $M_{γ_{l}} (s) = \frac{1}{1 - s {\bar{γ}}_{l}}$ Для Rician исчезающие каналы: $M_{γ_{l}} (s) = \frac{1 + K}{1 + K - s {\bar{γ}}_{l}} e^{[\frac{K s {\bar{γ}}_{l}}{(1 + K) - s {\bar{γ}}_{l}}]}$ K является отношением энергии в зеркальном компоненте к энергии в рассеянном компоненте (линейная шкала). Для тождественно распределенных ветвей разнообразия, $M_{γ_{l}} (s) = M_{γ} (s)$ для всего l.

Эта таблица задает дополнительные акронимы, используемые в этом разделе.

Акроним	Определение
MRC	Объединение максимального отношения
EGC	Объединение равного усиления

M-PSK с MRC

От уравнения 9.15 в [2],

$P_{s} = \frac{1}{π} \int_{0}^{(M - 1) π / M} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{\sin^{2} (π / M)}{\sin^{2} θ}) d θ$

От [4] и [2],

$P_{b} = \frac{1}{k} (\sum_{i = 1}^{M / 2} (w_{i}^{'}) {\bar{P}}_{i})$

где $w_{i}^{'} = w_{i} + w_{M - i}$ , $w_{M / 2}^{'} = w_{M / 2}$ , $w_{i}$ вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

$\begin{array}{l} {\bar{P}}_{i} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π (1 - (2 i - 1) / M)} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{1}{\sin^{2} θ} \sin^{2} \frac{(2 i - 1) π}{M}) d θ \\ - \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π (1 - (2 i + 1) / M)} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{1}{\sin^{2} θ} \sin^{2} \frac{(2 i + 1) π}{M}) d θ \end{array}$

Для особого случая Релеевского замирания с $M = 2$ (от уравнений C-18 и C-21 и Table C-1 в [6]),

$P_{b} = \frac{1}{2} [1 - μ \sum_{i = 0}^{L - 1} (\begin{matrix} 2 i \\ i \end{matrix}) {(\frac{1 - μ^{2}}{4})}^{i}]$

где

$μ = \sqrt{\frac{\bar{γ}}{\bar{γ} + 1}}$

Если $L = 1$ то:

$P_{b} = \frac{1}{2} [1 - \sqrt{\frac{\bar{γ}}{\bar{γ} + 1}}]$

DE-M-PSK с MRC

Для $M = 2$ (от уравнений 8.37 и 9.8-9.11 в [2]),

$P_{s} = P_{b} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{1}{\sin^{2} θ}) d θ - \frac{2}{π} \int_{0}^{π / 4} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{1}{\sin^{2} θ}) d θ$

M-PAM с MRC

От уравнения 9.19 в [2],

$P_{s} = \frac{2 (M - 1)}{M π} \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{3 / (M^{2} - 1)}{\sin^{2} θ}) d θ$

От [5] и [2],

$\begin{matrix} P_{b} = \frac{2}{π M \log_{2} M} \\ \times \sum_{k = 1}^{\log_{2} M} \sum_{i = 0}^{(1 - 2^{- k}) M - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{M} ⌋} (2^{k - 1} - ⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{M} + \frac{1}{2} ⌋) \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{{(2 i + 1)}^{2} 3 / (M^{2} - 1)}{\sin^{2} θ}) d θ} \end{matrix}$

M-QAM с MRC

Для квадратного M-QAM, $k = \log_{2} M$ является четным (уравнение 9.21 в [2]),

$\begin{matrix} P_{s} = \frac{4}{π} (1 - \frac{1}{\sqrt{M}}) \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{3 / (2 (M - 1))}{\sin^{2} θ}) d θ \\ - \frac{4}{π} {(1 - \frac{1}{\sqrt{M}})}^{2} \int_{0}^{π / 4} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{3 / (2 (M - 1))}{\sin^{2} θ}) d θ \end{matrix}$

От [5] и [2]:

