Belsley collinearity diagnostics оценивает силу и источники коллинеарности среди переменных в модели линейной регрессии кратного.

Чтобы оценить коллинеарность, программное обеспечение вычисляет сингулярные значения масштабированной переменной матрицы, X, и затем преобразует их в индексы условия. Условные индексы идентифицируют номер и силу любых близких зависимостей между переменными в переменной матрице. Программное обеспечение анализирует отклонение оценок обычных наименьших квадратов (OLS) коэффициентов регрессии в терминах сингулярных значений, чтобы идентифицировать переменные, вовлеченные в каждую близкую зависимость и степень, до которой зависимости ухудшают регрессию.

condition indices для масштабированного матричного X идентифицирует номер и силу любых близких зависимостей в X.

Для масштабированного матричного X со столбцами p и сингулярными значениями $$S_1\ge S_2\ge \dots \ge S_p$$, индексы условия столбцов X $$S_1/S_j,$$ j = 1..., p.

Все индексы условия ограничены между одним и числом обусловленности.

condition number масштабированного матричного X является полной диагностикой для обнаружения коллинеарности.

Для масштабированного матричного X со столбцами p и сингулярными значениями $$S_1\ge S_2\ge \dots \ge S_p$$, число обусловленности $$S_1/S_p.$$

Число обусловленности достигает своей нижней границы той, когда столбцы масштабированного X ортонормированы. Повышения числа обусловленности как варьируемые величины показывают большую зависимость.

Ограничение числа обусловленности как диагностика - то, что ему не удается обеспечить специфические особенности силы и источников любых близких зависимостей.

multiple linear regression model является моделью формы $$Y=X\beta +\epsilon .$$ X является матрицей проекта переменных регрессии, и β является вектором из коэффициентов регрессии.

singular values масштабированного матричного X является диагональными элементами матричного S в сингулярном разложении $$US{V}^{\prime }.$$

В порядке убывания сингулярные значения масштабированного матричного X со столбцами p $$S_1\ge S_2\ge \dots \ge S_p$$.

Variance-decomposition proportions идентифицирует группы варьируемых величин, вовлеченных в близкие зависимости и степень, до которой зависимости ухудшают регрессию.

От сингулярного разложения $$US{V}^{\prime }$$ из масштабированной матрицы проекта X (со столбцами p), позвольте:

Отклонение оценки OLS коэффициента многофакторной линейной регрессии i, _βi, пропорционально сумме

где $$V(i,j)$$ обозначает элемент (i, j) V.

Пропорция разложения отклонения (i, j) является пропорцией термина j в сумме относительно целой суммы, j = 1..., p.

Термины $$S_j^2$$ собственные значения масштабированных $$X^{\prime }X$$. Таким образом большие пропорции разложения отклонения соответствуют маленьким собственным значениям $$X^{\prime }X$$, общая диагностика для коллинеарности. Сингулярное разложение обеспечивает более прямое, численно устойчивое представление eigensystem масштабированных $$X^{\prime }X$$.