$\begin{matrix} P_{b} = \frac{2}{π \sqrt{M} \log_{2} \sqrt{M}} \\ \times \sum_{k = 1}^{\log_{2} \sqrt{M}} \sum_{i = 0}^{(1 - 2^{- k}) \sqrt{M} - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{\sqrt{M}} ⌋} (2^{k - 1} - ⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{\sqrt{M}} + \frac{1}{2} ⌋) \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{{(2 i + 1)}^{2} 3 / (2 (M - 1))}{\sin^{2} θ}) d θ} \end{matrix}$

Для прямоугольного (неквадратного) M-QAM, $k = \log_{2} M$ является нечетным, $M = I \times J$ , $I = 2^{\frac{k - 1}{2}}$ , $J = 2^{\frac{k + 1}{2}}$ , ${\bar{γ}}_{l} = Ω_{l} \log_{2} (I J) \frac{E_{b}}{N_{0}}$ ,

$\begin{matrix} P_{s} = \frac{4 I J - 2 I - 2 J}{M π} \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{3 / (I^{2} + J^{2} - 2)}{\sin^{2} θ}) d θ \\ - \frac{4}{M π} (1 + I J - I - J) \int_{0}^{π / 4} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{3 / (I^{2} + J^{2} - 2)}{\sin^{2} θ}) d θ \end{matrix}$

От [5] и [2],

$\begin{matrix} P_{b} = \frac{1}{\log_{2} (I J)} (\sum_{k = 1}^{\log_{2} I} P_{I} (k) + \sum_{l = 1}^{\log_{2} J} P_{J} (l)) \\ P_{I} (k) = \frac{2}{I π} \sum_{i = 0}^{(1 - 2^{- k}) I - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{I} ⌋} (2^{k - 1} - ⌊ \frac{i 2^{k - 1}}{I} + \frac{1}{2} ⌋) \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{{(2 i + 1)}^{2} 3 / (I^{2} + J^{2} - 2)}{\sin^{2} θ}) d θ} \\ P_{J} (k) = \frac{2}{J π} \sum_{j = 0}^{(1 - 2^{- l}) J - 1} {{(- 1)}^{⌊ \frac{j 2^{l - 1}}{J} ⌋} (2^{l - 1} - ⌊ \frac{j 2^{l - 1}}{J} + \frac{1}{2} ⌋) \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{{(2 j + 1)}^{2} 3 / (I^{2} + J^{2} - 2)}{\sin^{2} θ}) d θ} \end{matrix}$

M-DPSK с постобнаружением EGC

От уравнения 8.165 в [2],

$P_{s} = \frac{\sin (π / M)}{2 π} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{1}{[1 - \cos (π / M) \cos θ]} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- [1 - \cos (π / M) \cos θ]) d θ$

От [4] и [2],

$P_{b} = \frac{1}{k} (\sum_{i = 1}^{M / 2} (w_{i}^{'}) {\bar{A}}_{i})$

где $w_{i}^{'} = w_{i} + w_{M - i}$ , $w_{M / 2}^{'} = w_{M / 2}$ , $w_{i}$ вес Хэмминга битов, присвоенных символу i,

$\begin{array}{l} {\bar{A}}_{i} = \bar{F} ((2 i + 1) \frac{π}{M}) - \bar{F} ((2 i - 1) \frac{π}{M}) \\ \bar{F} (ψ) = - \frac{\sin ψ}{4 π} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{1}{(1 - \cos ψ \cos t)} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- (1 - \cos ψ \cos t)) d t \end{array}$

Для особого случая Релеевского замирания с $M = 2$ и $L = 1$ (уравнение 8.173 от [2]),

$P_{b} = \frac{1}{2 (1 + \bar{γ})}$

Ортогональный 2-FSK, когерентное обнаружение с MRC

От уравнения 9.11 в [2],

$P_{s} = P_{b} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{1 / 2}{\sin^{2} θ}) d θ$

Для особого случая Релеевского замирания (уравнения 14.4-15 и 14.4-21 в [1]),

$P_{s} = P_{b} = \frac{1}{2^{L}} {(1 - \sqrt{\frac{\bar{γ}}{2 + \bar{γ}}})}^{L} \sum_{k = 0}^{L - 1} (\begin{matrix} L - 1 + k \\ k \end{matrix}) \frac{1}{2^{k}} {(1 + \sqrt{\frac{\bar{γ}}{2 + \bar{γ}}})}^{k}$

Неортогональный 2-FSK, когерентное обнаружение с MRC

От уравнений 9.11 и 8.44 в [2],

$P_{s} = P_{b} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π / 2} \prod_{l = 1}^{L} M_{γ_{l}} (- \frac{(1 - Re [ρ]) / 2}{\sin^{2} θ}) d θ$

Для особого случая Релеевского замирания с $L = 1$ (уравнения 20 в [8] и 8.130 в [2]),

$P_{s} = P_{b} = \frac{1}{2} [1 - \sqrt{\frac{\bar{γ} (1 - Re [ρ])}{2 + \bar{γ} (1 - Re [ρ])}}]$

Ортогональный M-FSK, некогерентное обнаружение с EGC

Для Релеевского замирания, от уравнения 14.4-47 в [1],

$\begin{array}{l} P_{s} = 1 - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{{(1 + \bar{γ})}^{L} (L - 1)!} U^{L - 1} e^{- \frac{U}{1 + \bar{γ}}} {(1 - e^{- U} \sum_{k = 0}^{L - 1} \frac{U^{k}}{k!})}^{M - 1} d U \\ P_{b} = \frac{1}{2} \frac{M}{M - 1} P_{s} \end{array}$

Для Rician, исчезающего от уравнения 41 в [8],

$\begin{array}{l} P_{s} = \sum_{r = 1}^{M - 1} \frac{{(- 1)}^{r + 1} e^{- L K {\bar{γ}}_{r} / (1 + {\bar{γ}}_{r})}}{{(r (1 + {\bar{γ}}_{r}) + 1)}^{L}} (\begin{matrix} M - 1 \\ r \end{matrix}) \sum_{n = 0}^{r (L - 1)} β_{n r} \frac{Γ (L + n)}{Γ (L)} {[\frac{1 + {\bar{γ}}_{r}}{r + 1 + r {\bar{γ}}_{r}}]}^{n} {}_{1}F_{1} (L + n, L; \frac{L K {\bar{γ}}_{r} / (1 + {\bar{γ}}_{r})}{r (1 + {\bar{γ}}_{r}) + 1}) \\ P_{b} = \frac{1}{2} \frac{M}{M - 1} P_{s} \end{array}$

где

$\begin{matrix} {\bar{γ}}_{r} = \frac{1}{1 + K} \bar{γ} \\ β_{n r} = \sum_{i = n - (L - 1)}^{n} \frac{β_{i (r - 1)}}{(n - i)!} I_{[0, (r - 1) (L - 1)]} (i) \\ β_{00} = β_{0 r} = 1 \\ β_{n 1} = 1 / n! \\ β_{1 r} = r \end{matrix}$

и $I_{[a, b]} (i) = 1$ если $a \leq i \leq b$ и 0 в противном случае.

Неортогональный 2-FSK, некогерентное обнаружение без разнообразия

От уравнения 8.163 в [2],

$P_{s} = P_{b} = \frac{1}{4 π} \int_{- π}^{π} \frac{1 - ς^{2}}{1 + 2 ς \sin θ + ς^{2}} M_{γ} (- \frac{1}{4} (1 + \sqrt{1 - ρ^{2}}) (1 + 2 ς \sin θ + ς^{2})) d θ$

где

$ς = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - ρ^{2}}}{1 + \sqrt{1 - ρ^{2}}}}$

Аналитические выражения, используемые в `bercoding` Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

Этот раздел покрывает основные аналитические выражения, используемые в bercoding функционируйте и приложение Bit Error Rate Analysis.

Общее обозначение
Блочное кодирование
Сверточное кодирование

Общее обозначение

Эта таблица описывает дополнительные обозначения, используемые в аналитических выражениях в этом разделе.

Описание	Обозначение
Отношение бита к спектральной плотности мощности шума энергии на информацию	$γ_{b} = \frac{E_{b}}{N_{0}}$
Передайте длину	$K$
Разрядность кода	$N$
Скорость кода	$R_{c} = \frac{K}{N}$

Блочное кодирование

В этом разделе описываются определенное обозначение для выражений блочного кодирования, где $d_{\min}$ минимальное расстояние кода.

Мягкое решение

Для BPSK, QPSK, OQPSK, 2-PAM, 4-QAM, и предварительно закодированного MSK, уравнения 8.1-52 в [1]), применяется,

$P_{b} \leq \frac{1}{2} (2^{K} - 1) Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d_{\min}})$

Для DE-BPSK, DE-QPSK, DE-OQPSK и DE-MSK,

$P_{b} \leq \frac{1}{2} (2^{K} - 1) [2 Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d_{\min}}) [1 - Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d_{\min}})]]$

Для BFSK когерентное обнаружение уравнения 8.1-50 и 8.1-58 в [1] применяются,

$P_{b} \leq \frac{1}{2} (2^{K} - 1) Q (\sqrt{γ_{b} R_{c} d_{\min}})$

Для BFSK некогерентное квадратичное обнаружение уравнения 8.1-65 и 8.1-64 в [1] применяются,

$P_{b} \leq \frac{1}{2} \frac{2^{K} - 1}{2^{2 d_{\min} - 1}} \exp (- \frac{1}{2} γ_{b} R_{c} d_{\min}) \sum_{i = 0}^{d_{\min} - 1} {(\frac{1}{2} γ_{b} R_{c} d_{\min})}^{i} \frac{1}{i!} \sum_{r = 0}^{d_{\min} - 1 - i} (\begin{matrix} 2 d_{\min} - 1 \\ r \end{matrix})$

Для DPSK,

$P_{b} \leq \frac{1}{2} \frac{2^{K} - 1}{2^{2 d_{\min} - 1}} \exp (- γ_{b} R_{c} d_{\min}) \sum_{i = 0}^{d_{\min} - 1} {(γ_{b} R_{c} d_{\min})}^{i} \frac{1}{i!} \sum_{r = 0}^{d_{\min} - 1 - i} (\begin{matrix} 2 d_{\min} - 1 \\ r \end{matrix})$

Трудное решение

Для общего линейного блочного кода уравнения 4.3 и 4.4 в [9], и 12.136 в [6] применяются,

$\begin{array}{l} P_{b} \leq \frac{1}{N} \sum_{m = t + 1}^{N} (m + t) (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) p^{m} {(1 - p)}^{N - m} \\ t = ⌊ \frac{1}{2} (d_{\min} - 1) ⌋ \end{array}$

Для Кода Хемминга применяются уравнения 4.11 и 4.12 в [9] и 6.72 и 6.73 в [7]

$P_{b} \approx \frac{1}{N} \sum_{m = 2}^{N} m (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) p^{m} {(1 - p)}^{N - m} = p - p {(1 - p)}^{N - 1}$

Для уровня (24,12) расширенный код Golay, применяются уравнения 4.17 в [9] и 12.139 в [6]:

$P_{b} \leq \frac{1}{24} \sum_{m = 4}^{24} β_{m} (\begin{matrix} 24 \\ m \end{matrix}) p^{m} {(1 - p)}^{24 - m}$

где $β_{m}$ среднее количество ошибок символа канала, которые остаются в откорректированном N - формат кортежа, когда канал вызвал ошибки символа m (см. таблицу 4.2 в [9]).

Для кода Рида-Соломона с $N = Q - 1 = 2^{q} - 1$ ,

$P_{b} \approx \frac{2^{q - 1}}{2^{q} - 1} \frac{1}{N} \sum_{m = t + 1}^{N} m (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) {(P_{s})}^{m} {(1 - P_{s})}^{N - m}$

Для FSK уравнения 4.25 и 4.27 в [9], 8.1-115 и 8.1-116 в [1], 8.7 и 8.8 в [7], и 12.142 и 12.143 в [6] применяются,

$P_{b} \approx \frac{1}{q} \frac{1}{N} \sum_{m = t + 1}^{N} m (\begin{matrix} N \\ m \end{matrix}) {(P_{s})}^{m} {(1 - P_{s})}^{N - m}$

в противном случае, если $\log_{2} Q / \log_{2} M = q / k = h$ , где h является целым числом (уравнение 1 в [10]) применяется,

$P_{s} = 1 - {(1 - s)}^{h}$

где s является SER в незакодированном канале AWGN.

Например, для BPSK, $M = 2$ и $P_{s} = 1 - {(1 - s)}^{q}$ , в противном случае $P_{s}$ дан таблицей 1 и уравнением 2 в [10].

Сверточное кодирование

В этом разделе описываются определенное обозначение для сверточных выражений кодирования, где $d_{f r e e}$ свободное расстояние кода, и $a_{d}$ количество путей расстояния d от все-нулевого пути, который объединяет со все-нулевым путем впервые.

Мягкое решение

От уравнений 8.2-26, 8.2-24, и 8.2-25 в [1] и 13.28 и 13.27 в [6] применяются,

$P_{b} < \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} f (d) P_{2} (d)$

Передаточной функцией дают

$\begin{array}{l} T (D, N) = \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} D^{d} N^{f (d)} \\ {\frac{d T (D, N)}{d N} |}_{N = 1} = \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} f (d) D^{d} \end{array}$

где $f (d)$ экспонента N в зависимости от d.

Это уравнение дает результаты для BPSK, QPSK, OQPSK, 2-PAM, 4-QAM, предварительно закодировал MSK, DE-BPSK, DE-QPSK, DE-OQPSK, DE-MSK, DPSK и BFSK:

$P_{2} (d) = {P_{b} |}_{\frac{E_{b}}{N_{0}} = γ_{b} R_{c} d}$

где $P_{b}$ BER в соответствующем незакодированном канале AWGN. Например, для BPSK (уравнение 8.2-20 в [1]),

$P_{2} (d) = Q (\sqrt{2 γ_{b} R_{c} d})$

Трудное решение

От уравнений 8.2-33, 8.2-28, и 8.2-29 в [1] и 13.28, 13.24, и 13.25 в [6] применяются,

$P_{b} < \sum_{d = d_{f r e e}}^{\infty} a_{d} f (d) P_{2} (d)$

Когда d является нечетным,

$P_{2} (d) = \sum_{k = (d + 1) / 2}^{d} (\begin{matrix} d \\ k \end{matrix}) p^{k} {(1 - p)}^{d - k}$

и когда d является четным,

$P_{2} (d) = \sum_{k = d / 2 + 1}^{d} (\begin{matrix} d \\ k \end{matrix}) p^{k} {(1 - p)}^{d - k} + \frac{1}{2} (\begin{matrix} d \\ d / 2 \end{matrix}) p^{d / 2} {(1 - p)}^{d / 2}$

где p является частотой ошибок по битам (BER) в незакодированном канале AWGN.

Аналитические выражения, используемые в `bersync` Функция и приложение Bit Error Rate Analysis

Ошибка временной синхронизации
Ошибка временной синхронизации

Этот раздел покрывает основные аналитические выражения, используемые в bersync функционируйте и приложение Bit Error Rate Analysis.

Ошибка временной синхронизации

Вычислить BER для системы связи с ошибкой временной синхронизации, bersync функционируйте использует эту формулу от [13]:

$\frac{1}{4 π σ} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{ξ^{2}}{2 σ^{2}}) \int_{\sqrt{2 R} (1 - 2 | ξ |)}^{\infty} \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x d ξ + \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \int_{\sqrt{2 R}}^{\infty} \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x$

где σ является ошибкой синхронизации, и R является линейным значением E_b/N0.

Ошибка временной синхронизации

Вычислить BER для системы связи с ошибкой синхронизации несущей, bersync функционируйте использует эту формулу от [13]:

$\frac{1}{π σ} \int_{0}^{\infty} \exp (- \frac{ϕ^{2}}{2 σ^{2}}) \int_{\sqrt{2 R} \cos ϕ}^{\infty} \exp (- \frac{y^{2}}{2}) d y d ϕ$

где σ является ошибкой фазы, R является линейным значением E_b/N0.

Документация